\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Limites et continuit\'e}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutexo
\Exoi{\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation  $ \dfrac{2}{1+x^2}<10^{-4}$
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$
\item Déterminer un réel $a$ tel que, pour tout réel $x$ :
\\ si $x>a$ alors $0\leq f(x)+1\leq 10^{-4}$
\item Démontrer que $$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-1$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ une fonction décroissante sur $]0;+\infty[$ telle que :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$$
Démontrer que, pour tout $x\in\R^+$ on a $f(x)\geq 0$}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=\dfrac{E(x)}{x}$ où $E$ désigne la fonction partie entière.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$, $x-1\leq E(x)\leq x$
\item En déduire que $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=1$
\end{enumerate} }

\Exoi{Soit $f(x)=\dfrac{1+2\sin x}{1+\sqrt{x} }$ sur $]0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, si $x>0$ alors $-\dfrac{1}{\sqrt{x} }\leq f(x)\leq \dfrac{3}{\sqrt{x} }$
\item En déduire que $f$ admet une limite en $+\infty$ dont on précisera la valeur.
\end{enumerate} }

\Exoi{Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{3x^2-2}{x^2+1}$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{2-3x}{x^2+x+1}$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par :$$f(x)=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$$
Démontrer que la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x+3$ est une asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$}

\Exoi{Démontrer qu'une suite, qui est décroissante et non minorée, a pour limite $-\infty$}

\Exoi{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$ par :
$$u_n=1+\dfrac{1}{\sqrt{2} }+\dfrac{1}{\sqrt{3} }+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n} }$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$ et tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$, on a $$ \dfrac{1}{\sqrt{k} }\geq \dfrac{1}{\sqrt{n} }$$
\item En déduire que, pour tout $n\geq 1$ on a $u_n\geq \sqrt{n}$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}}

\Exoi{La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $$ f(x)=\dfrac{1}{2-\cos x}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $$ \dfrac{1}{3}\leq f(x)\leq 1$$
\item En déduire les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2-\cos x}$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x+\cos x}{2-\cos x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq 1$ et $x\neq -2$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-x^2-4x+5}{x^2+x-2}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ distinct de $1$ et $-2$ on ait :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+x-2}$$
\item Montrer que la courbe $\mathscr C_f$, représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan, admet une asymptote oblique $\mathscr D$ et deux asymptotes verticales dont on précisera les équations.
\item Etudier la position relative de $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par : $$ f(x)=x \sqrt{1+\dfrac{1}{x^2} } $$ et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire.\\
On appelle $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=]0;+\infty[$ et $\mathscr C_g$ sa représentation graphique dans le repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\item Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Démontrer que $g$ est croissante sur $I$
\item On pose $h(x)=g(x)-x$.\\
Déterminer la limite de $h$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item Déterminer : $$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)-1}{x}$$
Quelle est l'allure de la courbe $\mathscr C_g$ au voisinage du point $A(0;1)$ ?
\item Construire $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 \text{ si }x<0\\ x-1 \text{ si }x\geq 0  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$.
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ? 
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ :\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{x-1}{x^2+2}$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \sqrt{3x-1}$ sur $\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \cos 2x$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \mid 3x-1 \mid$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On désigne par $E$ la fonction partie entière. Soit $f$ la fonction définie sur $[-2;2]$ par :
$$ f(x)=E(x)+(x-E(x))^2$$
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $[-2;2]$ ?
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\sin x}{x} \text{ si }x\neq 0\\a \text{ si }x=0  \end{array} \right.$$
Est-il possible de choisir le réel $a$ de sorte que la fonction $f$ soit continue sur $\R$ ?}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que tout polynôme de degré $3$ s'annule au moins une fois sur $\R$.
\item Donner un exemple de polynôme de degré $4$ qui ne s'annule dans $\R$.
\end{enumerate} 
\item On admet qu'un polynôme de degré $3$ a, au plus, trois racines.
\begin{enumerate}
\item En calculant les images des réels $-3$, $0$ et $2$, déduire le nombre de solutions de l'équation : $$ x^3-6x+3=0$$
\item Donner un exemple d'équation du troisième degré qui n'a qu'une seule solution dans $\R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $(E)$ l'équation $x^3+5x=2$
\begin{itemize}
\item Démontrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;1]$.
\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
\item L'équation $(E)$ admet-elle des solutions n'appartenant pas à l'intervalle $[0;1]$ ? Justifier.
\end{itemize}}

