\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Int\'egration}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\usepackage[french]{varioref}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo

\section{Intégration sans primitives}

\Exoi{Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une figure :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I_1=\int_a^b k dx$ si $k>0$.
\item $I_2=\int_0^4 (3-x) dx$.
\item $I_3=\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} dx$.
\item $I_4=\int_0^2 (x+1) dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Dans cet exercice on utilisera le résultat suivant :
$$ \int_0^1 x^2 dx= \dfrac{1}{3}$$ afin de calculer les intégrales proposées :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I_5=\int_0^1 (5x^2+3x)dx$
\item $I_6=\int_{-1}^1 x^2 dx$
\item $I_7=\int_{-1}^1 (x^2-3x+8) dx$
\item $I_8=\int_0^1 (x^2-x) dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{\begin{enumerate}
 \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\dfrac{t^2}{2}\leq\dfrac{t^2}{1+t}\leq t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}\,dt$.
\end{enumerate}}


\Exoi{Soit $f$ une fonction continue sur $[0;1]$ telle que, pour tout $x\in [0;1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m\leq f(x) \leq M$$
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$$ u_n=\int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx$$}

\Exoi{Etudier la limite de la suite de terme général $$ u_n=\int_n^{n+1} e^{-x} dx$$
Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n;n+1]$ en fonction de $n$.}

\Exoi{On pose \qquad \qquad \qquad   \qquad \qquad \qquad $ I_n=\dfrac{1}{n !}\int_0^1 (1-x)^ne^{-x} dx\qquad \forall n\in\N$
\\Prouver que $$ 0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n!}\int_0^1 e^{-x} dx$$
En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\int_{-2}^2f(t) dt=0$, alors $f$ est
impaire.
\item{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\int_{-2}^2f(t)dt=0$.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\int_{1}^xf(t)dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t) dt=+\infty$
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)dt=32$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\int_0^u E(x)\,dx\in\N$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.
\item Trouvez une fonction telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}<\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3xt^2\,dx$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3x^2t\,dx$
\item{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\int_1^2f(t)dt=\int_1^2g(u) du$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item Déterminez   une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et dont la valeur
moyenne  sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}}

\section{Primitives}

\Exoi{Si vous reconnaissez une forme du style $u'u^n$, alors une primitive sera $$ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$$
En déduire une primitive de $f$ avec $$ f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$$}

\Exoi{$f$ est la fonction définie sur $I[-1;8]$ par :
$$f(x)=\dfrac{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4} $$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in I$ on a $$ f(x)=2x-\dfrac{3}{(x+2)^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
\item Calculer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}$ et $F(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x+3}$ avec $I=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{2x\sqrt{x}}$ et $F(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x}}$ avec $I=]0;+\infty[$.
\item $ f(q)=\dfrac{3q-4}{\sqrt{2q-4}}$ et $F(q)=q\sqrt{2q-4}$ avec $I=]2;+\infty[$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.\\
Calculer une primitive $F$ de $f$ sur $]2;+\infty[$.
\item $G$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $G(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}$. \\
Calculer la fonction dérivée de $G$.
\item Que peut-on en déduire pour les fonctions $F$ et $G$ ?
\\
Vérifier ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Déterminer une primitive sur $\R$ de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{e^x+3}{(e^x+3x)^3}$
\item $k:x\longmapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{\frac{1}{x}} }{x^2}$
\item $ j: x \longmapsto e^{3x+2}$
\item $ l:x\longmapsto (2x+1)e^{x^2+x+7}$
\item $ m : x\longmapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{Calculer une primitive de $f_i$ dans les cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^3}$
\item $f_2(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
\item $ f_3(x)=\tan x$
\item $ f_4(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\pagebreak
\section{Intégration avec primitives}

\Exoi{On rappelle que $$ \cos^2 t= \dfrac{1+\cos 2t}{2}$$
Démontrer que : $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt=\dfrac{\pi}{4}$$}

