\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{D\'erivabilit\'e}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo

\Exoi{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\begin{enumerate}
\item Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) \qquad f'(5)$$
\item Donner un encadrement de $f'(x)$ sur $[2;3]$.
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la parabole $\mathscr P$ d'équation $y=x^2-4x+5$.
\item En quels point de $\mathscr P$ peut-on mener une tangente issue de l'origine ? Vérifier sur un dessin. 
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Justifier, pour $x$ voisin de $0$, chacune des approximations suivantes :
$$ (1+x)^3\simeq 1+3x\qquad \sqrt{1+x}\simeq 1+\dfrac{x}{2}\qquad \dfrac{1}{1+x}\simeq 1-x\qquad \sin x=x\qquad \cos x\simeq 1$$
\item En déduire, sans calculatrice, une valeur approchée des nombres suivants :
\begin{multicols}{4}
$$ A=1,005^3$$
$$ B=\sqrt{1,0002}$$
$$ C=\sqrt{0,996}$$
$$ D=\dfrac{1}{0,997}$$
$$ E=\dfrac{1}{1,0007}$$
$$ F=\sin(-0,01)$$
$$ G=\cos 0,02$$
\end{multicols} 
\end{enumerate}}

\Exoi{La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $$ f:x\longmapsto 0,05(x^6-6x^5+3x^4+16x^3)$$
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement le signe de $f'(x)$ sur $[-2;5]$
\item Préciser en quels points $f$ admet un extremum relatif.
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\xmin{-2.20001} \def\xmax{5.2} \def\ymin{-15} \def\ymax{10}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-2.20001,-15)(5.2,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=0.4cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.05 x 6 exp 6 x 5 exp mul sub 3 x 4 exp mul add 16 x 3 exp mul add mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est dérivable, puis étudier les variations de $f$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3-3x+2$
\item $f(x)=2x^3+5x^2-1$
\item $f(x)=x^2(x-1)^3$
\item $f(x)=x^4-4x$
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+1}$
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}$
\item $f(x)=3-\cos^2 x$ sur $[0;\pi]$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ sur $]0;\pi[$
\item $f(x)=x-9 \sqrt{x}$
\item $f(x)=\sqrt{x}(x-1)$
\item $f(x)=-x^3+x^2$
\item $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x}$ sur $]0;+\infty[$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On pose, pour tout $x\geq 0$ et $n\geq 0$, $$ f_n(x)=x^n \sqrt{x} $$
Montrer que $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et exprimer $f'_{n+1}(x)$ en fonction de $f_n(x)$.}

\Exoi{Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer sa dérivée :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\cos x^2$
\item $f(x)=\cos(\cos x)$
\item $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$
\item $f(x)=\sqrt{x^4+1}$
\item $f(x)=\sqrt{5+\sin x}$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} }$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $D$ de $\R$ centré en $0$.
\begin{enumerate}
\item On pose, pour $x\in D$, $g(x)=f(-x)$. Calculer $g'(x)$.
\item Montrer que :
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire.
\item Si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.
\end{enumerate}
\item Montrer que :
\begin{enumerate}
\item Si $f'$ est impaire, alors $f$ est paire.
\item Si $f'$ est paire et $f(0)=0$ alors $f$ est impaire.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ f(x)=x \sqrt{x}-\dfrac{3}{16}x^2 $$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point $A$ d'abscisse $4$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à cette tangente.
\item Dessiner la situation correspondante.
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier le signe de $g(x)=30x^3+19x^2-1$ sur $\R$}

\Exoi{\\
\begin{center}
\begin{large}
\textbf{Plan d'étude d'une fonction}
\end{large} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ensemble de définition
\item Ensemble d'étude, propriétés géométriques de la courbe (certaines propriétés, telles que parité ou périodicité, peuvent permettre de réduire l'ensemble sur lequel on étudie la fonction)
\item Limites aux bornes de l'ensemble d'étude.
\item Dérivabilité, variations
\begin{itemize}
\item On calcule la dérivée de la fonction sur les intervalles où elle existe\\
\item Son signe fournit le sens de variation.
\end{itemize}
\item Branches infinies (éventuellement)
\item Représentation graphique avec quelques points et tangentes remarquables
\item Contrôle de certaines propriétés suggérées par la figure, comme la présence d'un élément de symétrie.
\end{enumerate}
Etudier et représenter graphiquement la fonction $f$ en prenant appui sur le plan d'étude donné précédemment :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3+5x^2-10$
\item $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$
\item $f(x)=x-3+\dfrac{2}{x+1}$
\item $f(x)=x^4-2x^2+5$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R-\{-2;0\}$ par 
$$f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}\qquad \text{et}\qquad g(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ et de $g$ aux bornes de leur ensemble de définition. En déduire que les courbes représentatives $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont les mêmes asymptotes.
\item Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à sa tangente en $\varOmega(-1;0)$, et les positions respectives des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$.
\item Représenter $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ dans un même repère $(O;\vec i, \vec j)$
\item Montrer que $\varOmega$ est centre de symétrie de $\mathscr C_f$ et $(\varOmega,\vec j)$ axe de symétrie de $\mathscr C_g$
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $$f=x\longmapsto x+\sqrt{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est définie sur $D=]-\infty,-1[\cup [1;+\infty[$ et montrer que pour tout $x\in D$ :
\begin{equation} f(x)f(-x)=-1\end{equation}
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$, puis déduire de $(1)$ celle de $f$ en $-\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$, d'équation $y=2x$, est asymptote à $\mathscr C_f$ en $+\infty$. On pourra à nouveau utiliser $(1)$.
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et en $-1$.
\item Tracer $\mathscr C_f$ et $\Delta$
\end{enumerate} }

