\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}
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\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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\usepackage[frenchb]{babel}

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\usepackage[french]{varioref}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo
\vspace*{3mm}\\
On donne le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$ où les sommets sont ordonnés comme dans la figure suivante (pour les exercices $1$ et $2$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.9,-0.51) rectangle (4.68,4.33);
\draw (0,0)-- (3,0);
\draw (3,0)-- (4,1);
\draw [dotted] (4,1)-- (1,1);
\draw [dotted] (1,1)-- (0,0);
\draw (0,3)-- (0,0);
\draw [dotted] (1,1)-- (1,4);
\draw (0,3)-- (1,4);
\draw (1,4)-- (4,4);
\draw (4,4)-- (4,1);
\draw (3,3)-- (3,0);
\draw (0,3)-- (3,3);
\draw (3,3)-- (4,4);
\draw (-0.36,0.25) node[anchor=north west] {$A$};
\draw (3.16,0.29) node[anchor=north west] {$B$};
\draw (4.1,1.26) node[anchor=north west] {$C$};
\draw (0.5,1.32) node[anchor=north west] {$D$};
\draw (-0.42,3.25) node[anchor=north west] {$E$};
\draw (3,3.05) node[anchor=north west] {$F$};
\draw (4,4.3) node[anchor=north west] {$G$};
\draw (0.5,4.19) node[anchor=north west] {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Exoi{Calculer, dans chaque cas, $\vec{u}\cdot \vec{v}$ en fonction de l'arête $a$ :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EA}$, $\vec{v}=\overrightarrow{CH}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{HF}$, $\vec{v}=\overrightarrow{DG}$.
\item $\vec{u}=\overrightarrow{EG}$, $\vec{v}=\overrightarrow{CH}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On désigne par $I$, $J$ et $K$ les milieux de $[BF]$, $[FG]$ et $[GH]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{EJ}\cdot \overrightarrow{FI}$, $\overrightarrow{EK}\cdot \overrightarrow{FI}$, $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{AJ}\cdot \overrightarrow{BC}$.
\item Evaluer $\cos \widehat{IEK}$ après avoir calculé $EI$, $EK$ et $\overrightarrow{EI}\cdot \overrightarrow{EK}$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Etablir l'équivalence :
$$ \left| \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}\right|=\left|\left|\vec{u}\right|\right|\times \left|\left|\vec{v}\right|\right|\Longleftrightarrow \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires.}$$}

\Exoi{On considère les points $A(3;4;-2)$, $B( 1;6;0)$ et 
$C(-2;2;1)$.\\
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.}

\Exoi{Donner une équation cartésienne du plan passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal, dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A(3;-1;2)$ et $\vec{n}(1;0;-4)$
\item $A(1;-1;0)$ et $\vec{n}(1;1;-2)$
\item $A(-2;1;2)$ et $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}$
\item $A(3;4;5)$ et $\vec{n}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{5}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Verifier que chaque équation proposée est l'équation cartésienne d'un plan et trouver un point de ce plan et un vecteur normal :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x-5y+z-1=0$ 
\item $x=y$
\item $3z-x-3=0$
\item $y=-2x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan $P$ (déterminer d'abord un point de ce plan et un vecteur normal) :
\begin{enumerate}
\item $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$ avec $A(-1;3;1)$ et $B(0;5;-3)$.
\item $P$ est le plan orthogonal à la droite $(AC)$ passant par l'orthocentre du triangle $ABC$ avec $A(3;0;4)$, $B(-1;1;1)$ et $C(2;0;0)$.
\end{enumerate}}

\pagebreak

\Cr{Annales}

\section{\textbf{Polynésie juin 2010}}

%\vspace{-0.8cm} \hfill \hyperlink{Polynesie_juin2010_retour}{Retour au tableau}



Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les points A(1~;~1~;~1) et B(3~;~2~;~0) ;  
\item le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur normal ; 
\item le plan (Q) d'équation : $x - y + 2z + 4 = 0$ ; 
\item la sphère (S) de centre A et de rayon AB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est : $2x + y - z - 8 = 0$ 
\item Déterminer une équation de la sphère (S).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance du point A au plan (Q).
		 
En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S). 
		\item  Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
	\end{enumerate} 
\item On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées $(0~;~2;~-1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants. 
		\item  Soit (D) la droite d'intersection des plans (P) et (Q).
		 


Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t\\
y &=& 12 - 5t\\
z& =& 4 - 3t
\end{array}\right.$  avec $t \in \R$.   
		\item  Vérifier que le point A n'appartient pas à la droite (D) 
		\item  On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D).

