\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\ch}{Chapitre 7} \newcommand{\Ch}{Logarithme n\'ep\'erien} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \debutexo \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \Exoi{\begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f:x\longmapsto \ln(1-3x)$ \item $f:x\longmapsto \ln(x+1)+\ln(x-1)$ \item $f:x\longmapsto \ln(x^2+1)$ \item $f:x\longmapsto \ln(1-e^x)$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Exprimer, en fonction de $\ln 2$ seulement, les nombres : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $\ln 32$ \item $\ln 4096$ \item $\ln \left(\dfrac{1}{8}\right)$ \item $ \ln 0,0625$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Exprimer, en fonction de $a=\ln 2$ et $b=\ln 5$, les nombres : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\ln \dfrac{8}{25}$ \item $\ln 625$ \item $\ln(10^6)$ \item $\ln 0,08$ \item $\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{2}{3}+\dots +\ln \dfrac{98}{99}+\ln \dfrac{99}{100}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Simplifier les expressions suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\ln e^5$ \item $\ln \sqrt{e}+\ln \dfrac{1}{e}$ \item $e^{\ln(3+\sqrt{2})}$ \item $\ln(e^3 \sqrt{e})$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Démontrer que les fonctions suivantes sont impaires : \begin{enumerate} \item $f$ est définie sur $]-3;3[$ par $$ f(x)=\ln \dfrac{3-x}{3+x}$$ \item $ g$ est définie sur $\R$ par $$ g(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}$$ \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{\textit{Datation au carbone $14$}\\ Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossiles, $\dots$) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone $14$, encore présent dans l'objet.\\ En effet, à la mort d'un être vivant, le carbone $14$ présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que, si $p$ est la proportion de $C_{14}$ restante au bout de $N$ années, alors $N=-8310 \ln p$ \begin{enumerate} \item Le squelette d'un \og Homme de Cro-Magnon \fg contient $5\%$ du carbone $14$ initial. Quel âge-a-t-il ? \item Lucy est la forme la plus ancienne d'Hominidé connu ; les spécialiste lui donnent $4,4$ millions d'années.\\ A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à l'aide du carbone $14$ ? \item Découverte dans un glacier en $1991$, la momie Hibernatus contenait $52,8\%$ (à $1\%$ près) du carbone $14$ initial. Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus. \end{enumerate}} \Exoi{\textit{Radioactivité}\\ La loi d'évolution d'un corps radioactif est donnée par la formule $N_1=N_0e^{-at}$, $a$ étant une constante positive et $N_t$ le nombre d'atomes contenus dans un échantillon de ce corps au temps $t$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $t\longmapsto N_t$ \item On désigne par $T$ le temps au bout duquel $N_T=\dfrac{1}{2}N_0$.\\ Exprimer $a$ en fonction de $T$. Comparer $N_{t+T}$ à $N_t$. $T$ est appelé \og demi-vie \fg ou \og période \fg du corps radioactif. \item Au bout de combien de temps $1$ g de radium perdra-t-il une masse de $1$ mg (la période du radium étant de $1622$ ans) ?\\ (La masse est proportionnelle au nombre d'atomes.) \end{enumerate}} \Exoi{Résoudre l'équation, l'inéquation ou le système proposé, après avoir déterminé l'ensemble de définition des expressions en présence. \begin{multicols}{2}\begin{enumerate} \item $\ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$ \item $\ln(x^2+4x+3)=\ln(x+7)$ \item $\ln x=3$ \item $\ln(3x-1)=5$ \item $\ln x+\ln (x-7)=\ln2$ \item $$\left\{ \begin{array}{l} e^x-2e^y=-5 \\3e^x+e^y=13 \end{array} \right.$$ (Poser $X=e^x$ et $Y=e^y$). \end{enumerate}\end{multicols}} \Exoi{Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $1,0001^n>10^{100}$ \item $0,999^n<10^{-100}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Calculer les limites, si elles existent, des fonctions suivantes en $0$ et en $+\infty$. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $x\longmapsto \sqrt{1+\ln^2 x}$ \item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$ \item $x\longmapsto x-\ln x$ \item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} }$ \item $x\longmapsto \sqrt{x}\ln x$ \item $x\longmapsto x\ln \sqrt{x}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Préciser sur quel intervalle (ou réunion d'intervalles) la fonction est dérivable, et calculer sa dérivée. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f(x)=\ln(3x+2)$ \item $f(x)=\ln(x^2-1)$ \item $f(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2 x$ \item $f(x)=\ln(\ln x)$ \item $f(x)=x\ln x-x$ \item $f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{1}{2}x+2+\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$ \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et étudier les limites aux bornes de cet ensemble (quatre calculs). \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. \item Montrer que la courbe $\mathscr C_f$ admet en $+\infty$ et $-\infty$ une asymptote oblique $\Delta$ et préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\Delta$. \item Construire $\mathscr C_f$ et $\Delta$ (unité : $1$ cm). \item Montrer que le point $\varOmega(0;2)$ est centre de symétrie de $\mathscr C_f$. \end{enumerate} } \Exoi{On pose, pour $x>0$ et $\alpha$ réel, $$f_\alpha(x)=x^\alpha=e^{\alpha\ln x}$$ \begin{enumerate} \item Que dire de $f_\alpha(x)$ lorsque $\alpha=0$ ? lorsque $\alpha =1$ ?\\ \textit{Dans la suite, on suppose que $\alpha \notin\{0;1\}$} \item Etudier les limites de $f_\alpha$ en $0$ et en $+\infty$, en distinguant les deux cas : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\alpha>0$ \item $\alpha<0$ \end{enumerate} \end{multicols} \item On suppose que $\alpha <0$.\\ Dresser le tableau de variations de $f_\alpha$ et tracer sa représentation graphique $\mathscr C_\alpha$ dans les cas : $$ \alpha=-2\qquad \alpha=-1\qquad \alpha=-0,5\qquad \alpha=-0,1$$ \item On suppose que $\alpha>0$ \begin{enumerate} \item On prolonge $f_\alpha$ en $0$ en posant $f_\alpha(0)=0$.\\ Montrer qu'ainsi $f_\alpha$ est continue en $0$. \item Etudier la dérivabilité en $0$ de la fonction ainsi prolongée (distinguer les cas $\alpha >1$ et $0<\alpha<1$). \item Etudier $$ \Lim{+\infty} \dfrac{f_\alpha(x)}{x}$$ en distinguant deux cas. Interpréter les résultats. \item Tracer les courbes $\mathscr C_{0,2}$, $\mathscr C_{0,5}$, $\mathscr C_2$ et $\mathscr C_{4,5}$ sur le même graphique. \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{La fonction suivante permet de modéliser des phénomènes aléatoires se produisant en moyenne trois fois par unité de temps. $$ \text{(loi \og gamma trois \fg) : }f(x)=\dfrac{1}{2}x^2e^{-x}\qquad x\geq 0$$ Etudier la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ : \begin{enumerate} \item Limite en $+\infty$. \item Dérivée et sens de variation. \item Représentation graphique. \end{enumerate}} \Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$ f(x)=\dfrac{\ln x+xe}{x^2}$$ On note $\Gamma$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O•\vec u, \vec v)$, unité graphique : $2$ cm. \begin{enumerate} \item \textbf{Etude d'une fonction auxiliaire.} \\ On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ g(x)=-2\ln x-xe+1$$ \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$. \item Etudier le sens de variation de $g$. \item Montrer que, dans $[0,5;1]$, l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule, notée $\alpha$. \\ Déterminer un encadrement de $\alpha $ à $0,1$ près. \item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. \end{enumerate} \item \textbf{Etude de la fonction $f$}\\ \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $$ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$$ puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$. \item Montrer que $$ f(\alpha)=\dfrac{1+\alpha e}{2\alpha^2}$$ \item Donner le tableau de variations de $f$. \item Construire $\Gamma$ \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{\textit{Un truc de banquier}\\ Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital, placé à intérêts composés, de la façon suivante ; \og Si $t$ est le taux d'intérêt (en $\%$), le capital double au bout de $ \dfrac{70}{t}$ années. \fg\\ On rappelle qu'au bout de $n$ années de placement au taux $t$, la valeur d'un capital est multipliée par : $$ \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n$$ \begin{enumerate} \item Etablir, pour $x\geq 0$, l'encadrement : $$ x-\dfrac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x$$ \item En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation $$ \ln(1+x)\simeq x$$ \item Justifier le \og truc \fg du banquier, pour les petites valeurs de $t$ ($t\leq 14$). \item Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un capital triple, quintuple, décuple. \end{enumerate} } \Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x+ \ln x.