\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\ch}{Chapitre 1} \newcommand{\Ch}{Complexes/1} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages \debutexo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Les exos \Exoi{Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants : \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $z_1=(2+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)$ \item $z_2=(2+5i)^2$ \item $z_3=\left(\dfrac{1}{2}-4i\right)^2$ \item $z_4=(5-2i)(5+2i)$ \item $z_5=(1+i)(5-8i)(1-i)$ \item $z_6=\dfrac{1}{\sqrt{3}-i }$ \item $z_7=-\dfrac{1}{i}$ \item $z_8=\dfrac{8i-1}{2-3i}$ \item $z_9=\dfrac{1}{2+i}-\dfrac{1}{2-i}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $5z+2i=(1+i)z-3$ \item $\dfrac{z-i}{z+1}=4i$ \item $i(3-i)z-2=(2i+1)z+(2i+z)i$ \item $-\dfrac{z}{iz+1}+\dfrac{3z}{z-i}=3+i$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$. \begin{enumerate} \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$ \item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$ \item Lire l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$ \end{enumerate} } \Exoi{Dans le plan complexe, on donne les points avec leurs affixes : $$ A(1)\qquad B(-2-i)\qquad \text{et}\qquad C(4i)$$ Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.} \Exoi{\begin{enumerate} \item On donne les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$. Déterminer la forme algébrique des inverses de $z_1$ et $z_2$ \item Résoudre dans $\C$ l'équation suivante d'inconnue $z$ : $$ i(z-3i)=2z-1+i$$ \end{enumerate}} \Exoi{$A$ et $B$ sont deux points d'affixes $z_A$ et $z_B$.\\ Soit $I$ le point vérifiant $2 \overrightarrow{OI}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ \begin{enumerate} \item Préciser la position de $I$ et calculer son affixe. \item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre des points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :$$z_A=3+i\qquad z_B=-2i\qquad z_C=4-3i\qquad z_D=5$$ \end{enumerate} } \Exoi{On considère le parallélogramme $ABCD$ avec $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$z_A=-1-5i\qquad z_B=4-3i\qquad z_C=3+3i\qquad z_D=-2+i $$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $C'$, symétrique de $C$ par rapport au point $D$ \item Déterminer l'affixe du point $A'$ vérifiant : $ \overrightarrow{DA'}= \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$ \end{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $A'BC'D$ ? \end{enumerate}} \newpage \Exoi{En utilisant les propriétés du conjugué, écrire le conjugué du nombre complexe donné et le mettre sous forme algébrique : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $z_1=(2-3i)(-1+i)$ \item $z_2=\dfrac{i(2-i)}{i-3}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe réel. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$ \item $z'=(\overline{z}-3)(iz+2)$ \item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe imaginaire. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$ \item $z'=(z-1)( \overline{z} -i)$ \item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\ Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit : \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item un réel \item un imaginaire pur \item nul \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Pour tout complexe $z$ différent de $i$, on définit $Z=\dfrac{z+1}{z-i}$ \begin{enumerate} \item On pose $z=x+iy$ et $Z=a+ib$ avec $x$, $y$, $a$ et $b$ réels.\\ Exprimer $a$ et $b$ en fonction de $x$ et $y$ \item Déterminer et représenter dans le plan complexe l'ensemble $(E)$ des points d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel. \end{enumerate} } \Exoi{\begin{enumerate} \item Déterminer le module et un argument de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$ \item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. \end{enumerate}} \Exoi{Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$ \item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$ \item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$ \item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$ \item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$ \item $ M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$ \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ } \Exoi{Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$ z_1=-\sqrt{3}+i\qquad \text{et}\qquad z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$$} \Exoi{Dans le plan complexe, on considère un point $\varOmega$ d'affixe $\omega$, $\mathscr C(\varOmega,r)$ le cercle de centre $\varOmega$ et de rayon $r$ et un point $M$ d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'équivalence suivante : $$ M\in\mathscr C(\varOmega,r)\Longleftrightarrow z=\omega+re^{i\theta}\qquad \text{avec }\theta\in[0;2\pi[$$ \item Que représente l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $z=2i+3e^{i\theta}$ \end{enumerate}} \Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $ -2z^2+6z-5=0$ \item $(z^2+2)(z^2-4z+4)=0$ \item $(t^2-5)(t^2+6t+14)=0$ \item $(t^2+3)(2t^2+2t-4)=0$ \item $(4z^2-4z+101)(z^2+1)=0$ \item $ x^3+6x^2+13x=0$ \item $2z^4-5z^2-18=0$ \item $z^3-12z+48z-128=0$\footnote{Calculer cette expression pour $z=8$} \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{\begin{enumerate} \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que : $$ z^3-1=(z-1)(z^2+az+b)\forall z\in\C$$ \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$. On appelle $j$ la solution de partie imaginaire positive. Que vaut $j^3$ ? \item Etablir que $j^2=\dfrac{1}{j}= \overline{j}$ \item Donner la forme algébrique de $j^n$ suivant les valeurs de l'entier $n$ dans $\N$ \end{enumerate}} \Exoi{On considère le nombre complexe $$ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$$ \begin{enumerate} \item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique \item Déterminer le module et un argument de $z^2$ \item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$. \item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$ \end{enumerate}} \Exoi{Pour tout nombre complexe $z$, on définit : $$ P(z)=z^3+2( \sqrt{2}-1)z^2+4(1- \sqrt{2})z-8$$ \begin{enumerate} \item Calculer $P(2)$. \\ Déterminer une factorisation de $P(z)$ par $(z-2)$. \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$ \\ On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation autres que $2$, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que $z_1+z_2=-2 \sqrt{2}$.