\Exoi{Démontrer que $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \ab{\sin t} dt=2$$
\footnote{On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.}}


\Exoi{Calculer les intégrales suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \int_0^1 xe^{-x^2} dx$
\item $ \int_{\frac{1}{e}}^e \dfrac{\ln t}{t}dt$
\item $\int_2^4 \dfrac{e^t}{e^t+1}dt$
\item $\int_0^2 \dfrac{x}{ \sqrt{x^2+1}}dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[e;e^2]$ par $$ f(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}$$}

\Exoi{La capacité pulmonaire de l'être humain suivant son âge $x$ de $10$ à $90$ ans, s'exprime, en litres, au moyen de la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{110(\ln x-2)}{x}$$
Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre $20$ et $70$ ans, à $0,1$ litre près par défaut.}
\section{Intégration par parties}
\Exoi{}Calculer les intégrales suivantes  \footnote{On calculera $I_7$ et $I_8$  à l'aide de deux intégrations par parties successives}:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I_1=\ds\int_1^23(x-1)^2\ln (x) dx$
\item $ I_2=\ds\int_0^{\pi}\sin(x){\rm e}^{-x}dx$ 
\item $ I_3=\ds\int_0^{\pi/4}\dfrac{x}{\cos^2(x)}dx $
 \item$I_4=\ds\int_1^3\dfrac{x+1}{x}(\ln(x)+x)^3dx$
 \item $ I_5=\ds\int_{-1}^1\dfrac{1}{1+{e}^{-x}} dx$ 
\item $  I_6=\ds\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$
\item $I_7=\int_0^1 t^2e^{-t} dt$
\item $I_8=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x\sin x dx$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{Montrer que :
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x \sin x dx = \dfrac{1}{2}\left( e^{\frac{\pi}{2}}-1\right)$$
\footnote{Intégrer deux fois par parties de façon à retomber sur l'intégrale $I$.}}

\section{Calculs d'aires et de volumes}

\Exoi{Calculer l'aire en unité d'aire de chacun des domaines $\mathscr D$ colorés en jaune.
}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\includegraphics[scale=1]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/test_courbemulti2.0}
\item \quad \\ \includegraphics[scale=1]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/test_courbemulti1.0}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{Dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$, on considère la courbe $\mathscr C$ d'équation $$ y=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\mathscr C$ a une asymptote $\Delta$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathscr D$ compris entre $\mathscr C$, $\Delta$ et les droites d'équations $x=2$ et $x=-2$.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ffffzz}{1 1 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.94,-1.83)(4.45,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.94,-1.83)(4.45,2.2)
\pscustom[linecolor=ffffzz,fillcolor=ffffzz,fillstyle=solid,opacity=0.55]{\psplot{-2}{2}{(-x^3+x)/(x^2+1)}\lineto(2,0)\lineto(-2,0)\closepath}
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-2.937595953331409}{4.452796782713377}{(-x^3+x)/(x^2+1)}
\rput[tl](0.18,-0.37){\begin{scriptsize}
$\qqqqcc{y=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}}$
\end{scriptsize}}
\rput[tl](0.1,1.7){\begin{scriptsize}
But : Déterminer l'aire du domaine $\mathscr D$
\end{scriptsize}}
\rput[tl](-1.93,0.55){$\mathscr D$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\includegraphics[scale=1]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/fu_carre.1}
%\includegraphics[scale=0.7]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/test_courbefn6.0}

\Exoi{L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.\\
On considère le cône d'axe $(Oz)$, de sommet $A$, de hauteur $h$ dont la base est le disque de centre $O$ et de rayon $r$. Tout plan d'équation $z=t$, avec $t\in[0;h]$, coupe le cône suivant un disque $\mathscr D$ d'aire $S(t)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rapport de l'homothétie de centre $A$ transformant la base du cône en $\mathscr D$, et en déduire $S(t)$ en fonction de $r$, $t$ et $h$.
\item Déterminer, à l'aide d'une intégrale, le volume du cône en unités de volume.
\end{enumerate}}


