\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Fonction Exponentielle}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo

\Exoi{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{exp(2x)}{exp(x)}$$
Démontrer que $f'=f$ et en déduire que, pour tout réel $x$, $$ exp(2x)=(exp(x))^2$$}

\Exoi{Simplifier les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=e^{2x}\times e^{-x}$
\item $B=e^{3x+2}\times e^{1-2x}$
\item $C=\dfrac{e^{2x+1}}{e^{-2x}}$
\item $D=\dfrac{e^{3x-1}}{e^{2-x}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$, :
$$ e^{ \frac{x}{2} }=\sqrt{e^x}$$
\item Simplifier les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ A=\sqrt{3e^{-x}+6e^{-x}}$
\item $B =\sqrt{\dfrac{2e^{3x+1}}{e^{2x-1}} }$
\end{enumerate} 
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans chacun des cas suivants, démontrer que la fonction $f$ qui vérifie $f'=kf$, où $k$ est un réel à préciser :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto e^{-2x+1}$
\item $f:x\longmapsto e^{1-2x}$
\item $f:x\longmapsto -e^{\frac{x-1}{4} }$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{2}{3}e^{-2x+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\begin{multicols}{2}
\Exoi{Les courbes ci-dessous représentent des fonctions dérivables sur $\R$ vérifiant une égalité de la forme :
$$ f'=-\dfrac{1}{2}f$$
Déterminer une équation de ces courbes}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-6.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-6} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-6)(6,6)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{3 0 1 2 div x mul sub EXP mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\G{0 1 2 div x mul sub EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
\def\H{0 0 1 2 div x mul sub EXP sub}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
\def\I{0 2 0 1 2 div x mul sub EXP mul sub}
\psplot[linecolor=yellow,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\I}
\uput[ur](-2,5){$ C_1$}
\uput[ur](-4,5){$ C_2$}
\uput[ur](-4,-5){$ C_3$}
\uput[ur](-3,-6){$ C_4$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
\item Démontrer que $f(2x)=\dfrac{2f(x)}{1+(f(x))^2}$
\item Exprimer $f(x+y)$ en fonction de $f(x)$ et de $f(y)$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans chacun des cas suivants, exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f'+2f=0$ et $f(0)=1$
\item $2f'+f=0$ et $f(0)=-2$
\item $f'+f=0$ et $f(1)=2$
\item $2f'+\dfrac{3}{2}f=0$ et $f(-1)=-2$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
$$ f(x)=e^{2x}-x$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que : $$ f''=2f'+2\qquad f(0)=1\qquad \text{et}\qquad f'(0)=1$$
\item Soit $g$ une fonction deux fois dérivable sur $\R$ telle que :
$$  g''=2g'+2\qquad g(0)=1\qquad \text{et}\qquad g'(0)=1$$
\begin{enumerate}
\item On pose $h=g'+1$. Vérifier que $h'=2h$ ; en déduire que, pour tout réel $x$ :
$$ g'(x)=2e^{2x}-1$$
\item Justifier que la fonction $g$ est égale à $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer toutes les fonctions $\varphi$ deux fois dérivables sur $\R$ telles que :
$$ \varphi''=2\varphi'+2$$
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $$ 3X^2+4X-7=0$$
\item En déduire les solutions dans $\R$ de l'équation : 
$$ 3e^{2x}+4e^x-7=0$$ 
\end{enumerate}}

\Exoi{Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2-x}<1$
\item $e^{-x}\geq -2$
\item $e^{3x}\leq 1$
\item $e^{2x-1}>e \sqrt{e}$
\item $4e^{2x}<3e^x+1$
\item $ \dfrac{2e^x-3}{e^x-3}<\dfrac{1}{2}$
\item $e^x<e^{-x}+1$
\item $ \dfrac{e^{2x}+1}{2e^x-1}\leq 2 $
\end{enumerate}
\end{multicols}}



\Exoi{Déterminer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de la fonction $f$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto e^{-x}$
\item $f:x\longmapsto e^{2x}-2e^x$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{-x}+1}{e^x+1}$
\item $ f:x\longmapsto \sqrt{e^{2x}+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{En utilisant le résultat suivant :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$$
 Déterminer les limites suivantes :
 $$\Lim{+\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) \qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty}x\left(e^{\frac{1}{x^2}}-1\right)$$}