\Exoi{Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x+\cos x=1$
\item $x^2=\sin x$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$ g(x)=2x^3+x^2-1$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $g$.
\item En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ telle que $0,65<\alpha<0,66$
\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par : 
$$ f(x)=\dfrac{1}{3}\left(x^2+x+\dfrac{1}{x}\right)$$
On désigne par $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition.
\item En utilisant la question $1.$, déterminer les variations de $f$ et dresser son tableau de variation
\item Soit $I$ le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $-1$ et $J$ le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $1$\begin{enumerate}
\item Vérifier que la droite $(IJ)$ est tangente en $J$ à $\mathscr C_f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ en $I$ à $\mathscr C_f$
\item Etudier la position $\mathscr C_f$ par rapport à $T$ 
\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$$ h(x)=\dfrac{1}{3}(x^2+x)$$ et $\mathscr P$ sa représentation graphique dans le même repère que $\mathscr C_f$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de la fonction $x\longmapsto f(x)-h(x)$. Que peut-on dire des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr P$ en $+\infty$ et en $-\infty$ ?
\item Etudier la position relative des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr P$
\end{enumerate}
\item Construire $\mathscr P$, $(IJ)$, $T$ et la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Afin de dénombrer les solutions de l'équation : 
$$ x(x^3-6x+1)=-1$$ on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x(x^3-6x+1)$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et la fonction dérivée $f''$ de $f'$.
\item Dénombrer les solutions de l'équation $$ 4x^3-12x+1=0$$
En donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
\item En déduire le signe de $f'$, puis le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Conclure quant au nombre de solutions de l'équation proposée.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x\neq 1$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x+1}{x^3-1}$$
On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique dans un plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x\neq 1$ :
$$ f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^3-1)^2}$$ où $P$ est une fonction polynôme de degré $3$ que l'on précisera.
\item Etudier les variations de la fonction $P$ sur $\R$ et démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. En déduire le signe de $P(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer les variations de la fonction $f$ sur les intervalles où elle est définie.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C_f$ au point $A(0;-1)$
\item Préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à la droite $T$ .
\item Préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $-1$.
\item Vérifier les résultats obtenus précédemment en visualisant à la calculatrice la courbe $\mathscr C_f$ et les tangentes étudiées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Exoi{Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $2$, considérons la fonction $f_n$ définie sur $[0;1]$ par :
$$ f_n(x)=x^n-nx+1$$ et $\mathscr C_n$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Sur l'écran d'une calculatrice, visualiser les courbes $\mathscr C_2$, $\mathscr C_3$ et $\mathscr C_4$ 
\item Etudier la postion relative des courbes $\mathscr C_n$ et $\mathscr C_{n-1}$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $a_n$
\item Quel est le sens de variation de la suite $(a_n)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Exoi{Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$, soit $\mathscr P$ la parabole d'équation $y=x^2$ et $A$ le point de coordonnées $(1;0)$.\\
L'objet de cet exercice est de déterminer le point $B$ de la courbe $\mathscr P$ qui est le plus proche de $A$.\\
Dans ce but, pour tout réel $x$, on pose $f(x)=AM^2$, où $M$ est le point de $\mathscr P$ d'abscisse $x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire l'existence et l'unicité du point $B$ et déterminer un encadrememnt d'amplitude $10^{-2}$ de son abscisse $b$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ une fonction continue et définie sur l'intervalle $[0;1]$ et à valeurs dans l'intervalle $[0;1]$. Démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe dans $[0;1]$ \footnote{On considèrera la fonction $g$ où $g(x)=f(x)-x$}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. La courbe $\mathscr C_f$ admet-elle des asymptotes horizontales ?
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=-2x-\dfrac{1}{2}$ est asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $-\infty$
\end{enumerate}}


\end{document}