\section{Annales}

\Exoi{
\textbf{Question de cours}\\
\textbf{Pr\'erequis}: positivit\'e et lin\'earit\'e de l'int\'egrale.\\
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels d'un intervalle $I$ de $\R$ tels que $a\leqslant b$. D\'emontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^bf(x) dx\geqslant\int_{a}^bg(x)dx$.\\
\noindent\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un \'eel sup\'erieur ou \'egal \`a 1.\\
Calculer en fonction de $x$ l'int\'egrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)dt$.
\item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ appartenant \`a l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout r\'eel $x$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on a:
$$-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}\leqslant\ln x.$$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Partie B}\\
\smallskip
Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.\\
Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un rep\`ere orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$ dans lequel on a trac\'e les courbes repr\'esentatives des fonctions $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a trac\'e \'egalement la droite $(d)$ d'\'equation $x=4$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x) dx=0$.
\item Illustrer sur le graphique le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}
\item On note $\mathscr D$ le domaine du plan d\'elimit\'e par la droite $(d)$ et les courbes repr\'esentatives des fonction $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$.\\
 En utilisant un int\'egration par parties, calculer l'aire de $\mathscr D$ en unit\'es d'aire.
\end{enumerate}}


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{/Users/Dwicky/Cours/Metapost/test_courbemulti3.0}
\end{center}


\Exoi{On consid\`ere la fonction $f$, d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ par
\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuit\'e de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. 
\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
\\
 Pour tout r\'eel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathscr{A}(x_{0})$ l'aire du domaine d\'elimit\'e par la courbe repr\'esentant $f$ dans un rep\`ere orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations $x = 1$ et $x = x_{0}$.
 On se propose de d\'emontrer que la fonction ainsi d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de $f$.
\begin{enumerate} \item Que vaut $\mathscr{A}(1)$ ?
\item Soit $x_{0}$ un r\'eel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un r\'eel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathscr{A}(x_{0}+ h) - \mathscr{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]
\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant  1$ ?
\item En d\'eduire la d\'erivabilit\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$ ainsi que le nombre d\'eriv\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$.
\item Conclure.
\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
\psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
\psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
\uput[l](0,2.71828){e}
\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\noindent \textbf{\gray Partie A}
On consid\`ere la fonction nutn\'erique $f$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par :
\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]
\noindent On note $\mathscr{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapport\'e à un rep\`ere orthonormal $(O ; \vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$
(on pourra pour cela justifier et exploiter l'\'ecriture pour tout $x$ r\'eel strictement positif : $\left.~ f(x) =
\cfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \cfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.
\item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $]0~;~+
\infty[$ puis calculer $f'(x)$.
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variation
de $f$.
\item Construire la courbe $\mathscr{C}$ (unit\'e graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathscr{C}$est tangente en O à l'axe des ordonn\'ees.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{\gray Partie B}
On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\:
f(t)\:\text{d}t$.
\begin{enumerate} \item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $u_{n}$.
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ non
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.
\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante.
\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et d\'eterminer sa limite.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{\gray Partie C}
On consid\`ere la fonction num\'erique $F$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par :
\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $F$ est d\'erivable sur $[1~;~+ \infty[$ et
calculer $F'(x)$.
\item En d\'eduire le sens de variations de $F$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ positif : $t +
2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.
\item En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :
\[F(x) \leqslant \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
\text{d}t.\]
\item À l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que pour tout
$x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ :
\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 4 -
(x + 3)\text{e}^{1-x}.\]
\item En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+
\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$ à l'aide d'une int\'egrale. Montrer que la
suite $\left(S_{n}\right)$ converge et donner un encadrement de sa limite.
\end{enumerate}}

