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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 11}
\newcommand{\Ch}{Barycentre}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutexo

\section{\textbf{Amérique du Nord juin 2009}}



On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8)
\psframe(6.6,6.6)
\psline(6.6,0)(8.4,1.4)(8.4,8)(1.8,8)(0,6.6)
\psline(8.4,8)(6.6,6.6)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.4)(1.8,8)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.4)(8.4,1.4)
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](6.6,0){B} \uput[r](8.4,1.4){C} \uput[ul](1.8,1.4){D} 
\uput[l](0,6.6){E} \uput[r](6.6,6.6){F} \uput[u](0.9,4){I} \uput[ur](4.2,0.7){J} 
\uput[ur](8.4,8){G} \uput[ul](1.8,8){H} \uput[ur](2.55,2.35){K}
\psline[linestyle=dashed](0.9,4)(4.2,0.7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.9,4)(4.2,0.7)(2.55,2.35)
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère. 
\item Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG). 
	\item Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). 
	\item Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
 
Soit L le centre du carré DCGH. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL]. 
	\item \emph{Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }
	
Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\pagebreak
\section{\textbf{Métropole \& La Réunion sept. 2008}}



\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le  milieu de [AI].

\begin{enumerate}
\item  C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\
\end{tabularx}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item  Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$
		\item  Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.
		\item  J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$.
 	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$  est :
	\begin{enumerate}
		\item  la médiatrice de [AC].
		\item  le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item  la médiatrice de [AI].
		\item  le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que :
		\[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\]	 est :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice de [AC].
		\item le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item la médiatrice de [AI].
		\item le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\section{\textbf{Pondichéry avril 2007}}



L'espace est rapporté au repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation $2x + y - 2z + 4 =  0$ et les points A de coordonnées $(3 ; 2 ; 6)$, B de coordonnées (1 ; 2 ; 4), et C de coordonnées $(4~;~-2~;~5)$.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que les points A, B et  C définissent un plan.
		\item   Vérifier que ce plan est le plan $\mathscr{P}$.
	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le triangle ABC est rectangle.

		\item  Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire
au plan $\mathscr{P}$.

		\item Soit K le projeté orthogonal de O sur $\mathscr{P}$. Calculer la distance OK.

		\item  Calculer le volume du tétraèdre OABC.
	\end{enumerate}
\item  On considère, dans cette question, le système de points pondérés
 \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
		\item   On  note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).

		\item   Déterminer la distance de G au plan $\mathscr{P}$.
	 \end{enumerate}
\item   Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace vérifiant :
\[\left\|3\vect{M\text{O}} +\vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\]

Déterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à $\mathscr{P}$ et $\Gamma$ ?
\end{enumerate}


\section{\textbf{Antilles-Guyane juin 2006}}



On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

\begin{enumerate} 
\item

	\begin{enumerate} 
		\item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés 

 $\{(\text{A},~ 1)~;~ (\text{B},~ 1)~;~ (\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$.

Exprimez $\vect{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\vect{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille annexe).

		\item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés 
		
$\{(A,~1)~;~(B,~1)~ ;~(D,~ 2)\}$.

Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$.

		\item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J.

	\end{enumerate}

\item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés

$\{(A,~1)~;~(B,~1)~;~(C,~m - 2)~;~(D,~m)\}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Précisez l'ensemble $\mathscr{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre 
$G_{m}$ existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathscr{E}$.

		\item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD).

		\item Démontrez que le vecteur $m\vect{\text{J}G_{m}}$ est constant.

		\item En déduire l'ensemble $\mathscr{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit
l'ensemble $\mathscr{E}$.

	\end{enumerate}
 
\end{enumerate}


\section{\textbf{Centres étrangers 2005}}


Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en
A avec  AB =  AC =  AD = $a$. On appelle A$_{1}$ le centre de gravité du triangle BCD.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\left(\text{A}\text{A}_{1}\right)$ est orthogonale au plan (BCD). 

$\left(\text{On pourra par exemple calculer}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{CD}}~  \text{et}~ \vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot \vect{\text{BC}}.\right)$

\item En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la
longueur du segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$.

\item On appelle G l'isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que G appartient au segment $\left[\text{A}\text{A}_{1}\right]$ et déterminer la longueur AG.

		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que

\[\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\right\| = 2 \left\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\]

	\end{enumerate}

\item Soit H le symétrique de A par rapport à G.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$.

		\item Démontrer l'égalité  $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{DC}} \cdot \vect{\text{BA}}$.

		\item En déduire que HC = HD.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\emph{On rappelle que le volume d'une pyramide de hauteur $h$ et d'aire de base associée $b$ est}

\[V = \dfrac{1}{3}bh.\]


\section{\textbf{Pondichéry avril 2005}}


L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ;  0 ;  2), (1 ; 1 ; 4) et $(-1~;~1~;~1)$.

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~4~;~-2)$.

Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

 En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

	\end{enumerate}

\item Soient P$_{1}$ et P$_{2}$ les plans d'équations respectives $2x + y + 2z + 1= 0$ et $x - 2y +   6z = 0$.

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ sont sécants selon une droite D dont on déterminera un système d'équations paramétriques. 

		\item La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

	\end{enumerate}

\item Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et $t$.

	\begin{enumerate} 
		\item Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t$.

 Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.
 
Exprimer le vecteur $\vect{\text{I}G}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{IC}}$.

		\item Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.

Pour quelle valeur de $t$, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec $G$ ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\section{\textbf{Nouvelle--Calédonie   décembre 2001}}



\begin{center} \textbf{Partie I} \end{center}

L'espace E est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$.
Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :
\[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 
2~;~4). \]
On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu 
du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et 
$\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que les points I, J et K ne sont pas 
alignés.

		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est : $ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. $

		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et  montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L  dont on déterminera les coordonnées.

		\item Montrer que : $\vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}. $

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie II} \end{center}
Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K  est le milieu du segment [CD].

\[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} 
\qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = 
\dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \]

Soit G le barycentre de {(A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1)}.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les barycentres de {(A, 3), (D, 1)} et le 
barycentre de {(B, 3), (C, 1)}.

\item En associant les points A, B, C et D de deux façons 
différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire 
que les points I, J, K et L sont coplanaires.

\end{enumerate}

\end{document}

