\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Fonctions Exponentielle}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\setcounter{NumLecon}{5}
\debutdwicky{expo_hs.eps}{Peanuts}{Charles Schulz}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Peanuts (aussi connu sous le nom de Snoopy et les Peanuts ou simplement Snoopy) est le nom d'un comic strip écrit et dessiné quotidiennement, sans interruption et sans assistance par l'Américain Charles M. Schulz (1922 - 2000) d'octobre 19501 jusqu'à sa mort, en février 2000. Il aura écrit au total 17 897 strips dont 2 506 éditions du dimanche2.
Peanuts est une série de gags qui tournent autour de deux personnages centraux, un garçon maladroit, malchanceux et déprimé, Charlie Brown et son chien, Snoopy. Le strip s'appuie sur le principe du running gag (comique de répétition) où les mêmes situations entre les personnages reviennent tout au long de la bande dessinée. De plus, chacun des personnages a ses particularités, ses obsessions et ses accessoires propres, qui resurgissent chaque fois qu'ils apparaissent.
Peanuts a donné également naissance à des dessins animés, dont plusieurs ont reçu un Emmy Award, à des pièces de théâtres et à des comédies musicales.
Le comic a été, à partir des années 1960 un succès planétaire, notamment aux États-Unis. La popularité du strip et le nombre colossal de licences pour des publicités ou produits dérivés ont fait de Charles M. Schulz une des célébrités les plus riches du monde 3.
À la mort de Schulz, le comic était publié dans plus de 2 600 journaux, dans 75 pays différents et dans 21 langues 4.}{0.3}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{5}

\TITRE{expo_intro.eps}{0.6}

\begin{abstract}
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés par une fonction $f$ qui est proportionnelle à sa dérivée $f'$. (Par exemple, le phénomène de désintégration de noyaux radioactifs)\\
Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type.\\
Plus particulièrement, que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée ?\\
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle ! Mais cette fonction est sans intérêt. Notre objectif est d'en rechercher d'autres.
\end{abstract}



\section{Equation différentielle du type $y'=ay$ avec $a\in\R$}

\subsection{Généralités}

Une équation différentielle est une équation :
\begin{itemize}
\item où l'inconnue est une fonction, que l'on note habituellement  $y$
\item dans laquelle $y$ vérifie une relation particulière avec sa ou ses dérivée(s) , comme par exemple l'équation suivante :
$$ f'(x)=af(x)+b$$
\end{itemize}
En dehors des notations fonctionnelles habituelles, on s'autorise l'écriture :
$y=\dfrac{x^2}{2} $ est solution de l'équation différentielle $y'= x$, étant entendu que, dans une équation différentielle l'inconnue est une fonction. $y$ désigne donc une fonction.

\Exop{Trouver mentalement au moins une fonction une fonction solution sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ y'=\sin x$
\item $y''=\cos x$
\item $y'=0$
\item $y''=0$
\item $y'=x+1$
\item $y""=x$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Defc{On appelle solution d'une équation différentielle $(E)$ tout couple $(f,I)$ où $f$ est une fonction qui vérifie $(E)$ sur $I$. On dira que $f$ est solution de $(E)$ sur $I$. Résoudre une équation différentielle sur $I$ c'est trouver toutes les fonctions solutions de $(E)$ sur $I$.}

\Rq{Lorsqu'on ne précise pas l'intervalle $I$, il s'agit de l'intervalle $\R$.}

\begin{itemize}
\item On distingue plusieurs types d'équation différentielle :
\begin{itemize}
\item Les équations différentielles linéaire à coefficient constant sans second membre du premier ordre :
$$ y'+5y=0$$
\item Les équations différentielles linéaire à coefficient constant avec second membre du premier ordre :
$$ y'+5y=\sin x$$
\item Les équations différentielles linéaire à coefficient constant sans second membre du second ordre :
$$ 2y''-3y'+5y=0$$
\item Les équations différentielles linéaire à coefficient variable sans second membre du premier ordre :
$$ y'-5xy=0$$
\item Les équations différentielles non linéaire :
$$ \sqrt{y'}=y$$
\end{itemize}
\end{itemize}

\Rq{Nous n'étudierons que des équations différentielles des deux premiers types.}


\subsection{Equations différentielles du type $y'=y$}
\Thc{Le problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
admet une unique solution sur $\R$
}