\Exoi{Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 $$ f(x)=x^2e^x$$}
 
 \Exoi{Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des fonctions définies
par les expressions suivantes~:
\begin{multicols}{3}
\item $f_1(x)=e^x+x^2+1$
\item $f_2(x)=5e^x+5xe^x$
\item $f_3(x)=e^x\sin(x)$
\item $f_4(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}$
\item $f_5(x)=\dfrac{3x+1-e^x}{e^{x}}$
\item $f_6(x)=x^3e^{-x}$
\item $f_7(x)=\dfrac{x^2e^{x}}{x+1}$
\item $f_8(x)=\dfrac{e^{x}}{x}$
\item $f_9(x)=\dfrac{1}{e^x}$
\item $f_{10}(x)=\left(e^x\right)^2+\dfrac{1}{e^x}$
\item $f_{11}(x)=e^{-x}$
\item $f_{12}(x)=e^{4x+1}$
\item $f_{13}(x)=e^{\cos(x)}$
\item $f_{14}(x)=e^{5x^3+7x+4}$
\item $f_{15}(x)=(x+1)e^{-x+1}$
\item $f_{16}(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{x}$
\end{multicols}}
 
 \Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 $$ f(x)=e^x-x$$
 \begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$, $e^x\geq x$
\item Utiliser ce résultat pour étudier la limite de $e^x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$ f(x)=e^x-x-4$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $f$.
\item En remarquant que, pour tout réel non nul $x$ :
$$ f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1-\dfrac{4}{x}\right)$$
déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Démontrer que la droite $\mathscr D$ d'équation $x+y+4=0$ est asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $-\infty$ et préciser la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\mathscr D$
\item Tracer la droite $\mathscr D$ et la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\left\{-2\right\}$ par :
$$ f(x)=e^{\frac{x-1}{x+2} }$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tableau des variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathscr C_f$ en précisant ses asymptotes.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $(E)$ l'équation différentielle :
$$ y'+2y=4x+3$$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$. \\
Démontrer que si la fonction $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction $f'$ est solution de l'équation différentielle :
$$ (E') : y'+2y=4$$
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et en déduire que les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme :
$$ x\longmapsto 2x+ \dfrac{1}{2}+Ke^{-2x} \qquad \text{où K est une constante réelle.} $$
\item Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant la condition initiale $y(0)=1$
\end{enumerate}}


\Exoi{L'expérience montre que, si l'on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c'est-à-dire dont le nombre est de l'ordre du nombre d'Avogadro, soit $10^{23}$), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un petit intervalle $\Delta t$ à partir de l'instant $t$, rapporté au nombre total de noyaux $N(t)$ présents à l'instant $t$ et au temps d'observation $\Delta t$, est une constante $\lambda$ caractérisque du nombre de noyau. On peut donc écrire :
$$ \dfrac{\Delta N(t)}{N((t)}\simeq -\Delta \lambda t \qquad \text{ou} \qquad \dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t}\simeq -\lambda N(t)$$
En prenant la limite de chaque membre lorsque $\Delta t$ tend vers $0$, on obtient $ \dfrac{dN}{dt}=- \lambda N$, ou encore $$ N'=-\lambda N$$
\begin{enumerate}
\item En déduire l'expression de $N(t)$ en fonction de $t$, de $\lambda$ et du nombre $N_0$ d'atomes radioactifs présents à l'instant $t=0$.
\item Démontrer qu'il existe un unique réel $T$, tel que, pour tout réel positif $t$, on ait :
$$ N(t+T)=\dfrac{1}{2}N(t)$$
Le réel $T$ est appelé la période radioactive ou la demi-vie de ce corps radioactif.
\item On a pu observer que, pour le carbone $14$, on a :
$$ \lambda \simeq 1,21\times 10^4$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la période en années du carbone $14$.
\item Dans une carrière d'une chaîne volcanique, on a retrouvé des bois carbonisés pris dans des projections de l'un des volcans. L'étude de ces échantillons de bois fossiles a montré que leur teneur en carbone $14$ est égale à $25\%$ de celle des échantillons de bois actuels frais et de même masse. Déterminer l'âge de l'événement volcanique.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe $\mathscr{C}$ repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathscr{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathscr{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathscr{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\R$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{}Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} \item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.\\
\noindent \begin{tabular}{| l | c|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente en $1$ \`a la courbe  de la fonction exponentielle.\\ \hline
\end{tabular}
\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un \'el\'ement de I.\\
\noindent \begin{tabular}{| l | c|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\Exoi{On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 
\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]
\noindent On note $\mathscr{C}$ sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.
\vspace{0,25cm}\\
\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.
\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.
\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.
\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente T  \`a la courbe $\mathscr{C}$  au point d'abscisse $0$.
\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ 
par rapport \`a la droite T.
\end{enumerate}
\item Tracer la droite T, les asymptotes et la courbe $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 
\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]
\noindent On note $\mathscr{C}$ sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.
\\
\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.
\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.
\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.
\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente T  \`a la courbe $\mathscr{C}$  au point d'abscisse $0$.
\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ 
par rapport \`a la droite T.
\end{enumerate}
\item Tracer la droite T, les asymptotes et la courbe $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
}