\] On nomme $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\vec i , \vec j)$ du plan. \begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle \\$]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$.\\ On note $\alpha_{n}$ cette solution. On a donc : pour tout entier naturel \\$n,~ \alpha_{n} + \ln \alpha_{n} = n$. \item Sur la page annexe, on a tracé $\Gamma$ dans le repère $(O\vec i , \vec j)$. \\ Placer les nombres $\alpha_{0},~ \alpha_{1},~ \alpha_{2},~ \alpha_{3},~ \alpha_{4}$ et $\alpha_{5}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. \item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$. \item Démontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est strictement croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1. \item Etudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = \ln x - x + 1.\] En déduire la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à $\Delta$. \item Tracer $\Delta$ sur le graphique de la page annexe. \\ Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,~$\dfrac{n + 1}{2} \leqslant \alpha_{n}$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$. \end{enumerate}} \begin{center}\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(0,-3)(11,14) \psaxes{->}(0,0)(0,-3)(11,14) \psplot[plotpoints=500]{0.048}{11}{x ln x add} \end{pspicture} \end{center} \Exoi{\'Etudiez la fonction $f~:~x\longmapsto 2^x$.} \Exoi{\\ \noindent \textbf{I. Première partie} \\ On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions d\'efinies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \ln(1 +x) - x\quad \text{et} \quad g(x) = \ln (1+x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\] \begin{enumerate}\item Etudier les variations de $f$et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item En déduire que pour tout $x \geqslant 0,~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x$. \end{enumerate} \noindent \textbf{II. Deuxième partie} \\ On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par : \[u_{1} = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\] \begin{enumerate}\item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : \[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) + \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots + \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\] \item On pose $S_{n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} = \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$\\ A l'aide de la premi\`ere partie, montrer que : \[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\] \item Caiculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_{n}$. \item Etude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate}\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante. \item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite. \item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles que $v_{n} \leqslant w_{n}$ pour tout $n$ entier naturel, alors \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}$. Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} } \pagebreak \Exoi{ On pose $f(x)=\dfrac{e^x}{x^\alpha}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrez que $f(x)=e^{x\left(1-\alpha\frac{\ln x}{x}\right)}$ \item Déduisez-en $\Lim{+\infty}f(x)$ \end{enumerate} \item On pose $\psi(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ \begin{enumerate} \item Démontrez que $\psi(x)=e^{-x\left(1-\alpha\frac{\ln x}{x}\right)}$ \item Qu'en déduisez-vous ~? \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{\hfill (Antilles-Guyanne Sept.2010)\\ \textbf{PARTIE A - Restitution organisée des connaissances}\\ On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de $u \circ v$ ainsi que ses conditions d'utilisation. \\ On suppose savoir que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ on a : exp$(\ln x) = x$. \\ A partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ qui \`a $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. \\ \textbf{PARTIE B - Etude de fonction} \\ On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x + \dfrac{\ln x}{x}.