\Rq{Autrement dit il n'existe qu'une et une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ }
\Dem{Il s'agit de prouver qu'il existe une unique fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$, dont la dérivée est égale à elle-même $y'=y$ et qui vérifie la condition initiale $y(0)=1$.\\
L'existence d'une telle fonction est délicate à prouver et les programmes officiels suggèrent d'admettre provisoirement ce résultat (qui se démontre lors de la quadrature de l'hyperbole lors de l'étude du calcul intégral).\\
En revanche on a prouvé l'unicité de la solution de l'équation différentielle à l'occasion du TP d'introduction. 
\\
Voici les idées principales d'une démonstration très technique (et hors programme) de l'existence d'une telle solution utilisant les suites adjacentes :
\begin{enumerate}
\item On montre d'abord que les suites $(u_n(x))$ et $(v_n(x))$ définies par :
$$ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\qquad \text{et}\qquad v_n(x)=\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^{-n}$$
sont adjacentes
\item On en déduit qu'elles convergent vers une même limite, qui dépends de $x$, que nous notons $\ell(x)$ 
\item On montre enfin que la fonction $\ell$ est solution du problème, comme $u_n(0)=1$ pour tout entier $n$ il est clair que $\ell(0)=1$. Il s'agit donc de prouver que $\ell$ est une fonction dérivable égale à sa dérivée pour tout $x\in\R$.
\end{enumerate}}

\Defc{On appelle \underline{fonction exponentielle} l'unique fonction solution, sur $\R$, du problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
On la note $exp$. Ainsi :
$$ exp(0)=1\qquad \text{et}\qquad exp'(x)=exp(x)$$
 }
 
 
\Ptec{\begin{enumerate}
\item $exp(0)=1$
\item $exp$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R$ $exp'(x)=exp(x)$
\item Pour tout réel $x$ on a :
$ exp(x)>0$
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item En effet puisque $exp$ est solution du problème différentiel.
\item idem.
\item On a démontré dans le TP d'introduction que si $f$ était solution du problème différentiel alors pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)f(-x)=1 $$
et par conséquent comme $exp$ est l'unique solution de ce problème on a :
$$ exp(x)\times exp(-x)=1$$
\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que pour tout $x\in\R$ on a $exp(x)\neq 0$\\
En effet supposons qu'il existe un réel $x_0$ tel que $exp(x_0)=0$, dans ce cas on aurait :
$$ exp(x_0)\times exp(-x_0)=0\neq 1$$
C'est donc absurde, donc $exp(x)\neq 0$ pour tout $x\in\R$
\item Montrons désormais que pour tout $x\in\R$ on a $exp(x)>0$\\
Supposons qu'il existe un réel $x_1$ tel que $exp(x_1)<0$ alors comme la fonction $exp$ est dérivable sur $\R$, elle y est aussi continue et d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une solution à l'équation $exp(x)=0$, ce qui est absurde. Par conséquent $exp(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
\item On a donc pour tout réel $x$ :
$$ exp'(x)=exp(x)>0$$
La fonction $exp$ est donc strictement croissante sur $\R$.
\end{itemize}
\end{enumerate}}

\Thc{Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors $$ (exp(u))'=exp(u)\times u'$$}

\Dem{On sait que $$ (v\circ u)'=v'(u)\times u'$$
On applique ce résultat pour $v=exp$.}

\Exop{Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définie sur $\R$ par $$ f(x)=exp(3x^2+1)\qquad \text{et}g(x)= exp(-2x+1)$$}

\newpage
\subsection{Equations différentielles du type $y'=ky$ ($k\in\R$)}

Il s'agit d'une simple formalité. Nous allons utiliser le travail fait précédemment.

\Thc{Le problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=a y\\ y(0)=y_0  \end{array} \right.$$
admet une unique solution $f$ dans $\R$ qui est définie sur $\R$ par :
$$f(x)=y_0exp(ax)$$
}