\\ Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$. \item \begin{enumerate} \item Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$. \item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle. \\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$. \item Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$. \item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$ \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 8 cm).\\ On appelle $A$ le point d'affixe $-1$ et $B$ le point d'affixe $1$\\ Soit $\mathscr E$ l'ensemble des points du plan distincts de $A$, $O$ et $B$. \\ A tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathscr E$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$. \begin{enumerate} \item Prouver que les points $M$, $N$ et $P$ sont deux à deux distincts. \item On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr C$ des points $M$ appartenant à $\mathscr E$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$. \begin{enumerate} \item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que le triangle $MNP$ est rectangle en $P$ si, et seulement si, $ |z+1|^2+|z|^2=1 $ \item Démontrer que $ |z+1|^2+|z|^2=1 \Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}$ \item En déduire l'ensemble $\mathscr E$ cherché. \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$ \begin{enumerate} \item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes : $$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$$ \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$. \item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera. \end{enumerate} \item Soit $I$ le point d'affixe $-3$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$ \item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ En déduire une relation entre $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $arg(z'+4)$ et $arg(z-2)$. \item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\ Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera. \item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points. \end{enumerate} \end{enumerate}} \newpage \Cr{Annales} \Exoi{2006\hfill (5 points)\\ Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $x'$, $y$ et $y'$ désignent des nombres réels. \begin{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{OM'}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\Re e(z' \overline{z})=0$ \item Montrer que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $\Im m(z' \overline{z})=0$ \\ \textbf{\textit{\underline{Applications}}} : \item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{ON}$ soient orthogonaux ? \item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d'affixe $ \dfrac{1}{z^2}-1$. \\ On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que les points $O$, $N$ et $P$ soient alignés.\begin{enumerate} \item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\overline{\left(z^2-1\right)}=-\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 $ \item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble cherché. \end{enumerate} \end{enumerate}} \Exoi{2007\hfill(5 points)\\ Soit les nombres complexes : $$ z_1=\sqrt{2}+i \sqrt{6} \qquad z_2=2+2i\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$$ \begin{enumerate} \item Ecrire $Z$ sous forme algébrique. \item Donner les modules et arguments de $z_1$ , $z_2$ et $Z$ \item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$ \item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra $2$ cm comme unité graphique. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $Z$. Placer le point $B$, puis placer les points $A$ et $C$ en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). \item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$. \end{enumerate}} \Exoi{2009\hfill(5 points)\\ Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$. \item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles. \item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Determiner l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points tels que $M'=M$). \end{enumerate} On cherche à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan. \begin{enumerate} %\setcounter{enumi}{2} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel. \item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel. \item Montrer que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\ Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}. \item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précèdentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$. \end{enumerate} } \Exoi{2009\hfill(5 points)\\ Le plan complexe muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, unité graphique : $2$ cm. \\ On appelle $\Gamma$ le cercle de centre O et de rayon 1.\\ \emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.} \\ On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ diffrent de $O$, d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z + \text{i} - \dfrac{1}{z}.