\] Le but du problème est l'étude de cette fonction (et le calcul d'une aire).\\ On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unit graphique 3~cm. \\ \textbf{I - Etude d'une fonction auxiliaire} \\ On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[g(x) = x^2 + 1 - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item En deduire le signe de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \textbf{II - Etude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath et tracé de sa courbe représentative} \boldmath $\mathscr{C}$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$. Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? \item Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f$ puis montrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote la courbe $\mathscr{C}$. \item Soit $f'$ la fonction dériveé de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \item Déterminer le point A de la courbe $\mathscr{C}$ en lequel la tangente $\mathscr{T}$ est parallèle à la droite $\mathscr{D}$. \item Dans le repère \Oij{} tracer les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{T}$ et la courbe $\mathscr{C}$. \end{enumerate} } \Exoi{\hfill (La réunion Sept.2010)\\ Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$. \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$. En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$. \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x) = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. \item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,3) \psframe(7.5,3) \psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(1.6,0)(1.6,2)\psline(1.7,0)(1.7,2) \uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.65,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$} \uput[u](7.1,2){$+ \infty$} \rput(0.75,1){$f_{k}(x)$} \psline{->}(1.9,0.3)(3.8,1.7) \psline{->}(5.2,1.7)(7.1,0.3) \uput[d](4.5,2){$\dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$} \end{pspicture} \end{center} Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau. \item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_{k}$ reprsentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_{k}$. \\ Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-2.5)(4,1) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5) \uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$} \uput[ul](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){$\mathscr{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} } \Exoi{\hfill (Métropole Sept.2010)\\ Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[ f(x) = x (1 - \ln x).\] La courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ est donneé en annexe 1 (à rendre avec la copie). \begin{enumerate} \item Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisse $a$. \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. \item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 à( rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure. \end{enumerate} \end{enumerate} } \Exoi{\hfill (Polynésie 2009)\\ Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : \[f_{n}(x) = - nx - x \ln x.\] On note $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$, dans un repère orthonormal \Oij.\\ Les courbes $\left(\mathscr{C}_{0}\right),~ \left(\mathscr{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathscr{C}_{2}\right)$ représentatives des fonctions $f_{0},~ f_{1}$ et $f_{2}$ sont données en annexe.\\ On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. \\ \textbf{Partie A : Etude de la fonction~ \boldmath $f_{0}$\unboldmath ~définie sur{} \boldmath $]0~;~+ \infty[$\unboldmath{} par \boldmath $f_{0}(x) = -x\ln x$.}\unboldmath \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f_{0}$ en $+ \infty$. \item Etudier les variations de la fonction $f_{0}$ sur $]0~;~+\infty[$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : Etude de certaines propriétés de la fonction{} \boldmath $f_{n},~ n$ \unboldmath{} entier naturel.} \\ Soit $n$ un entier naturel. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $x \in ]0~;~ + \infty[$ , $f'_{n}(x) = -n -1 -\ln x$ où $f'_{n}$ désigne la fonction dérivée de $f_{n}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ admet en un unique point $A_{n}$ d'abscisse $\text{e}^{-n-1}$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. \item Prouver que le point $A_{n}$ appartient à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. \item Placer sur la figure en annexe les points $A_{0},~ A_{1},~ A_{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la courbe $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un unique point, noté $B_{n}$, dont l'abscisse est $\text{e}^{-n}$. \item Démontrer que la tangente $\left(\mathscr{C}_{n}\right)$ au point $B_{n}$ a un coefficient directeur indépendant de l'entier $n$. \item Placer sur la figure en annexe les points $B_{0},~ B_{1},~ B_{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} } \begin{center} \psset{unit=6cm} \begin{pspicture}[comma=true](-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(1.75,1) \psframe(-0.25,-0.6)(1.75,1.1) \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{0.001}{1.48}{x ln x mul neg}\uput[r](1.34,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{0} \right)$} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{0.001}{0.78}{x ln 1 add x mul neg}\uput[r](0.67,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{1} \right)$} \psplot[plotpoints=5000,linecolor=red]{0.001}{0.47}{x ln 2 add x mul neg}\uput[r](0.39,-0.4){$\left(\mathscr{C}_{2} \right)$} \end{pspicture} \end{center} \pagebreak \Defc{ La fonction $\log\ :\ x\mapsto \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ définie pour $x>0$ est appele \textbf{fonction logarithme décimal} } \Exoi{ \begin{enumerate} \item \'Etudiez brièvement cette fonction et mettre en évidence ses principales propriétés algébriques. \item On considère un repère où l'axe des abscisses est gradué comme d'habitude et où l'axe des ordonnées est gradué en échelle logarithmique, I.e qu'une uniét étant choisie, la $k-ime$ unité correspond à une ordonne de $10^k$. \\ Représenter dans un tel repère les fonctions suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f_1~:~x\mapsto 10^x$ \item $f_2~:~x\mapsto 32\times 10^x$ \item $f_3~:~x\mapsto 0,32\times 10^x$ \item $f_4~:~x\mapsto e^x$ \item $f_5~:~x\mapsto e^{-32x}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate}} \Exoi{\textit{Musique, complexe, logarithme}\\ On définit le logarithme de base 2 d'un réel strictement positif par $\log_2(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}$. Dans la suite du problème, $E(x)$ désigne la partie entière de $x$. \begin{enumerate} \item \textbf{Préliminaires} \begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $\log_2$. \item Calculer $\log_2(32)$. Que dire de $\log_2(x)$ si le réel $x$ est compris entre $2^n$ et $2^{n+1}$~? \item On suppose que $E(x)=n$. Calculez $E(x+1)$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \textbf{La la la la}\\ La fréquence rapportée de la fréquence $f$ à l'intervalle $[1,2[$ est le nombre $r(f)$ défini de la façon suivante : soit $p$ un entier tel que $2^p\leq f$ et $f<2^{p+1}$, le nombre $f$ appartenant $[1,+\infty[$; alors $r(f)=2^{-p}f$. \begin{enumerate} \item Montrer que $r(f)=2^{-E\left(\log_2(f)\right)} f$ \item On dit qu'une fonction $f$ est multiplicativement périodique de période $T$ ($T>0$) si, pour tout réel $t$, on a $\phi(Tt)=\phi(t)$. \\ Montrer que la fonction $r$ est multiplicativement périodique de période 2. \\ On suppose que $r(f_1)=r(f_2)$ : peut-on en déduire qu'il existe un entier relatif $p$ tel que $f_1=2^pf_2$~? \\ Quelle est la fréquence rapportée de $f=203$~? \item A la fréquence $f$ on associe le point $M$ du plan complexe d'affixe $z(f)=f e^{2i\pi\log_2(f)}$. \\ On dit que deux sons de frquences $f_1$ et $f_2$ déterminent la même note si et seulement si $z(f_1)$ et $z(f_2)$ ont le même argument. \\ Montrer alors que $r(f_1)=r(f_2)$. la réciproque est-elle vraie~? \item On considère un LA la frquence $f_0=440$. On note $\zeta=2^{1/12}$. On définit la suite des demi-tons montant du LA 440 de la façon suivante $$f_0=440\qquad f_{n+1}=\zeta f_n$$ \\ Que pouvez-vous dire de cette suite~? \\ \'Etablir que $f_{n+12}=2f_n$ et interprter physiquement cette relation. \\ La suite des notes, à partir du LA 440, obtenu par demi-tons montant est LA$\#$, SI, DO, DO$\#$, R\'E, R\'E$\#$, MI, FA, FA$\#$, SOL, SOL$\#$, LA, ... \\ quelle note correspond un son de fréquence $f=18\,794$~? \end{enumerate} \end{enumerate}} \end{document}