\Dem{
\begin{itemize}
\item \textbf{Existence} : La fonction $f$, définie par $f(x)=y_0 exp (kx)$, vérifie bien les conditions :
$$ f(0)=y_0 exp(0)=y_0 \qquad \text{et}\qquad f'(x)-kf(x)=y_0k exp'(kx)-y_0k exp(kx)=0$$
\item \textbf{Unicité} : Soit $g$ une solution quelconque du problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=a y\\ y(0)=y_0  \end{array} \right.$$
Considérons la fonction $h$ définie sur $\R$ par :
$$ h(x)=g(x)exp(-kx)$$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ ($g$ et l'exponentielle le sont) et pour tout réel $x$ :
$$ h'(x)=g'(x)exp(-kx)-kg(x)exp(-kx)$$
Comme $g$ est solution du problème différentiel on a $g'=kg$, par conséquent $$ h'(x)=0$$
Donc $h$ est constante sur $\R$. Comme $h(0)=g(0) exp(0)=y_0$, on a :
$$ h=y_0\qquad \text{sur }\qquad \R$$
Par conséquent on en déduit $$ g(x)=y_0 exp(kx)$$
Donc $g=f$ sur $\R$
\end{itemize}
}

\Expl{Résoudre l'équation différentielle $2y'+3y=0$ et $y(0)=C$.\\
Ici, $a=-\dfrac{3}{2}$, donc les solutions sont les fonctions du type $x\longmapsto Ce^{-\dfrac{3}{2}x}$ }

\Exop{Résoudre l'équation différentielle $$\left\{ \begin{array}{l} y'=3y \\ y(0)=7  \end{array} \right.$$}

\Exop{Les observations relevées pour l'étude d'une population $p$ d'une bactérie dans une certaine préparation biologique ont conduit à envisager le modèle suivant :
\begin{itemize}
\item le temps $t$ en heures
\item $p$ est une fonction de $t$ dérivable sur $[0;+\infty[$ et $p'=2,5p$ et $p(0)=10$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(t)$
\item Donner un ordre de grandeur de cette population au bout de $10$ heures.
\end{enumerate}
}

\Rq{Si $a=0$ l'unique solution est la fonction $f$ constamment égale à $y_0$}
\section{Fonctions exponentielles}
\subsection{Relation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)f(y)$ et premières propriétés}
\Thc{Pour tous réels $a$ et $b$ : 
$$ exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)$$
(La fonction exponentielle transforme les sommes en produits).}

\Dem{Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=exp(x+a)exp(-x)$$
On a alors $g(0)=exp(a)exp(0)=exp(a)$, de plus on a pour tout $x\in\R$ :
$$ g'(x)=exp(x+a)exp(-x)-exp(x+a)exp(-x)=0$$
Par conséquent la fonction est constante sur $\R$ et on a, pour tout $x\in\R$ :
$$ exp(x+a)exp(-x)=exp(a)$$
Par conséquent :
$$ exp(x+a)=\dfrac{exp(a)}{exp(-x)}$$
Or, on a vu dans le TP d'introduction de la fonction exponentielle que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ exp(x)exp(-x)=1\Longleftrightarrow exp(x)=\dfrac{1}{exp(-x)}$$
Par conséquent on peut conclure que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ exp(x+a)=exp(a)\times exp(x)$$
En choisissant $x=b$ on obtient le résultat voulu. }

\Rq{Réciproquement, toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction du type :
$$ f(x)=exp(ax)\qquad \text{où}\qquad a\in\R$$
Nous admettrons ce résultat.}

\Ptec{Pour tous réels $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$
\item $exp(-b)=\dfrac{1}{exp(b)}$
\item $exp(na)=[exp(a)]^n$, $n\in\Z$
\item $exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{exp(a)}$ pour $n\geq 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{Pour tous réels $a$ et $b$ on a, d'après le théorème précédent :
\begin{enumerate}
\item $exp(a-b)\times exp(b)=\exp(a-b+b)=exp(a)$, d'où :$$exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$$
\item Comme $$ exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$$
On obtient avec $a=0$ :
$$exp(-b)=\dfrac{exp(0)}{exp(b)}=\dfrac{1}{exp(b)} $$
\item On raisonne par récurrence sur $n\in\N$ afin de démontrer la propriété $\mathscr P(n) $ : $exp(na)=[exp(a)]^n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$ on a :
$exp(0\times a)=exp(0)=1$ et $(exp(a))^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain entier $n$, montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. 
On a :
\begin{eqnarray*}
exp((n+1)a)=&exp(na+a) \\
=& exp(na)exp(a)\qquad \text{puisque }exp(x+y)=exp(x)exp(y)\\
=& [exp(a)]^n exp(a)\qquad \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
=& [exp(a)]^{n+1}
\end{eqnarray*}
Ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\
On vient de démonter que pour tout $n\in\N$ :$exp(na)=[exp(a)]^n$\\
\end{itemize}
Qu'en est-il si $n<0\Longrightarrow -n>0$ ?\\
On sait que $$ exp(-na)exp(na)=1$$
Donc :
$$ exp(na)=\dfrac{1}{exp(-na)}=\dfrac{1}{(exp(a))^{-n}}=[exp(a)]^n$$
Ainsi pour tout $n\in\Z$ on a :
$$exp(na)=[exp(a)]^n$$
\item Un petit rappel d'abord, la racine $n-ième$ d'un nombre réel positif est l'unique solution de l'équation $x^n=r$.
\\On a pour tout $n\geq 1$ $exp\left(\dfrac{a}{n}\right)^n=exp\left(n\times \dfrac{a}{n}\right)=exp(a)$, par conséquent :
$$exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{exp(a)} $$
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\subsection{Nombre $e$ et notation $e^x$}
\Cadre[Notation]{On note $e$ le nombre $exp(1)$ :
$$ e=exp(1)\simeq 2,718$$}