\Exoi{\begin{large}
\textbf{L'ellipse et l'hyperbole}
\end{large}\footnote{C'est le grec Apollonios de Perga (262-180 av J.C) qui étudie les paraboles, les ellipses et les hyperboles comme sections planes d'un cône - il les nomme coniques. Dix huit siècles plus tard, Newton démontre les lois de l'attraction universelle qui prouvent que les corps du systèmes solaire décrivent des coniques.}\\
On considère les courbes $\mathscr E$ et $\mathscr H$, d'équations respectives dans un repère orthonormal :
$$ \mathscr E:\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1\qquad \text{et}\qquad \mathscr H:\dfrac{x^2}{5^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=1$$
\begin{enumerate}
\item Indiquer à l'aide de quelle transformation géométrique on peut obtenir $\mathscr E$ et $\mathscr H$ à partir des représentations graphiques $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ des fonctions suivantes :
$$ f:x\longmapsto \dfrac{3}{5}\sqrt{25-x^2}\qquad \text{et}\qquad g:x\longmapsto \dfrac{3}{5}\sqrt{x^2-25}$$
\item Etudier la fonction $f$ (ensemble de définition, parité, variations, dérivabilité au point $5$).
\item Etudier la fonction $g$ (mêmes questions). Montrer en outre que $\mathscr C_g$ admet en $+\infty$ l'asymptote $\Delta :y=\dfrac{3}{5}x$.
\item Représenter sur un même dessin $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$, puis $\mathscr E$ et $\mathscr H$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction exponentielle}
\end{large}\footnote{La fonction $f$, appelée exponentielle sera étudiée ultérieurement}\\
De nombreux phénomènes d'évolution sont modélisés par une fonction dérivable $f$ dont \textit{la dérivée $f'$ est proportionnelle à la fonction $f$ elle-même}. Nous allons observer l'une d'entre elles par la méthode d'Euler. \\
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et pour tout $x$ $f'(x)=f(x)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tous réels $a$ et $h$ ($h$ voisin de zéro), l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit : 
$$ f(a+h)\simeq f(a)(1+h)$$
\item En déduire que, si l'on part de $f(a)$, la suite des valeurs approchées de $f(x)$ obtenus par la méthode d'Euler \footnote{Il s'agit, grâce à l'approximation $f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$ \begin{itemize}
\item d'obtenir une valeur approchée de $f(x)$ pour certains $x$.
\item de construire la courbe $\mathscr C_f$ de façon approchée.
\end{itemize}}, avec le pas $h$, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
\item Déduire de la question $2.$ que $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ pour les grandes valeurs de $n$. Donner la valeur approchée de $f(1)$ correspondant à $n=10 000$.
\item Tracer une approximation de la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction logarithme népérien}
\end{large}\\
Soit $f$ une fonction vérifiant $f(1)=0$ et pour tout $x>0$, $ f'(x)=\dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$ et $f(6)$.
\item Construire une approximation de la courbe $\mathscr C_f$ sur $[1;6]$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$ et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).
\begin{enumerate}
\item \textit{\textbf{Etude d'une fonction auxiliaire $g$ où $g(x)=x^3+3x+8$}}
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $g$, et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $0,1$.
\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$.
\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que :
$ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$
\item En déduire que $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$, et étudier la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$. \\
Vérifier en particulier que $\mathscr C_f$ rencontre $\Delta$ en un unique point de $A$.
\end{enumerate}
\item Déterminer les abscisses des points $B$ et $B'$ de $\mathscr C_f$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$.
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$.
\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr C_f$ en plaçant les points $A$, $B$ et $B'$, ainsi que les points $I$, $J$ et $K$ d'abscisses respectives $1$, $2$, et $-1$ avec leurs tangentes. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;1]$ telles que $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$. 
Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ (On pourra étudier les variations de $g-f$)}

\Exoi{On se propose d'étudier la limite en $ \dfrac{\pi}{2}$ de la fonction $f$ définie par : 
$$ f(x)=\cfrac{\cos x}{x-\cfrac{\pi}{2} }\qquad \forall x\neq \dfrac{\pi}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée.
\item Rappeler le taux d'accroissement de $f$ en $ \dfrac{\pi}{2}$, puis déterminer la limite ci-dessus.
\end{enumerate} }

\Exoi{En s'inspirant de l'exercice précédent, étudier les limites de $f$ en $a$ dans les cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1 }{x} \qquad \text{en }a=0$
\item $f(x)=\dfrac{\tan x-1}{x-\frac{\pi}{4} }\qquad \text{en }a=\dfrac{\pi}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\end{document}

