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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{Probabilités discrètes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo

\Exoi{Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablettes, il décide d'offrir des places de cinéma dans la moitité des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, $60\%$ permettent de gagner exactement une place de cinéma et $40\%$ exactement deux places de cinéma.\\
On note $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.
\begin{enumerate}
\item Un client achète une tablette de chocolat. On considère les événements suivants :
\\
$G=$ \og le client achète une tablette gagnante \fg.\\
$U=$ \og le client gagne exactement une place de cinéma \fg.\\
$D=$ \og le client gagne exactement deux places de cinéma \fg. 
\begin{enumerate}
\item Donner $P(G)$, $P_G(U)$ et $P_G(D)$.
\item Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à $0,3$.
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client. \\
Déterminer la loi de probabilité de $X$. \\
Calculer l'espérance mathématique de $X$.
\end{enumerate}
\item Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma.
\item Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une place de cinéma.
\item Déterminer la probabilité qu'il gagne exactement deux places de cinéma.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et quatre boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l'urne.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivantes :
$J=$ \og tirer une boule jaune \fg.
\\
$B=$ \og tirer une boule bleue \fg.\\
$R=$ \og tirer une boule rouge \fg.\\
$V=$ \og tirer une boule verte \fg.
\item 
 En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est  :
\begin{itemize}
\item rouge, on gagne $10\euro$.
\item verte, on gagne $2\euro$.
\item jaune ou bleue, on gagne $3 \euro$.
\end{itemize}
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé.
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question $(1)$ : $P(X=2)$, $P(X=3)$ et $P(X=10)$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$, sa variance puis son écart-type. (\begin{small}
on arrondira l'écart-type à $10^{-2}$).
\end{small}
\end{enumerate}
\item Maintenant, on gagne toujours $10\euro$ si la boule tirée est rouge, $2\euro$ si elle est verte mais on gagne $3\euro$ si elle est jaune et $m\euro$ si elle est bleue ; $m$ désigne un réel positif.\\
Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5\euro$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Un grossiste en appareiles ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement $M_1$, $M_2$ et $M_3$.\\
La moitié des appareils de son stock provient de $M_1$, un huitième de $M_2$ et trois huitièmes de $M_3$.\\
Ce grossiste sait que sans stock, $13\%$ des appareils de la marque $M_1$ sont rouges, que $5\%$ des appareils de la marque $M_2$ sont rouges et que $10\%$ des appareils de la marque $M_3$ le sont aussi.\\
On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste : (\begin{small}
On donnera les résultats sous forme de fractions)
\end{small}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il vienne de $M_3$ ?
\item Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de $M_2$ ?
\item Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?
\item Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge.\\
Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque $M_1$ ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{Un fumeur essaye de réduire sa consommation. On admet qu'il fonctionne toujours suivant les conditions :
\begin{itemize}
\item $C_1 :$ S'il reste un jour sans fumer, alors il fume le lendemain avec une probabilité de $0,4$.
\item $C_2 :$ Par contre, s'il cède et fume un jour, alors la probabilité qu'il fume le lendemain est de $0,2$.
\end{itemize}
On note $p_n$ la probabilité qu'il fume le $n^{\text{ième}}$ jour.\\
Déterminer la limite de $p_n$. Conclusion ?}

\Exoi{Certains gènes peuvent avoir deux états : $A$ (allèle dominant) ou $a$ (allèle récessif).\\
Les couples de gènes sur des paires de chromosomes n'ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu donné peut avoir l'un des trois génotypes suivants :
$$ AA\qquad \text{ou}\qquad aa \qquad \text{ou}\qquad Aa$$
Lors d'un appariement entre deux individus, l'enfant récupère un allèle de chacun de ses deux parents. \\
Exemples :
\begin{itemize}
\item si un parent a le génotype $AA$ et l'autre $Aa$, l'enfant sera du type $AA$ ou $Aa$ avec des probabilités égales à $\dfrac{1}{2}$.
\item si un parent a le génotype $Aa$ et l'autre $Aa$, l'enfant sera du type $AA$ ou $Aa$ ou $aa$ avec probabilités égales à $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{4}$ respectivement.
\end{itemize}
On note $p_n$, $q_n$ et $r_n$ les proportions des génotypes $AA$, $Aa$, $aa$ de la génération $n$.
\begin{enumerate}
\item A l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrées, faire apparaître tous les cas possibles d'appariements et les génotypes de l'enfant qui en découlent.
\item En déduire les proportions $p_{n+1}$, $r_{n+1}$ et $q_{n+1}$ en fonction de $p_n$, $r_n$ et $q_n$.
\item On note $\alpha =p_0-r_0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in\N$ : $\qquad \qquad p_n-r_n=\alpha$.
\item En déduire, pour tout $n\in\N$, une expression de $p_{n+1}$, $r_{n+1}$ et $q_{n+1}$ en fonction du seul paramètre $\alpha$.\\
En déduire que pour $n\geq 1$, les suites $(p_n)$, $(q_n)$ et $(r_n)$ sont constantes.\\
\footnote{Ce résultat est connu sous le nom de \og loi de l'équilibre génétique de Hardy-Weinberg\fg. Ainsi, quelles que soient les proportions initiales des trois génotypes, la répartition est stabilisée dès la génération suivante.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{Un marchand de glaces propose dix parfums au choix pour des glaces en cornet. Trois élèves choisissent, au hasard et indépendamment l'un de l'autre, un des parfum proposés.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og les trois élèves choisissent des parfums deux à deux distincts\fg. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parfums choisis par les trois élèves. \\
Déterminer la loi de probabilité de $X$. Calculer son espérance mathématique. Interpréter.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Une grande enveloppe contient les douze \og figures \fg d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus.\\
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique. Interpréter.
\item Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit $Y$ la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des cinq tirages. \\
Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et calculer son espérance mathématique. Interpréter. 
\end{enumerate}}