\Rq{\begin{itemize}
\item On a vu dans le TD d'introduction que :
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$
\item On a alors $\forall n\in\Z$, 
$$ exp(n)=exp(n\times 1)=[exp(1)]^n=e^n$$
De plus, comme l'exponentielle transforme les sommes en produits, on a, pour tous $n$ et $m$ dans $\Z$ :
$$ e^{n+m}=exp(n+m)=exp(n)exp(m)=e^ne^m$$
d'où la notation suivante :
\end{itemize}}

\Cadre[Notation]{Soit $x\in\R$. On note $$ e^x=exp(x)$$}

\Rq{Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les entiers. }

Résumons désormais, à l'aide de cette nouvelle notation, toutes les propriétés rencontrées sur la fonction exponentielle :

\Cadre[Résumé]{\begin{multicols}{2}Pour tout $x\in\R$, pour tout $y\in\R$, pour tout $n\in\Z$ et pour toute fonction $u$ dérivable sur $I$, on a
\begin{enumerate}
\item $e^0=1$
\item $(e^x)'=e^x$
\item $e^1=e$
\item $e^xe^{-x}=1$
\item $e^x>0$
\item $e^xe^y=e^{x+y}$
\item $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$
\item $e^{nx}=\left(e^x\right)^n$
\item $\left(e^{u}\right)'=e^u \times u'$
\item $ e^{\frac{x}{n}}=\sqrt[n]{e^x}$, $n\geq 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exop{Simplifier :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ e^{x+2}e^{-x+2}$
\item $ \dfrac{e^{-2x+1}}{e^{-x+1}}$
\item $ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
\item $ \sqrt{\left(e^{-2x+1}\right)^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\pagebreak
\subsection{Propriétés asymptotiques}
\Ptec{Pour tout $A$ et pour tout $B$ réels on a :
\begin{enumerate}
\item $e^A=e^ B\Longleftrightarrow A=B$
\item $x>A \Longleftrightarrow e^x>e^A$
\item $ x<A\Longleftrightarrow e^ x<e^ A$
\end{enumerate}}

\Dem{Si $A=B$ on a alors $e^A=e^ B$, réciproquement :
si $e^ A=e^ B$, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ on a :
$$ x>A\Longrightarrow e^ x>e^ A$$
et $$ x<A\Longrightarrow e^ x<e^A $$
donc il est impossible que $B\neq A$, donc $B=A$, le premier point est démontré.\\
Le deuxième et le troisième point proviennent directement du fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$}

\Exop{Résoudre les équations et inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{-x}+1=0$
\item $e^{3x-1}-e^{-x}<0$
\item $-3\leq e^x\leq 1$
\item $e^{2x}+e^x<3$\footnote{On utilisera le résultat du $3.$ après avoir posé $X=e^x$}
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Thc{On a :
$$ \Lim{-\infty}e^x=0\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}e^x=+\infty$$}

\Dem{Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a :
$$ e^x\geq x$$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=e^x-x$$
$g$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $g'(x)=e^x-1$\\
$g'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$g’(x)$/1,$g$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $g(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$
De plus :
$$ \Lim{+\infty}x=+\infty \Longrightarrow \Lim{+\infty} e^x=+\infty$$
Posons $X=-x$, alors si $x\longrightarrow -\infty$, $X\longrightarrow +\infty$ dans ce cas :
$$ \Lim{-\infty}e^x=\displaystyle\lim_{X\to +\infty} e^{-X}=\displaystyle\lim_{X\to +\infty}  \dfrac{1}{e^X}=0$$
}