\Exoi{Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
On note $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  $(O;\vec i,\vec j)$. 
\medskip
La courbe représentative $\mathscr{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère $(O;\vec i,\vec j)$ est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 
\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? 
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. 
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathscr{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ ?
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}}



\begin{center}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.2){$\mathscr{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\Exoi{\\ \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
\\
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$
\\
 \textbf{B - étude d'une fonction}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $\mathscr{C}$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j)$ du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.
\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}
\\
Etudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $\mathscr{C}$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}
\medskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - étude d'une famille de fonctions}
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathscr{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathscr{C}_{-1} = \mathscr{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_{0}$ et $\mathscr{C}_{1}$.	
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathscr{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Etudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.
En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathscr{C}_{k}$ et $\mathscr{C}_{k+1}$.
\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathscr{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathscr{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathscr{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathscr{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathscr{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathscr{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathscr{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathscr{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{flushright} 
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[4]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathscr{E},~ \mathscr{F},~ \mathscr{H},~$ et $\mathscr{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{Soit $n$ un entier naturel.
On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note  $\mathscr{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.
\\
 Les courbes $\mathscr{C}_{0},~\mathscr{C}_{1},~\mathscr{C}_{2}$ et $\mathscr{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 
\begin{center}
\psset{unit=6.5cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathscr{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathscr{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathscr{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathscr{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathscr{C}_{n}$ ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées. 
\item Etude de la fonction $f_{0}$
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item Etude de la fonction $f_{1}$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathscr{C}_{0}$ et $\mathscr{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
\item  Etude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]
	\item  Etudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $2y' + y = 0 \quad (\text{E})$,
 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\item On considère l'équation différentielle~:  
\[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad     (\text{E}')\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par~:
\[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\]
		\item  Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
		\\
Montrer que $g$ est solution de l'équation (E$'$) si et seulement si $g - f$ est solution de l'équation (E).
\\
Résoudre l'équation (E$'$).
	\end{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par~: $h(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(x^2 + 2x\right)$.
\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$  de la fonction $h$.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j)$, on note $\mathscr{C}$  la courbe représentative de $h$ et $\Gamma$ celle de la fonction~: $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{x}{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Etudier les positions relatives de $\mathscr{C}$ et $\Gamma$.
		\item Tracer ces deux courbes sur un même graphique.
	\end{enumerate}   
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Courbes de Gauss}\\
Soit $k\in\R^{+*}$. On définit sur $\R$ la fonction $G_k$ par :
$$ G_k(x)=e^{-kx^2}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier la parité de $G_k$
\item Démontrer que $G_k$ est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de $G_k$.
\item Calculer $G''_k(x)$ et résoudre $G''_k(x)=0$.
\item Tracer les courbes de $G_k$ pour $k=\dfrac{1}{2}$, pour $k=1$ et pour $k=2$.
\item Démontrer que : $$ h\leq k\Longleftrightarrow G_h\geq G_k\qquad \text{sur}\R$$
\item Dans cette question $k=\dfrac{1}{2}$. Soit $\alpha$ la solution positive de l'équation $G''_k(x)=0$.
\\
Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $G_k$ au point d'abscisse $\alpha$. Tracer $T$ sur le graphique. 
\end{enumerate}}
\end{document}