\] \begin{enumerate} \item On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et leurs images $A'$ et $B'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. \begin{enumerate} \item Calculer $a'$ et $b'$. \item Placer les points $A$, $A'$, $B$ et $B'$. \item Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. \item En déduire la nature du triangle $OBB'$. \end{enumerate} \item On recherche l'ensemble $(E)$ des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$ \[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] \item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). \item Démontrer que les points de (E) appartiennent $\left(\Gamma \right)$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. \item En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment $[A'C]$ où $C$ a pour affixe $- \text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} } \Exoi{2009 \hfill (4 points)\\ \textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}. \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\ Soit le point $A$ d'affixe 3, le point $B$ d'affixe $-4\text{i}$ et l'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\left| z - 3\right|=| z+4\text{i}|$.\\ \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $\mathscr{E}$ est la mdiatrice du segment $[AB]$. \end{tabular} \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\ On considère trois points $A$, $B$ et $C$ deux deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$.\\ \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$. \end{tabular} \item On considère le nombre $z=2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{7}}$.\\ \begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}} $z^{2009}$ est un nombre réel positif. \end{tabular} \end{enumerate} } \newpage \Exoi{2009\hfill(5 points)\\ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 2$ cm). \\ On considrèe les points A, B et C d'affixes respectives : \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} = - 3.\] \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A, B et C. \item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. \end{enumerate} \textbf{Partie B}\\ Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$. \\ On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associs par $f$ aux points O, A, B et C. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. \item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . \item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. \item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. \\ Déterminer les affixes des points G et G$'$. Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? \end{enumerate} \item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole) \end{enumerate}} \Exoi{(2008)\hfill(4 points)\\ Le plan complexe est rapport au un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 4$ cm). \\ $M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que \[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \\ \textbf{A - Quelques propriétés} \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : $\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$. \end{enumerate} \textbf{B - Construction de l'image d'un point} \\ On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$. \\ On note $\mathscr{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vrifie : $|z - 1| = 1$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathscr{C}$ ? \item Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité. \item Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité : $|z - 1| = 1$ ? \end{enumerate} \item Tracer l'ensemble $\mathscr{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathscr{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$. \end{enumerate} } %\Exoi{2010\hfill(5 points)\label{produit}\\ %Dans le plan complexe muni d'un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathscr{C}$ de centre O passant par A.\\ %Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. %\begin{enumerate} %\item %\begin{enumerate} %\item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha = 2\overline{\alpha} - 8$. %\item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathscr{C}$. % \end{enumerate} %\item Soit D un point du cercle $\mathscr{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. %\begin{enumerate} %\item Construire sur la figure donneé en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. %\item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$. % \end{enumerate} %\item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. %\begin{enumerate} %\item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$. %\item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$. %\\ %Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. %\\ %En déduire que le triangle AFG est quilatral. %\end{enumerate} %\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} %\\ %A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini dans la question 2, pour laquelle la longueur du coté $AF$ du %triangle AFG est minimale.\\ %On admet que $AF^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$. %\\ %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$. %Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? %Justifier. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(8.5,3) %\psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3) %\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$} %\rput(0.5,1){$f$} %\psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4) %\end{pspicture} %\end{center} %\end{enumerate}} %\begin{center} %\newpage %\textbf{ANNEXE 2 (Exercice \ref{produit})}\\ %(\textbf{\`a rendre avec la copie}) %\vspace{1cm} %\psset{unit=2cm} %\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) %\pscircle(0,0){2} %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1.25,1.57) %\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1.25,1.57){D} \uput[d](0.5,0){$\vec{e_1}$} %\uput[l](0,0.5){$\vec{e_2}$} %\end{pspicture} %\end{center} \end{document}