\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\ch}{Chapitre 11} \newcommand{\Ch}{Barycentre} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra} \usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes} \usepackage[upright]{fourier} \let\danger\undefined \DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}% \DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}% \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{varioref} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \debutexo \section{\textbf{Amérique du Nord juin 2009}} On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8) \psframe(6.6,6.6) \psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6) \psline(8.4,8)(6.6,6.6) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8) \psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4) \uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} \uput[l](0,6.6){E} \uput[r](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} \uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K} \psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35) \end{pspicture} \end{center} \medskip On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ]. L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. \item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). \item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG). \end{enumerate} \item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G. Soit L le centre du carré DCGH. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL]. \item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. } Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera. \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \section{\textbf{Métropole \& La Réunion sept. 2008}} \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.} Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le milieu de [AI]. \begin{enumerate} \item C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\ \end{tabularx} \item \begin{enumerate} \item B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$ \item Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$ \item Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I. \item J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$ est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ du plan tels que : \[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\] est : \begin{enumerate} \item la médiatrice de [AC]. \item le cercle circonscrit au carré ABCD. \item la médiatrice de [AI]. \item le cercle inscrit dans le carré ABCD. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{\textbf{Pondichéry avril 2007}} L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation $2x + y - 2z + 4 = 0$ et les points A de coordonnées $(3 ; 2 ; 6)$, B de coordonnées (1 ; 2 ; 4), et C de coordonnées $(4~;~-2~;~5)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. \item Vérifier que ce plan est le plan $\mathscr{P}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est rectangle. \item Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$. \item Soit K le projeté orthogonal de O sur $\mathscr{P}$. Calculer la distance OK. \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. \end{enumerate} \item On considère, dans cette question, le système de points pondérés \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G. \item On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI). \item Déterminer la distance de G au plan $\mathscr{P}$. \end{enumerate} \item Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant : \[\left\|3\vect{M\text{O}} +\vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\] Déterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à $\mathscr{P}$ et $\Gamma$ ? \end{enumerate} \section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2006}} On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD]. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{A},~ 1)~;~ (\text{B},~ 1)~;~ (\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$. Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe). \item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~ ;~(D,~ 2)\}$. Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$. \item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J. \end{enumerate} \item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(C,~m - 2)~;~(D,~m)\}$. \begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathscr{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $G_{m}$ existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathscr{E}$. \item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD). \item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant. \item En déduire l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit l'ensemble $\mathscr{E}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{\textbf{Centres étrangers 2005}} Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = $a$. On appelle A$_{1}$ le centre de gravité du triangle BCD. \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\left(\text{A}\text{A}_{1}\right)$ est orthogonale au plan (BCD). $\left(\text{On pourra par exemple calculer}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{CD}}~ \text{et}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{BC}}.\right)$ \item En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$. \item On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC]. \begin{enumerate} \item Montrer que G appartient au segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$ et déterminer la longueur AG. \item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que \[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 2 \left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\] \end{enumerate} \item Soit H le symétrique de A par rapport à G. \begin{enumerate} \item Démontrer que $4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$. \item Démontrer l'égalité $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{DC}} \cdot \vect{\text{BA}}$. \item En déduire que HC = HD. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base associée $b$ est} \[V = \dfrac{1}{3}bh.\] \section{\textbf{Pondichéry avril 2005}} L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$. Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \end{enumerate} \item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques. \item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ? \end{enumerate} \item Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$. Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I. Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$. \item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \section{\textbf{Nouvelle--Calédonie décembre 2001}} \begin{center} \textbf{Partie I} \end{center} L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives : \[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 2~;~4). \] On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et $\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. $ \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées. \item Montrer que : $\vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}. $ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie II} \end{center} Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]. \[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} \qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \] Soit G le barycentre de {(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)}. \begin{enumerate} \item Déterminer les barycentres de {(A, 3), (D, 1)} et le barycentre de {(B, 3), (C, 1)}. \item En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires. \end{enumerate} \end{document}