\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Suites et r\'ecurrence}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutexo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\Exoi{La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$}
\Exoi{Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de $7$.}

\Exoi{On définit, pour tout entier $n\geq 1$ le $n-$ième nombre triangulaire par $$ t_n=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$
Démontrer que, pour entier $n\geq 1$ on a :
$$\sum_{k=1}^n t_k=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$$}

\Exoi{On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}  \end{array} \right.$$
où $a\in[-1;+\infty[$.\\
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ \footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.} }

\Exoi{\textit{Comportement asymptotique des suites géométriques}
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'inégalité de Bernoulli :
$$ \text{pour tout réel $x$ positif et tout entier naturel $n$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$
\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=a^n$ avec $a\in\R$. Démontrer que :
\begin{itemize}
\item Si $a\in]1;+\infty[$ alors $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ \footnote{On utilisera l'inégalité de Bernoulli}
\item Si $a=1$ alors $(u_n)$ est constante (donc convergente vers $1$) 
\item Si $a\in ]–1;1[$ alors $(u_n)$ converge vers $0$ \footnote{On se ramènera au cas précédent en posant $a'=\dfrac{1}{\mid a \mid}$ }
\item Si $a\in]-\infty;-1]$, alors $(u_n)$ n'a pas de limite.
\end{itemize} 
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\cos n^2-n^2, \qquad \forall n\in\N$$
et la suite $(v_n)$ définie par $$ v_n=\dfrac{n!}{2^n}, \forall n\in\N^*$$ \footnote{$n!=n(n-1)(n-2)\dots2\times 1$} }

\Exoi{Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2+4n+3$
\item $u_n=\dfrac{2^n}{n+1}$
\item $u_n=\dfrac{1-n^2}{n+2}$
\item $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ définie, pour $n\in\N$,  par $$ u_n=\dfrac{-2n^2+1}{n^2+4}$$
Démontrer que cette suite est bornée.
\item Soit $(v_n)$ définie par $$\left\{ \begin{array}{l} v_0=0 \\ v_{n+1}=2 \sqrt{v_n} +1  \end{array} \right.$$
Démontrer que $(v_n)$ est bornée par $0$ et $9$
\end{enumerate}}

\Exoi{Démontrer que chacune des suites $(u_n)$ est minorée mais non bornée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+1}{\sqrt{n} }$
\item $u_n=\dfrac{n^2+\cos n}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Dans chacun des cas suivants, on définit la suite $(u_n)$ pour $n\geq 1$ ; préciser si cette suite est bornée :
\begin{enumerate}
\item
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2+n-2$
\item $u_n=\dfrac{2n}{n+1}$
\item $u_n=\dfrac{1}{n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{3-\sin n}{2} $
\item $u_n=\dfrac{2+\sin^2 n}{4}$
\item $u_n=n+(-1)^n$
\item $u_n=\dfrac{n}{n+1}$
\item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
\item $u_n=-\dfrac{5}{3^n}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u^2_n+1} \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est à termes positifs et étudier son sens de variation.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée et préciser un majorant et un minorant.
\end{enumerate}
}

\Exoi{ Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n \\ u_0=1 \\u_1=2 \end{array} \right.$$
Démontrer que, pour tout entier $n\in\N$ on a :$u_n=2^n$
}
\Exoi{Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et préciser leur limite commune :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ et $v_n=-u_n$
\item $u_n=\dfrac{-1}{n+2}$ et $v_n=\dfrac{2}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$}
\begin{center}
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\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant la définition d'une suite convergente, montrer que si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(v_n)$, définie par $v_n=u_{n+1}$, converge également vers $l$.
\item Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $l$ définie par la donnée de son premier terme et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est une fonction continue en $l$\footnote{La continuité sera l'objet du chapitre suivant, on dit qu'une fonction $f$ est continue en $l$ si et seulement si $ \lim\limits_{x \to l} f(x)=f(l)$}.
\\Montrer que $f(l)=l$
\end{enumerate}
\item On se propose ici d'obtenir la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie par deux méthodes différentes.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Méthode 1} :Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie en utilisant la question précédente. (on admet que la fonction $f$ est continue).
\item \textbf{Méthode 2}: La représentation graphique ayant amené à conjecturer que $(u_n)$ converge vers $5$, on s'interesse à la suite de terme général $v_n=5-u_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ v_{n+1}=\dfrac{4v_n}{5+\sqrt{25-4v_n} }$$
\item En déduire, que pour tout $n\in\N$ : $$ 0\leq v_n\leq \left(\dfrac{4}{5}\right)^n\times 4$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Exoi{La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par  :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ on a : $1<u_n<3$
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $$ v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.
\item Quelle est la limite de $(v_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $v_n$. En déduire le comportement à l'infini de $u_n$
\end{enumerate}
}

\Exoi{On s'intéresse ici à la somme $S_n$ des cubes des $n$ premiers entiers naturels impairs.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=2n^4-n^2$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=41328$ ?
\end{enumerate}}

\Exoi{On définit la suite $(u_n)$ par $u_0\in]0;5]$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{5u_n}$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ (sens de variation et limite).
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
$$ 0\leq u_n\leq 5$$
\item Etudier le sens de variation de $(u_n)$ et en déduire sa convergence. Quelle est sa limite ?
\end{enumerate} }

