\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et g\'eom\'etries}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\Exoi{\hfill (Amérique du sud 2010)\\
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
\\
Soit $A$, $B$ et $P$ les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$.
\\
On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$.
 \\
On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.
 \\
On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.
\\
Soit $D$ le symÉtrique du point $M$ par rapport  O.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O. 
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\overline{z} - 5z - 5\overline{z} = 0$.
\\
Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$. 
\item On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux  deux. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$. 
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient  $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatre $MUDT$ ? 
\item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite $(OP)$ privée de $O$ et $P$.
Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré. 
\end{enumerate} }


\Exoi{\hfill (La réunion 2010) \\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres.
 \\
On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
\[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\]  
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. 
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$. 
		\item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
		\item  Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\\
Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Métropole)\\
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
\begin{enumerate}
\item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
\\ 
Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. 
		\item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
	\\	 
Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.
\\
Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. 
		\item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 \\
On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}}  = \vect{\text{BI}}$.
 \\
Que peut-on conjecturer pour les droites $(BF)$ et $(CE)$ ?
\\
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. 
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Polynésie 2010)\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unit : 1~cm).
 \\
On fera une figure que l'on complètera au fur et à mesure des questions.
\\
On considère les points $A$, $B$, $S$ et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$.
$$s = -5 + 5\text{i}\qquad \text{et}\qquad\omega = -2 + 2\text{i}$$
Soit $h$ l'homothtie de centre $S$ et de rapport $3$.
 \\
On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $h$. 
		\item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon. 
\item  Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. 
\item  Soit P le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $p$ du point P. 
		\item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. 
		\end{enumerate}
\item Soit Q le milieu du segment [BD].\\
Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?  
\end{enumerate} }

\Exoi{\hfill (La réunion Juin 2010)\\
\textbf{Partie I : Restitution organisée de connaissances}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 \\
Soient A, B et C trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. 
\\
On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.
\\
On rappelle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\
Montrer que $$\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$$
\textbf{Partie II :}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 
\\
On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$.\\
On associe,à  tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe
\[z' = \dfrac{z -1- \text{i}}{z}.\]
Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe i. 
		\item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$. 
\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ? 
\end{enumerate}}



\Exoi{\hfill (Asie Juin 2010) \\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
\\
On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives :
\[ a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad  c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad  p  = 10.\]
\textbf{PARTIE A tude de la configuration}
\begin{enumerate}
\item Construction de la figure.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et P dans le repre \Ouv. 
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$. 
		\item Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que le triangle BCP est équilatéral. 
\item On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$. 
		\item Vérifier l'égalité : $q = -2b$. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ? 
	\end{enumerate}
\item Soit R le symétrique de C par rapport à O. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O. 
		\item Etablir que: AP = BQ = CR.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B}
\\
 On note $f$ l'application qui,  à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par :
\[f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(\text{O})$. 
\item Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$.\\
Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\\
En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan,
$f(M) \geqslant  12$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (Polynésie Juin 2010)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \\
\begin{center}
\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances}
\end{center}
\textbf{Prérequis}
\\
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 \\
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.
\\
\textbf{Questions}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
\end{enumerate}
\begin{center} 
\textbf{Partie B} \end{center}
On considère l'équation (E) : $z^4 = - 4$ où $z$ est un nombre complexe.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que si le nombre complexe $z$ est solution de l'équation (E) alors les nombres complexes $- z$ et $\overline{z}$ sont aussi solutions de l'équation (E). 
\item  On considère le nombre complexe $z_{0} = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire le nombre complexe $z_{0}$ sous forme exponentielle. 
		\item Vérifier que $z_{0}$ est solution de l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item  Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}
\begin{center} 
\textbf{Partie C}  \end{center}
Soient A, B, C et D les points d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}~;~z_{\text{B}} = -1 + \text{i}~;~z_{\text{C}} = - 1 - \text{i}~\text{et}~z_{\text{D}} = 1 - \text{i}.\]
Soit $r$ la rotation du plan de centre C et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{3}$.
\\
On appelle E l'image du point B par $r$ et F celle du point D par $r$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture complexe de la rotation $r$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'affixe du point E, note $z_{\text{E}}$, est égale à $- 1 + \sqrt{3}$ 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F. 
		\item Démontrer que le quotient $\dfrac{z_{\text{A}}-z_{\text{E}}}{z_{\text{A}}-z_{\text{F}}}$ est un nombre réel. 
		\item Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (Amérique du nord Juin 2010)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv d'unité graphique 2~cm.
\\
On réalisera une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice.
 \\
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1.
 \\
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
 \\
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
\[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\]  
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. 
\item  Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},~ \left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.
		\item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ :		
		\[\begin{array}{l}
		 \text{BM}' \times \text{AM} = 1\\ 
		\text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.}
		\end{array}\]
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. 
		\item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ? 
\end{enumerate}
}
\end{document}