\Rq{La représentation graphique de la fonction exponentielle admet en $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=0$.}

\Exop{Déterminer les limites en $\pm\infty$ des fonctions $f$ suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^{3-x}$
\item $f(x)=\dfrac{e^{2x}+2}{e^x-1}$
\end{enumerate}}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \forall x\in\R \qquad e^x\geq x+1$$
\item Déterminer l'approximation affine de la fonction exponentielle en $0$
\end{enumerate}
}

\Thc[Autres limites avec des exponentielles]{On a : 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N^*$ :
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} x^ne^x=0$$
\item En particulier : 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$$
\item Tangente à l'origine :
$$ \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$$
\end{enumerate}
}

\Expl{$\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{ \sqrt{x} }=\Lim{+\infty }\dfrac{e^x}{x}\times \sqrt{x}=+\infty$ car $ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et $\Lim{+\infty} \sqrt{x}=+\infty$ }
\Dem{\begin{enumerate}
\item Montrons tout d'abord que : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=\infty$
\\On sait que pour tout $X\in\R$ on a : $ e^X\geq X$\\
En particulier pour $X=\dfrac{x}{n+1}$, avec $x\in\R^{+*}$ et $n\in\N^*$ on a : $ e^{\dfrac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}$\\
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^{n+1}$ est une fonction croissante sur $\R^+$ donc :
$$ e^{\dfrac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}\Longrightarrow f\left(e^{\dfrac{x}{n+1}}\right)\geq f\left(\dfrac{x}{n+1}\right)\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$$
Ainsi on obtient :
$$ \dfrac{e^x}{x^n}\geq \dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}$$
Comme $\Lim{+\infty}\dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\infty$, on en déduit par comparaison que $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=\infty$\\
En posant $X=-x$ on obtient : $ \Lim{-\infty}\mid x^n e^x\mid=\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{X^n}{e^X}=\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^X}{X^n} }=0$
d'où : $ \Lim{-\infty} x^n e^x=0$
\item En particulier pour $n=1$ on a : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$
\item Pour la troisième limite, nous reconnaissons le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en $0$, sa limite est donc égale au nombre dérivé en $0$ de l'exponentielle à savoir : $$  \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=\Lim{0} \dfrac{e^x-e^0}{x-0}=exp'(0)=e^0=1$$
\end{enumerate}}
\Rq{Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui \og l’emporte \fg.}

\Exop{Etudier la limite suivante : $ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{ \sqrt{x} }$}



\subsection{Courbe représentative}

On peut établir le tableau de variation suivant :
\begin{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $e^x$/2, Variation\\ de $e^x$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$e$}
\end{tikzpicture}

\end{center}

En appliquant le théorème de la bijection, l'équation $e^x=\lambda$ admet une unique solution dans $\R$ dès que $\lambda >0$.\\
On dispose désormais de suffisament d'information pour représenter graphiquement la fonction exponentielle  :



\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(4.1,40.1)
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\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{5}{\F}
\def\G{x 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{4}{\G}
\uput[ur](2,35){$\textcolor{blue}{\mathscr C_{exp}: y=e^x}$}
\uput[ur](2,2){$  \textcolor{red}{y=x+1}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\Defc{Comme on vient de le voir, si $\lambda \in\R^{+*}$ l'équation $e^x=\lambda$ admet une unique solution dans $\R$ que l'on appelle \underline{logarithme népérien de $\lambda$} et que l'on note $\ln \lambda$ }

\Rq{On a donc, pour tout $\lambda>0$, pour tout $\alpha\in\R$ :
$$ e^{\ln \lambda}=\lambda\qquad \text{et}\qquad \ln(e^\alpha)=\alpha$$
En effet pour la première égalité, comme $\ln\lambda$ est solution de $e^x=\lambda$ on obtient littéralement $e^{\ln \lambda}=\lambda$\\
De plus le nombre $ \ln(e^\alpha)$ est solution de l'équation $e^x=e^\alpha \Longleftrightarrow x=\alpha$, par conséquent $\ln\left(e^\alpha\right)=\alpha  $ }
\section{Application : Equations différentielles et modèles d'évolution}

