\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\ch}{Chapitre 2} \newcommand{\Ch}{Suites et r\'ecurrence} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages \debutexo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Les exos \Exoi{La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3 \end{array} \right.$$ Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$} \Exoi{Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de $7$.} \Exoi{On définit, pour tout entier $n\geq 1$ le $n-$ième nombre triangulaire par $$ t_n=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$ Démontrer que, pour entier $n\geq 1$ on a : $$\sum_{k=1}^n t_k=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$$} \Exoi{On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n} \end{array} \right.$$ où $a\in[-1;+\infty[$.\\ A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ \footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.} } \Exoi{\textit{Comportement asymptotique des suites géométriques} \begin{enumerate} \item Démontrer l'inégalité de Bernoulli : $$ \text{pour tout réel $x$ positif et tout entier naturel $n$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$ \item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_n=a^n$ avec $a\in\R$. Démontrer que : \begin{itemize} \item Si $a\in]1;+\infty[$ alors $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ \footnote{On utilisera l'inégalité de Bernoulli} \item Si $a=1$ alors $(u_n)$ est constante (donc convergente vers $1$) \item Si $a\in ]–1;1[$ alors $(u_n)$ converge vers $0$ \footnote{On se ramènera au cas précédent en posant $a'=\dfrac{1}{\mid a \mid}$ } \item Si $a\in]-\infty;-1]$, alors $(u_n)$ n'a pas de limite. \end{itemize} \end{enumerate}} \Exoi{Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\cos n^2-n^2, \qquad \forall n\in\N$$ et la suite $(v_n)$ définie par $$ v_n=\dfrac{n!}{2^n}, \forall n\in\N^*$$ \footnote{$n!=n(n-1)(n-2)\dots2\times 1$} } \Exoi{Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $u_n=n^2+4n+3$ \item $u_n=\dfrac{2^n}{n+1}$ \item $u_n=\dfrac{1-n^2}{n+2}$ \item $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n-\dfrac{1}{n+1}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{ \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$ définie, pour $n\in\N$, par $$ u_n=\dfrac{-2n^2+1}{n^2+4}$$ Démontrer que cette suite est bornée. \item Soit $(v_n)$ définie par $$\left\{ \begin{array}{l} v_0=0 \\ v_{n+1}=2 \sqrt{v_n} +1 \end{array} \right.$$ Démontrer que $(v_n)$ est bornée par $0$ et $9$ \end{enumerate}} \Exoi{Démontrer que chacune des suites $(u_n)$ est minorée mais non bornée : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $u_n=\dfrac{n+1}{\sqrt{n} }$ \item $u_n=\dfrac{n^2+\cos n}{n+1}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Dans chacun des cas suivants, on définit la suite $(u_n)$ pour $n\geq 1$ ; préciser si cette suite est bornée : \begin{enumerate} \item \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $u_n=n^2+n-2$ \item $u_n=\dfrac{2n}{n+1}$ \item $u_n=\dfrac{1}{n}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $u_n=\dfrac{3-\sin n}{2} $ \item $u_n=\dfrac{2+\sin^2 n}{4}$ \item $u_n=n+(-1)^n$ \item $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ \item $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ \item $u_n=-\dfrac{5}{3^n}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} } \Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u^2_n+1} \end{array} \right.$$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est à termes positifs et étudier son sens de variation. \item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée et préciser un majorant et un minorant. \end{enumerate} } \Exoi{ Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par : $$\left\{ \begin{array}{l} u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n \\ u_0=1 \\u_1=2 \end{array} \right.$$ Démontrer que, pour tout entier $n\in\N$ on a :$u_n=2^n$ } \Exoi{Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et préciser leur limite commune : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $u_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ et $v_n=-u_n$ \item $u_n=\dfrac{-1}{n+2}$ et $v_n=\dfrac{2}{n+1}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$} \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{xunit=1cm , yunit=1cm} \begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6) \def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6} \newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99} \psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6) \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \psclip{% \psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) } \newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0} \newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745} \newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196} \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0) \psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0) \def\F{4 x mul 5 add sqrt} \psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F} \uput[0](3,5){$C_f$} \endpsclip \psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){0} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$} \pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$} \uput[-90](1,0){\small $u_0$} \uput[180](0,3){\small $u_1$} \uput[-90](3,0){\small $u_1$} \uput[180](0,4.1231){\small $u_2$} \uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$} \uput[180](0,4.63599){\small $u_3$} \uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$ \item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. \item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant la définition d'une suite convergente, montrer