\Exoi{\textit{Moyenne arithmético-géométrique}\\
Soit $a$ et $b$ deux réels tels $a>b>0$. \\
Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ les suites définies par :$$ a_0=a\qquad \text{et}\qquad b_0=b$$
$$ \forall n\in\N, \qquad a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\qquad \text{et}\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$
\textbf{Le but de l'exercice est de démontrer que les deux suites convergent vers une même limite.}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence, que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont positives pour tout $n\in\N$
\item Montrer que, pour tout entier $n\in\N$ on a :
$$ a_{n+1}^2-b_{n+1}^2\geq 0$$
\item En déduire que, pour tout entier $n\in\N$ on a :
$$ a_{n+1}\geq b_{n+1}\qquad \text{ et que }a_n\geq b_n$$
\item En déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante et que $(b_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $ 0\leq x\leq y\Longrightarrow (y-x)^2\leq y^2-x^2$. Pour cela on remarquera que $y-x\leq y+x$
\item En déduire par récurrence, que pour tout entier $n\in\N$ on a : $$ a_n-b_n\leq \dfrac{a-b}{2^n}$$
\item En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Etude d'une suite arithmético-géométrique}\\
\begin{enumerate}
\item Chaque année, la grand mère de Julien a déposé de l'argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit fils. \\
Elle a commencé le $1^{er}$ janvier $1982$ par un dépot de $500$ F. Depuis lors, elle a effectué un dépot chaque $1^{er}$ janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépot de $50$ F.\\
On note :
\begin{itemize}
\item $u_n$, le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire le $1^{er}$ janvier de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $u_0=500$, $u_1=550$, $\dots$)
\item $s_n$ le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire après le dépot de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $s_0=500$, $s_1=1050$, $\dots$)
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $s_2$, puis exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Le $1^{er}$ janvier $2002$, la grand-mère de Julien effectué son dépôt habituel (en francs) puis offre la tirelire à Julien. Quel est le montant de la somme reçue par Julien en francs, puis en euros \footnote{Rappel : $1$ euro correspond à $6,55957$ francs}
\end{enumerate}
\item Avec le cadeau de sa grand-mère, Julien décide d'ouvrir un compte bancaire et décide d'y placer la plus grande partie de la somme reçue. \\
Le $1^{er}$ janvier $2002$, il effectue un placement de $3000\euro$ au taux annuel de $4\%$.\\
De plus chaque $1^{er}$ janvier des années suivantes, il décide d'ajouter sur son compte la somme de $200\euro$, on note :
\begin{itemize}
\item $c_n$ le montant exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Julien après $n$ années de placement. (Ainsi $c_0=3000$)
\item $(u_n)$ la suite définie par $u_n=c_n+5000$. (Ainsi $u_0=8000$).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ on a $ c_{n+1}=1,04c_n+200$.
\item Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $c_n$ en fonction de $n$.
\item Combien d'années, au minimum, Julien devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de $6000\euro$ sur son compte bancaire ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\newpage 
\Cr{Annales}
\Exoi{2010\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
\[ f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  Etude de propriétés de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$[ l'équation $f(x) = x$.
		 \\
On note $\alpha$ la solution. 
		\item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
		 \\
De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha, + \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$
\\
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$.
Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$  et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$\\
\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incompleète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\end{enumerate} }
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x}
\end{pspicture} 
\end{center}
\Exoi{2009\hfill (2 points)\\
\textbf{VRAI OU FAUX}\\
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. 
\item  Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$.
\end{enumerate}}

\Exoi{2009\hfill (4 points)\\
\textit{Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. }
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
	\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
	\item  Etudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :
\[ nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] 
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\\
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\nombre{2009}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\Exoi{2008 \hfill (5 points)\\
\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indpendantes.}
 \end{center}
 \textbf{Partie A}
 \\
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ dfinies sur $\N$ et vrifiant la relation suivante :
\\
pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.
\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'quation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\
\\
On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{o}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux rels.}\]
\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.\\
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}
 \textbf{Partie B}
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}}
\Exoi{2009 \hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. 
		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. 
\\
A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manieère placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$.
\\
 On suppose que $w_{0}$ est strictement suprieur  6.\\
Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. 
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(24,15)
\psline(-6,-6)(15,15)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\Exoi{2008 \hfill (4 points)
\textit{Certains résultats de la PARTIE A pourront être utiliseés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indpendamment l'une de l'autre. }
 \textbf{PARTIE A :}
  \\
On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  
\\
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B : }
 \\
Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 \\
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.  Justifier dans chaque cas. 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}
}

\Exoi{2010\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}\\
Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si 
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
\Defc{deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est dcroissante et la diffrence des deux converge vers $0$.}
\Ptec{Si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$.} 
\Ptec{Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.}
\emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incompleète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\item Dans les cas suivants, les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? 
\\
Justifier les réponses. 
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n} = 1 - 10^{-n}$ et $v_{n} = 1 + 10^{-n}$ ;
		\item $u_{n} = \ln (n + 1)$ et $v_{n} = \ln (n + 1) + \dfrac{1}{n}$ ; 
		\item $u_{n} = 1 -  \dfrac{1}{n}$ et  $v_{n} = 1 +  \dfrac{(-1)^n}{n}$. 
	\end{enumerate}
\item On considère un nombre réel $a$ positif et les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout nombre entie naturel $n$ non nul par : 
$$u_{n} = 1-\dfrac{1}{n}\qquad \text{et}\qquad v_{n} = \ln \left( a + \dfrac{1}{n}\right)$$
Existe-t-il une valeur de $a$ telle que les suites soient adjacentes ? 
\end{enumerate}
}



\end{document}