\subsection{Equation du type $y'=ay+b$ avec $a$ et $b$ réels.}
\Thc{Soit $a\in\R^*$ et $b\in\R$. Le problème différentiel :
$$ y'=ay+b$$ admet une infinité de solutions $z$, où $z$ est une fonction de la forme : 
 $$ z(x)=Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}\qquad \text{où} K \text{ parcourt } \R$$}
 
 \Dem{\begin{itemize}
\item Remarquons que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g=-\dfrac{b}{a}$$ est une solution particulière de $y'=ay+b$. On a $g'=0=a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b$.\\
Soit $z$ une solution quelconque de $(E)$. (On sait déjâ qu'il en existe au moins une, $g$).\\
On a sur $\R$ :
$$\left\{ \begin{array}{l} z'=az+b\\ g'=ag+b  \end{array} \right.$$
En retranchant membre à membre on obtient :
$$ (z-g)'=a(z-g)$$
Par conséquent la fonction $z-g$ est solution de l'équation différentielle $y'=ay$ dont on connait la forme des solutions, d'où , pour tout $x\in\R$ :
$$ z(x)-g(x)=Ke^{ax}\qquad \text{ avec} K\in\R$$
Finalement, pour tout $x\in\R$ on obtient :
$$ z(x)=Ke^{ax}+g(x)=Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}$$
Ainsi l'équation différentielle $y'=ay+b$ admet une infinité de solutions de la forme 
$$ z(x)=Ke^{ax}-\dfrac{b}{a}\qquad \text{où} K \text{ parcourt } \R$$
\end{itemize}}

\Exop{Résoudre, sur $\R$, l'équation différentielle :
$$ \sqrt{2}y'-2y=1$$}


\Thc{Soit $a\in\R^*$ et $b\in\R$. Le problème différentiel :
 $$\left\{ \begin{array}{l} y'=ay+b \\ y(0)=y_0  \end{array} \right.$$ admet une unique solution $f$, où $f$ est une fonction défnie sur $\R$ par :
 $$ f(x)=\left(y_0+ \dfrac{b}{a}\right)exp(ax)-\dfrac{b}{a}$$
}


\Dem{D'après le théorème précédent, l'équation différentielle $y'=ay+b$ admet une infinité de solutions de la forme 
$$ z(x)=Kexp(ax)-\dfrac{b}{a}\qquad \text{K}\in\R$$
Si, de plus $y(0)=y_0$, alors $z$ est solution si et seulement si $z(0)=y_0$\\
Or, $z(0)=Kexp(0)-\dfrac{b}{a}=K-\dfrac{b}{a}$ et :
$$ K-\dfrac{b}{a}=y_0\Longleftrightarrow K=y_0+ \dfrac{b}{a}$$
Ainsi le problème différentiel  $$\left\{ \begin{array}{l} y'=ay+b \\ y(0)=y_0  \end{array} \right.$$ admet une unique solution $f$, où $f$ est une fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\left(y_0+ \dfrac{b}{a}\right)exp(ax)-\dfrac{b}{a}$$ }


\pagebreak
\subsection{Application}

\subsubsection{Exercice 1}
\noindent \textbf{Partie A}

Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 

$$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.$$

\begin{enumerate}\item[a.] D\'emontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$.

\item[b.] \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item[c .] \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item On a \'etudi\'e en laboratoire l'\'evolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est not\'ee $g(t)$. On d\'efinit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable r\'eelle $t$ d\'esigne le temps, exprim\'e en ann\'ees. L'unit\'e choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le mod\`ele utilis\'e pour d\'ecrire cette \'evolution consiste  \`a prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle 

\[(\text{E}_{1}): y' = \dfrac{y}{4}.\]

\begin{enumerate}\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E$_{1}$).

\item D\'eterminer l'expression de $g(t)$ lorsque,  \`a la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est- \`a-dire $g(0) =1$.

\item Apr\`es combien d'ann\'ees la population d\'epassera-t-elle 300 rongeurs pour la premi\`ere fois ?

\end{enumerate}

\item En r\'ealit\'e, dans un secteur observ\'e d'une r\'egion donn\'ee, un pr\'edateur emp\^eche une telle croissance en tuant une certaine quantit\'e de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprim\'e en ann\'ees) dans cette r\'egion, et on admet que la fonction $u$, ainsi d\'efinie, satisfait aux conditions :

\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=&	 \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
u(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\]
 
 où $u'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $u$.
 
\begin{enumerate}\item On suppose que, pour tout r\'eel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On consid\`ere, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, la fonction $h$ d\'efinie par $h = \dfrac{1}{u}$. D\'emontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions

\[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l}
 h'(t) &=&	 - \dfrac{1}{4}h(t)  + \dfrac{1}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
h(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\] 
 
o $h'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $h$.