\Exoi{Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.
\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.
\noindent Soient $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f'x) = \text{e}^{x - 1}$ et  $\mathscr{C}$ sa courbe
repr\'esentative dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$.
\noindent On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites
 d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.
\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathscr{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.
\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathscr{C}$.
\noindent  On d\'esigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.
\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)
     \uput[u](0.5,0.67){$\mathscr{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0, 1],
calculer $g(x)$ en fonction de $x$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].
\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1] tel que
$g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e  de l'aire de $\Delta$.
\item Trouver une valeur approch\'ee de $\alpha $ à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut.
\end{enumerate}
}



\Exoi{
Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.
\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.
\noindent Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et d\'erivable sur [0 ; 1], $\mathscr{C}$ sa courbe repr\'esentative
dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$ et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.
\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathscr{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.
\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathscr{C}$.
\noindent On d\'esigne par $F$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$
l'aire de $T_{x}$.
\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)
     \uput[u](0.5,0.67){$\mathscr{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle [0 ; 1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.
\item \textbf{D\'emonstration de cours} D\'emontrer que $F$ est
d\'erivable et a pour d\'eriv\'ee $f$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].
\item \begin{enumerate} \item Par des consid\'erations d'aires, montrer que
$g(0) \leqslant \cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1]
tel que $g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e de l'aire de $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{
Les questions sont ind\'ependantes. II est demand\'e de justifier toutes les r\'eponses fournies.
\begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants, proposer une
fonction $f$ qui v\'erifie les propri\'et\'es donn\'ees.
\noindent On donnera l'expression de $f(x)$.
\begin{enumerate} \item $f$ est d\'efinie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} +
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et l'\'equation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.
\item $f$ est d\'efinie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
r\'eels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.
\item $f$ est une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}
\item Soit $g$ une fonction d\'efinie et d\'erivable, de
d\'eriv\'ee $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe repr\'esentative de $g$ est donn\'ee ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2)
\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0) \psline{->}(0,-1)(0,2) \psplot{-1}{1}{x 1 sub x mul} \uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}
\noindent Les affirmations suivantes sont-elles coh\'erentes avec le sch\'ema:
\begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?
\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant -
\cfrac{1}{2}$~ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\Exoi{