L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
 
\og Tout point du plan (R ) est équidistant des points B et C \fg.
 
Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{\textbf{Liban juin 2010}}



L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t\\ 
y&=& - 2 - 3t\\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]  
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
x&=&2 - k\\ 
y&=&1 + 2k\\
z&=&k  
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~k \in \R.\] 

Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. 
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). 
		\item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. 
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section{\textbf{Centres étrangers juin 2010}}



Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\bigskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) de représentations paramétriques :

\[(\mathscr{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& - 1 + 2t\\  
y&=& - 3t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathscr{D}_{2}) 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 1 - 2t\\
y&=& 5 - t\\ 	
z&=&-2 + t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} :
 
Les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) sont orthogonales.

\medskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathscr{D})$ de représentation paramétrique :

\[(\mathscr{D})\left\{\begin{array}{l c r}
x& =& 1 + 4t\\ 
y&=& - 2 + 2t\\
z&=&3 - 2t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} :

Le plan $(\mathscr{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathscr{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$.

\section{\textbf{Pondichéry avril 2010}}


 
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.}
 
\begin{enumerate}
\item  La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x& =& t + 2\\
y &=& -2t\\
z &=& 3t - 1
\end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une  
équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$. 
\item Les plans $P,~ P',~ P''$ 	d'équations respectives $x - 2y + 3z = 3$,

$2x + 3y - 2z = 6$ et $4x - y + 4z = 12$ n'ont pas de point commun.
\item  Les droites de représentations paramétriques respectives 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - 3t\\
y&=& 1 + t \\
z&=&-3 + 2t
\end{array}\right.,~  t \in \R$ 	et $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 7 + 2u\\ 
y &=& 2 + 2u\\
z&=&- 6 - u
\end{array}\right.,~u\in \R$ sont sécantes. 
\item On considère les points :
 
A, de coordonnées $(-1~;~0~;~2)$, B, de coordonnées $(1~;~4~;~0)$, et C, de coordonnées $(3~;~-4~;~-2)$.

Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. 
\item On considère les points :
 
A, de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$, B, de coordonnées $(2~;~1~;~0)$, et C, de coordonnées $(4~;~-1~;~5)$.

On peut écrire C comme barycentre des points A et B. 
\end{enumerate}

\section{\textbf{Nouvelle-Calédonie  novembre 2009}}


L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$.

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous, à rendre avec la copie.
 
On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$.
 
En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). 
		\item  En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. 
		\item  Placer le point R sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. 
		\item Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre G passant par F.
 
Justifier que la sphère $\mathscr{S}$ et le plan (IJK) sont sécants.
 
Déterminer le rayon de leur intersection.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH
\psline(7,2.4)(7,6.3)%CG
\uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} 
\uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} 
\uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H}
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE
\psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$z$}%Bx
\psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy
\psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez
\end{pspicture}
\end{center}

\section{\textbf{Amérique du Sud  novembre 2009}}




\textbf{Partie A -- Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Soit D le point de coordonnées $(x_{\text{D}},~y_{\text{D}},~z_{\text{D}})$ et $P$ le plan d'équation
 
$ax + by + cz + d = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.

Démontrer que la distance du point D au plan $P$ est donnée par~:
\[d(\text{D},P)=\dfrac{\left|ax_{\text{D}}+by_{\text{D}}+cz_{\text{D}} + d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, 
C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC.
	\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
	
Déterminer une équation du plan (ABC).
	\item Calculer la distance du point D au plan (ABC).
	
Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
	\item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
	Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
	\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
Déterminer le volume du  tétraèdre EFGD.
\end{enumerate}

\section{\textbf{La Réunion juin 2009}}

 
Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\vec i, \vec j, \vec k)$.
 
(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; 

(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;

(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. 

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
 x-y+1&=&0\\	- y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0
 \end{array}\right. $
	\item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). 
	\item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).
	 
En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). 

\medskip

\emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères $(O\vec{i};\vec{j})$,~$\left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vec{j},~\vec{k}\right)$.} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). 
	\item Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{\textbf{Centres étrangers juin 2009}}



On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 

On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. 

\begin{enumerate}
\item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 
\item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
 
Quelle est la nature du triangle ABC ? 
\item  Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points H,  C, I sont alignés. 
	\item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). 
	\item En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
	\end{enumerate} 
\item Calculs d'aire et de volume. 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. 
	\item Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
	\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section{\textbf{Pondichéry avril 2009}}

  
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O,\vec i, \vec j, \vec k) $ on considère les points : 

A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$.

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse:
  
\textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite.