que si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(v_n)$, définie par $v_n=u_{n+1}$, converge également vers $l$. \item Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $l$ définie par la donnée de son premier terme et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est une fonction continue en $l$\footnote{La continuité sera l'objet du chapitre suivant, on dit qu'une fonction $f$ est continue en $l$ si et seulement si $ \lim\limits_{x \to l} f(x)=f(l)$}. \\Montrer que $f(l)=l$ \end{enumerate} \item On se propose ici d'obtenir la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie par deux méthodes différentes. \begin{enumerate} \item \textbf{Méthode 1} :Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie en utilisant la question précédente. (on admet que la fonction $f$ est continue). \item \textbf{Méthode 2}: La représentation graphique ayant amené à conjecturer que $(u_n)$ converge vers $5$, on s'interesse à la suite de terme général $v_n=5-u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$ v_{n+1}=\dfrac{4v_n}{5+\sqrt{25-4v_n} }$$ \item En déduire, que pour tout $n\in\N$ : $$ 0\leq v_n\leq \left(\dfrac{4}{5}\right)^n\times 4$$ \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \Exoi{La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6} \end{array} \right.$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ on a : $1b>0$. \\ Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ les suites définies par :$$ a_0=a\qquad \text{et}\qquad b_0=b$$ $$ \forall n\in\N, \qquad a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\qquad \text{et}\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$ \textbf{Le but de l'exercice est de démontrer que les deux suites convergent vers une même limite.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence, que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont positives pour tout $n\in\N$ \item Montrer que, pour tout entier $n\in\N$ on a : $$ a_{n+1}^2-b_{n+1}^2\geq 0$$ \item En déduire que, pour tout entier $n\in\N$ on a : $$ a_{n+1}\geq b_{n+1}\qquad \text{ et que }a_n\geq b_n$$ \item En déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante et que $(b_n)$ est croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $ 0\leq x\leq y\Longrightarrow (y-x)^2\leq y^2-x^2$. Pour cela on remarquera que $y-x\leq y+x$ \item En déduire par récurrence, que pour tout entier $n\in\N$ on a : $$ a_n-b_n\leq \dfrac{a-b}{2^n}$$ \item En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. \end{enumerate} \item Conclure. \end{enumerate}} \Exoi{\textit{Etude d'une suite arithmético-géométrique}\\ \begin{enumerate} \item Chaque année, la grand mère de Julien a déposé de l'argent dans une tirelire afin de constituer une cagnotte pour son petit fils. \\ Elle a commencé le $1^{er}$ janvier $1982$ par un dépot de $500$ F. Depuis lors, elle a effectué un dépot chaque $1^{er}$ janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépot de $50$ F.\\ On note : \begin{itemize} \item $u_n$, le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire le $1^{er}$ janvier de l'année $1982+n$\\ (Ainsi : $u_0=500$, $u_1=550$, $\dots$) \item $s_n$ le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire après le dépot de l'année $1982+n$\\ (Ainsi : $s_0=500$, $s_1=1050$, $\dots$) \end{itemize} \begin{enumerate} \item Calculer $u_2$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ \item Calculer $s_2$, puis exprimer $s_n$ en fonction de $n$ \item Le $1^{er}$ janvier $2002$, la grand-mère de Julien effectué son dépôt habituel (en francs) puis offre la tirelire à Julien. Quel est le montant de la somme reçue par Julien en francs, puis en euros \footnote{Rappel : $1$ euro correspond à $6,55957$ francs} \end{enumerate} \item Avec le cadeau de sa grand-mère, Julien décide d'ouvrir un compte bancaire et décide d'y placer la plus grande partie de la somme reçue. \\ Le $1^{er}$ janvier $2002$, il effectue un placement de $3000\euro$ au taux annuel de $4\%$.\\ De plus chaque $1^{er}$ janvier des années suivantes, il décide d'ajouter sur son compte la somme de $200\euro$, on note : \begin{itemize} \item $c_n$ le montant exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Julien après $n$ années de placement. (Ainsi $c_0=3000$) \item $(u_n)$ la suite définie par $u_n=c_n+5000$. (Ainsi $u_0=8000$). \end{itemize} \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ on a $ c_{n+1}=1,04c_n+200$. \item Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $c_n$ en fonction de $n$. \item Combien d'années, au minimum, Julien devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de $6000\euro$ sur son compte bancaire ? \end{enumerate} \end{enumerate}} \newpage \Cr{Annales} \Exoi{2010\hfill (5 points)\\ Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[ f(x) = 6 - \dfrac{5}{x + 1}.\] Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\] \begin{enumerate} \item Etude de propriétés de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$[ l'équation $f(x) = x$. \\ On note $\alpha$ la solution. \item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$. \\ De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha, + \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$ \\ Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] \begin{enumerate} \item Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$. Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$ et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. \\ Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$\\ \emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incompleète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\ Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ? \end{enumerate} } \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x} \end{pspicture} \end{center} \Exoi{2009\hfill (2 points)\\ \textbf{VRAI OU FAUX}\\ Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. \\ Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$. \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. \item Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$. \end{enumerate}} \Exoi{2009\hfill (4 points)\\ \textit{Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. } \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. \item Etudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$ : \[ nw_{n} = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline $w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline 1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \\ Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\nombre{2009}}$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{2008 \hfill (5 points)\\ \begin{center} \textbf{Les parties A et B sont indpendantes.} \end{center} \textbf{Partie A} \\ On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ dfinies sur $\N$ et vrifiant la relation suivante : \\ pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$. \begin{enumerate} \item On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\ Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'quation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\ En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\ \\ On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme : \[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad \text{o}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux rels.}\] \item On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\ Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} = 6,6$.\\ En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.\\ \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : \[v_{0} = 6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} = 1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\] \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$. \begin{enumerate} \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8]. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant v_{n} < v_{n+1} \leqslant 8$. \end{enumerate} \item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \end{enumerate}} \Exoi{2009 \hfill (5 points) \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} = 3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$ \[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. \item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. \item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$ et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. \\ A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manieère placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$. \\ Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ? \end{enumerate} \item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$. \\ On suppose que $w_{0}$ est strictement suprieur 6.\\ Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. \end{enumerate} } \begin{center} \psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm} \begin{pspicture}(-6,-6)(24,15) \psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(24,15) \psline(-6,-6)(15,15) \psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add} \rput{26.56}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$} \rput{45}(7,8){$y = x$} \uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$} \multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)} \multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)} \psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0) \end{pspicture} \end{center} \Exoi{2008 \hfill (4 points) \textit{Certains résultats de la PARTIE A pourront être utiliseés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indpendamment l'une de l'autre. } \textbf{PARTIE A :} \\ On définit : \begin{itemize} \item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. \item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} = 1 + \dfrac{12}{5^n}$. \\ En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. \item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B : } \\ Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie par $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$. \\ Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas. \begin{itemize} \item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. \item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. \end{itemize} } \Exoi{2010\hfill (5 points) \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances}\\ Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. \Defc{deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est dcroissante et la diffrence des deux converge vers $0$.} \Ptec{Si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$.} \Ptec{Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.} \emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incompleète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \item Dans les cas suivants, les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ? \\ Justifier les réponses. \begin{enumerate} \item $u_{n} = 1 - 10^{-n}$ et $v_{n} = 1 + 10^{-n}$ ; \item $u_{n} = \ln (n + 1)$ et $v_{n} = \ln (n + 1) + \dfrac{1}{n}$ ; \item $u_{n} = 1 - \dfrac{1}{n}$ et $v_{n} = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$. \end{enumerate} \item On considère un nombre réel $a$ positif et les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies pour tout nombre entie naturel $n$ non nul par : $$u_{n} = 1-\dfrac{1}{n}\qquad \text{et}\qquad v_{n} = \ln \left( a + \dfrac{1}{n}\right)$$ Existe-t-il une valeur de $a$ telle que les suites soient adjacentes ? \end{enumerate} } \end{document}