\noindent \textbf{Partie A}
On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :
\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
\begin{enumerate}\item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$.
En d\'eduire la valeur de $u_{1}$.
\item Montrer \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour tout $n$ non nul,
\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\]
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{Partie B}
\\
On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices diff\'erentes pour les valeurs approch\'ees des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de r\'ecurrence (R) ci-dessus.
\noindent Voici les r\'esultats affich\'es par ces deux calculatrices :
\begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
Valeur & Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par &  Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par\\ 
de $n$ & la premi\`ere calculatrice & le deuxi\`eme calculatrice\\ \hline
1&$7,1828182845$E$-01$&$7,1828182846$E$-01$\\\hline
2&$4,3656365691$E$-01$&$4,3656365692$E$-01$\\\hline
3&$3,0969097075$E$-01$&$3,0969097076$E$-01$\\\hline
4&$2,3876388301$E$-01$&$2,3876388304$E$-01$\\\hline
5&$1,9381941508$E$-01$&$1,9381941520$E$-01$\\\hline
6&$1,6291649051$E$-01$&$1,6291649120$E$-01$\\\hline
7&$1,4041543358$E$-01$&$1,4041543840$E$-01$\\\hline
8&$1,2332346869$E$-01$&$1,2332350720$E$-01$\\\hline
9&$1,0991121828$E$-01$&$1,0991156480$E$-01$\\\hline
10&$9,9112182825$E$-02$&$9,9115648000$E$-01$\\\hline
11&$9,0234011080$E$-02$&$9,0272128000$E$-02$\\\hline
12&$8,2808132963$E$-02$&$8,3265536000$E$-02$\\\hline
13&$7,6505728522$E$-02$&$8,2451968000$E$-02$\\\hline
14&$7,1080199309$E$-02$&$1,5432755200$E$-01$\\\hline
15&$6,6202989636$E$-02$&$1,3149132800$E$+00$\\\hline
16&$5,9247834186$E$-02$&$2,0038612480$E$+01$\\\hline
17&$7,2131811612$E$-03$&$3,3965641216$E$+02$\\\hline
18&$-8,7016273909$E$-01$&$6,1128154189$E$+03$\\\hline
19&$-1,7533092042$E$+01$&$1,1614249296$E$+05$\\\hline
20&$-3,5166184085$E$+02$&$2,3228488592$E$+06$\\\hline
21&$-7,3858986580$E$+03$&$4,8779825043$E$+07$\\\hline
22&$-1,6249077047$E$+05$&$1,0731561499$E$+09$\\\hline
23&$-3,7372887209$E$+06$&$2,4682591448$E$+10$\\\hline
24&$-8,9694930302$E$+07$&$5,9238219474$E$+11$\\\hline
25&$-2,2423732585$E$+09$&$1,4809554869$E$+13$\\\hline
\end{tabular} \end{center}
\noindent Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les r\'esultats obtenus avec la premi\`ere calculatrice ? Et avec les r\'esultats obtenus avec la deuxi\`eme calculatrice ?
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{Partie C}
\\
Dans cette partie on se propose d'\'etudier la suite $\left(u_{n}\right)$ \`a partir de la d\'efinition : 
\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
\begin{enumerate}\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$.
\item \begin{enumerate}\item Montrer que pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul $n$
\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]
\item En d\'eduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{Partie D}\\
Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de r\'ecurrence (R) v\'erifi\'ee par la suite $\left(u_{n}\right)$.
\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]
\noindent Étant donn\'e un r\'eel $a$, on consid\`ere la suite $\left(v_{n}\right)$ d\'efinie par :
\[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\]
\begin{enumerate}\item En utilisant le raisonnement par r\'ecurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$ o\`u $n!$ d\'esigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
\item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ \`a l'infini suivant les valeurs de $a$.
\\
(On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n! = + \infty$.)
\item En d\'eduire une raison susceptible d'expliquer les r\'esultats affich\'es par les deux calculatrices.
\end{enumerate}
}