\medskip

\textbf{ Proposition 2 :} La transformation qui, à tout point $M$ de l'espace associe le point $M'$ tel que $\vect{MM'}  = \vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}}  + 2\vect{M\text{C}}$  est l'homothétie de centre $G$, où $G$ désigne le barycentre du système $\{(A,~1),~(B,~1),~(C,~2)\}$, et de rapport 3.
 
\medskip
\textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. 

\medskip
\textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+ 2y + z+ 3 = 0$.



\section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2008}}


 
Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit 

\mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD].

\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF
\psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG
\psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH
\uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} 
\uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} 
\uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} 
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}} ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
		
    En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan  (FIH).
    	\end{enumerate}
\item Soit  le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
		\item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH).
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
		\item  Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
		\item  Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}

Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)
\end{enumerate}

\section{\textbf{Asie  juin 2008}}


\textbf{A -Vrai ou faux ?}
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration
consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.}

\medskip

 \emph{Rappel des notations :
\setlength\parindent{5mm} \begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$.\\
\item[$\bullet~$]  L 'écriture $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ n'ont aucun point commun.
\end{itemize} \setlength\parindent{0mm} }

\begin{enumerate}
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset,\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont tels que : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}= \emptyset$  et $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}= \emptyset$.
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset,\]
 alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}  \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{D}  \neq \emptyset$ \end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Intersection de trois plans donnés}

\medskip
 
Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considére les trois plans suivants :


\setlength\parindent{5mm}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{1}$ d'équation $x+ y -z = 0$
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{2}$	d'équation $2x+y+z - 3 =0$,
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z+3 = 0$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item  Justifier que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d'interseclion, notée $\Delta$.

\item  En déduire la nature de l'intersection $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}$.
\end{enumerate}


\section{\textbf{Pondichéry avril 2008}}


\parbox{0.45\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$.

On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$.

On désigne par $G$ l'isobarycentre des points
$A,~B,~C$ et $D$.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){$A$} \uput[ul](3.25,4){$B$} \uput[dr](4.4,0.7){$C$} \uput[d](2.2,0){$D$} 
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.

 (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item   Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la
droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.
		\item  Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item   \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \section{\textbf{Amérique du Sud novembre 2007}}

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

\begin{enumerate}
\item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\item 	On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives $x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$.

	Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$.
	
Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$.
\item 	Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$.
		\item  Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$.
		\item  Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, i.e la distance HH$'$.
	 \end{enumerate}
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot \vect{\text{HH}'} = 126$.
\end{enumerate}

\section{\textbf{Métropole  juin 2008}}


Dans l'espace muni d'un repère orthonormal 
\Oijk, on considère les points
\[\text{A}(1~;~1~;~0),	\text{B}(1~;~2~;~1)~ \text{et}~ \text{C}(3~;~ - 1~;~2).\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item  Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \\
		$2x + y - z -3 =0$.
 	\end{enumerate}
\item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$.\\
Démontrer que l'intersection des plane ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathscr{D}$), dont une représentation
paramétrique est :
	\[  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=&3 \\	
z&=&t\\
	\end{array} \right. (t \in \R)\]
	
\item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ?
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

	Déterminer la distance du point A à la droite ($\mathscr{D}$).
\end{enumerate}

\section{\textbf{Pondichéry avril 2006}}


L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j}, \vec{k})$.

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\begin{center}  (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)\end{center}

Soit $a, b, c$ et $d$ des réels tels que $(a,~b,~c) \neq (0,~0,~0)$.
Soit $\mathscr{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
On considère le point $I$ de coordonnées $\left(x_{1},~ y_{1} ,~z_{1}\right)$ et le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(a,~b,~c)$.

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $\mathscr{P}$ est égale à $\dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

\begin{enumerate}
\item  Soit $\Delta$ la droite passant par $I$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
Déterminer, en fonction de $a,~ b,~ c,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$, un système d'équations paramétriques de $\Delta$.
\item On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathscr{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{IH} = k\vect{n}$.
		\item Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a,~ b,~  c,~ d,~ x_{1},~ y_{1}$ et $z_{1}$.
		\item En déduire que $IH = \dfrac{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Le plan $\mathscr{Q}$ d'équation $x - y + z - 11 = 0$ est tangent à une sphère $\mathscr{S}$ de centre le point $\Omega$ de coordonnées $(1,~-1,~3)$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le rayon de la sphère $\mathscr{S}$.
\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathscr{Q}$
\item En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère $\mathscr{S}$ et du plan $\mathscr{Q}$.
\end{enumerate}
\end{document}