\Exoi{Une urne $U_1$ contient trois boules noires et sept boules blanches.\\
Une urne $U_2$ contient cinq boules joires et cinq boules blanches.\\
On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux boules, avec remise, dans l'urne choisie.\\
On note :
\\
$B_1$ l'événement \og obtenir une boule blanche au premier tirage \fg.\\
$B_2$ l'événement \og obtenir une boule blanche au second tirage \fg.\\
Les événements $B_1$ et $B_2$ sont-ils indépendants ?}

\Exoi{Un fournisseur livre deux catégories de câbles $C_1$ et $C_2$. \\
Dans chaque livraison figurent $20\%$ de câbles $C_1$ et $80\%$ de câbles $C_2$.\\
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.\\\textbf{Partie A}\\
Dans cette partie, aucun calcul approché n'est demandé.
\\
On prélève, au hasard, $4$ câbles dans une livraison de $50$ câbles.
\begin{enumerate}
\item Préciser la probabilité de l'événement $E=$ \og les $4$ câbles sont du type $C_1$ \fg. 
\item Préciser la probabilité de l'événement $F=$ \og un câble est du type $C_1$ et $3$ câbles sont du type $C_2$ \fg.
\item Préciser la probabilité de l'événement $G=$ \og au moins un câble est du type $C_1$ \fg.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\
Dans cette partie, on prélève un câble dans une livraison, on note son type et on le remet dans le lot. On réalise $n$ fois cette expérience $\mathscr E$ et on note $X$ le nombre de câbles $C_1$ obtenus.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $n=4$. Les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité d'obtenir $2$ câbles du type $C_1$.
\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins un câble de type $C_1$.
\item Calculer l'espérance $E(X)$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question $n$ est inconnu.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $P(X\geq 1)$ en fonction de $n$.
\item Combien de fois faut-il réaliser l'expérience $\mathscr E$ pour être sûr à $90\%$ d'obtenir au moins un câble $C_1$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{M. aime bien faire des blagues, mais elles ne sont pas toujours très drôles. La probabilité qu'il fasse une blague drôle est $0,05$. \\
Sachant qu'il fait une blague par jour, quelle est la probabilité qu'il fasse au moins une bonne blague :
\begin{enumerate}
\item en une semaine ?
\item en un mois (de $30$ jours) ?
\item en un an (de $365$ jours) ?
\end{enumerate}}

\Exoi{Un individu est tiré au hasard d'une population dans laquelle une personne sur $10 000$ est séropositive. \\
On lui fait passer  un test de dépistage de séropositivité. \\
Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit effectivement séropositive ?\\
\underline{Données} : 
\begin{itemize}
\item Si on est séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de $0,99$.
\item Si on n'est pas séropositif, alors le test positif avec une probabilité de $0,001$. (et oui on peut être contrôlé positif sans être séropositif.)
\end{itemize}}

\Exoi{Deux laboratoires pharmaceutiques proposent chacun leur vaccin contre une maladie.\\
On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item Un quart de la population a utilisé le vaccin $A$. Un cinquième le vaccin $B$.
\item Lors d'une épidémie, on constate que sur $1000$ malades, $8$ ont utilisé le vaccin $A$ et $6$ le vaccin $B$.\\
\end{itemize}
On choisit un individu au hasard dans la population et on note :
$$ M=\text{\og l'individu est malade \fg } \qquad \text{et} \qquad V=\text{\og l'individu est vacciné \fg}$$
On appelle \og indcateur d'efficacité \fg d'un vaccin le réel :
$$ \lambda=\dfrac{P_{\overline{V}}(M)}{P_{V}(M)}=\dfrac{\text{probabilité qu'un individu non vacciné soit malade}}{\text{probabilité qu'un individu vacciné soit malade}}$$
Plus l'indicateur $\lambda$ est grand, plus le vaccin est efficace.
\\
Calculer $\lambda$ pour chacun des deux vaccins. Que peut-on en déduire ?}

\Exoi{Dans une population donnée, la proportion d'individus atteint d'une certaine maladie est $x$.\\
On dispose d'un test de dépitasge de cette maladie et on voudrait étudier sa fiabilité.\\
On dispose des donnés suivantes :
\begin{itemize}
\item on effectue le test de dépistage à $100$ personnes considérées comme malades : $98$ ont un  test positif.
\item on effectue le test de dépistage à $100$ personnes considérées comme saines : $1$ seule a un test positif.
\end{itemize}
On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test.\\
On note :
\\
$M=$ \og l'individu est malade \fg.\\
$T=$ \og l'individu a un test positif \fg.\\
On note $f(x)$ la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit malade.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$. Tracer la courbe de la fonction $f$ sur $[0;1]$.
\item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit malade est supérieure à $0,95$. Le test est-il fiable si la proportion $x$ d'individus atteints de la maladie est de $0,05$ ($5\%$) ?\\
A partir de quelle proportion de $x$ le test est-il fiable ?
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item On remplit une urne avec des jetons blancs et des jetons noirs. A chaque étape, il y a autant de chances de rajouter dans l'urne un jeton noir qu'un blanc. On s'arrête lorsque l'urne contient $10$ jetons. \\
On note $X$ le nombre de jetons blancs dans l'urne.\\
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance $E(X)$.
\item Une urne a été remplie suivant le protocole précédent mais on ignore sa composition en jetons blancs et en jetons noirs. On tire successivement et avec remise, dix jetons de cette urne. On obtient $4$ fois un jeton blanc et $6$ fois un jeton noir. Calculer la probabilité que l'urne contienne $4$ jetons blancs et $6$ jetons noirs. 
\end{enumerate}}
\end{document}