\Exoi{
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~ ;~ + \infty[$, par
\[ f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x - 1.\]
On désigne par $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal
$(O;\vec i, \vec j)$. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera \`a joindre \`a la copie, avec les éventuels ajouts effectu\'es par le candidat,
\begin{enumerate}\item Vérifier que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ 	ont une tangente commune au point \\O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ par rapport à cette tangente.
\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ sont symétriques par rapport \`a la droite d'équation $y =x$.
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a  \ln (x + 1)\,\text{d}x$.
\begin{enumerate}\item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que
\[I(a)  = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\]
\item En déduire la valeur de $I(a)$.
\item Retrouver la valeur de $I(a)$ en effectuant une intégration par parties.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \begin{center}
\noindent \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10](0,0)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.75pt,labels=none]{->}(0,0)(4,4)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vec i$}  \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,0.5){$\vec j$}
\psplot{0}{4}{x 1 add ln} 
\psplot{0}{1.6095}{2.71828 x exp 1 sub} 
 \end{pspicture} 
\end{center}}

\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% 
\psset{#1} 
\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} 

\Exoi{
\begin{center}\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4,3) 
\psaxes{->}(0,0)(4,3) 
\qdisk(0,2.71828){1.5pt} \qdisk(1,1){1.5pt} 
\uput[ur](0,2.71828){A} \uput[ur](1,1){B} \uput[dl](0,0){O} 
\psplot{-0.1}{4.1}{2.71828 1 x sub exp} 
\end{pspicture}\end{center} 
\vspace{0,5cm} 
On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$, la courbe 
représentative de la fonction $f$ dérivable sur $\R$, solution de l'équation 
différentielle 
\[(\text{E})\qquad : \quad y' + y = 0 \quad \text{et telle que} \quad 
f(0) = \text{e}.\] 
\begin{enumerate} \item Déterminer $f(x)$ pour tout $x$ réel. 
\item Soit $t$ un réel donné de l'intervalle [1 ; e]. 
\\
Résoudre dans $\R$ l'équation $\text{e}^{1 - x} = t$ d'inconnue $x$. 
\item Soit A le point d'abscisse 0 et B le point d'abscisse 1 de la courbe. 
\\
On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées 
de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. 
\\
On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t$. 
\\
Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 
\end{enumerate} 
\begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3) 
\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) 
\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} 
\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} 
%\psset{origin={0,1}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linewidth=0.02]{1}{0.2}{-180}{0}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linestyle=dotted]{1}{0.2}{0}{180}} 
\end{pspicture}\end{center} }


\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par
\[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\]
Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.\\
\noindent \textbf{Partie A}
\begin{enumerate}\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
\item \begin{enumerate}\item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathscr{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation
\[f(x) = \ln (x)\]
sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par :
\[g (x) = \ln (x) - f(x)\]
est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.
En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$
sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Déterminer à $10^{-3}$	près une valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate}\item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer :
\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3  x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\]	
\item On définit le solide $\mathscr{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant  3$ dans le plan ($x$O$y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathscr{V}$ du solide est donné par :
\[\mathscr{V}	=\displaystyle\int_{0}^3 \pi[f(x)]^2\,\text{d}x.\]
\begin{enumerate}\item Exprimer $\mathscr{V}$ en fonction de I.
\item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{
La  courbe $\mathscr{C}$ donn\'ee ci-dessous est la repr\'esentation graphique de 
la fonction $f$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} + 1 - x.\]
\begin{center}\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-4)(3,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(0,-4)(3,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0,1){$\vec j$}
\uput[dl](1,0){$\vec{i}$}
\uput[d](2.8,-1.1){$\mathscr{C}$}
\psplot{0.1515}{3}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\uput[u](.2,0){$\alpha$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psplot{0.1515}{1}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\psline(1,0)(.1515,0)}
\end{pspicture} \end{center}
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est d\'erivable et que,
 pour tout $x$ strictement  positif, $f'(x)$ est du signe de
\[N(x) = -\left[2\left(x\sqrt{x} -1 \right) + \ln x.\right]\]
\item Calculer $N(1)$ et d\'eterminer le signe de $N(x)$ en distinguant 
les cas \\$0 < x < 1$ et $x > 1$.
\item En d\'eduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et les 
coordonn\'ees du point de $\mathscr{C}$ d'ordonn\'ee maximale.
\end{enumerate}
\item On note  $\mathscr{A}(\alpha)$ l'aire, exprim\'ee en unit\'es d'aire, de la partie 
du plan gris\'ee sur la figure, où $\alpha$
d\'esigne un r\'eel de $]0~;  1[$.
\begin{enumerate} \item Exprimer $\mathscr{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ 
(on pourra utiliser une  int\'egration par parties).
\item Calculer la limite de $\mathscr{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers 0.
 Donner une interpr\'etation graphique de cette limite.
\end{enumerate}
\item On d\'efinit une suite $\left(u_n\right)_{n \in \R}$ par son premier terme 
$u_0$ \'el\'ement de [1 ; 2] et :
\[ \text{pour tout entier naturel} \quad  n,~ u_{n+1} = \dfrac{\ln 
u_n}{\sqrt{u_n}} + 1.\]
\begin{enumerate} \item D\'emontrer, pour tout r\'eel $x$ \'el\'ement de [1 ;  2], la double
 in\'egalit\'e \\$0 \leqslant \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant  1$.
\item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n,~ u_n$ 
appartient  \`a [1 ; 2].
\end{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout  entier naturel $n,~u_{n+1} = f(u_n) + 
u_n$, d\'eterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item D\'eterminer la valeur exacte de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\end{document}