\item Donner les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y' = - \dfrac{1}{4}y	+ \dfrac{1}{12}$ et en d\'eduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$.

\item Dans ce mod\`ele, comment se comporte la taille de la population \'etudi\'ee lorsque $t$
tend vers $+ \infty$ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2}
\begin{center} \begin{pspicture}(13.2,4.5)
\psline[linewidth=2pt](0,1.7)(12.2,1.7)
\psline(0.5,0)(0.5,2.2)
\psline{<->}(0.5,0.5)(6.4,0.5)
\psline{->}(6.4,3.4)(11.4,3.4)
\psline{->}(6.4,3.4)(6.4,0)
\psline(4.1,2.45)(3.5,2.45)(2.9,4.4)(9.9,4.4)(9.4,2.45)(8.7,2.45)
\psline(5.1,2.45)(7.7,2.45)
\pscircle(4.6,2.25){0.55}
\pscircle(8.2,2.25){0.55}
\uput[d](0,1.7){O} \uput[dl](6.4,1.7){H}
\uput[u](11.4,3.4){$\overrightarrow{\text{F}}$}
\uput[u](2.3,0.5){$x$}
\end{pspicture}\end{center} 

\noindent Un chariot de masse 200 kg se d\'eplace sur une voie rectiligne et horizontale. 
Il est soumis \`a une force d'entra\^{\i}nement constante 
$\overrightarrow{\text{F}}$ de valeur 50 N. Les forces de frottement sont 
proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient
 de proportionnalit\'e a pour valeur absolue 25 N.m$^{-1}$.s.

\noindent La position du chariot est rep\'er\'ee par la distance $x$, en m\`etres, du point H ? 
l'origine O du rep\`ere en fonction du temps $t$, exprim\'e en secondes. On 
prendra $t$ dans l'intervalle $[0 ~;~ + \infty[$. Les lois de Newton conduisent \`a
 l'\'equation diff\'erentielle du mouvement 

\[(\text{E}) \qquad  25x' + 200x'' = 50,~ \text{o\`u}\]

$x'$ est la d\'eriv\'ee de $x$ par rapport au temps $t$,

$x''$ est la d\'eriv\'ee seconde de $x$ par rapport au temps $t$.

\begin{enumerate} \item On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$ ; on rappelle 
que $v(t) = x'(t)$.

\noindent Prouver que $x$ est solution de (E) si et seulement si $x'$ est solution de l'\'equation
diff\'erentielle (F)\quad $v' = - \cfrac{1}{8}v + \cfrac{1}{4}$.

\noindent R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (F).

\item On suppose que, \`a l'instant $t = 0$, on a : $x(0) = 0$ et $x'(0) = 
0$.

\begin{enumerate} \item Calculer, pour tout nombre r\'eel $t$ positif, $x'(t)$.

\item En d\'eduire que l'on a, pour tout nombre r\'eel $t$ positif, $x(t) = 2t - 
16 + 16\text{e}^{-t/8}$.

\end{enumerate}

\item Calculer V = $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t)$ . Pour quelles 
valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inf\'erieure ou \'egale ? 
$90\:\%$ de sa valeur limite V ?

\item Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 
secondes ? On exprimera cette distance en m\`etres, au d\'ecim\`etre pr\`es.

\end{enumerate}

\pagebreak
\subsubsection{Exercice 3 : problème se ramenant à une équation différentielle du type $y'=ay+b$}

\Rq{Proposé a la session de Juin $2010$ en métropole, nous ne pouvons pas encore traité la dernière question de cet exercice !}
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y' + y = \text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $u(x) = x\text{e}^{-x}$ est une solution de l'équation différentielle (E). 
\item On considère l'équation différentielle (E$'$) :  $y' + y = 0$. Résoudre l'équation différentielle (E$'$). 
\item Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Montrer que la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la fonction $v - u$ est solution de l'équation différentielle (E$'$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle (E) telle que $g(0) = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{-x}\]

où $k$ est un nombre réel donné.
 
On note $\mathscr{C}_{k}$ la courbe reprsentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthogonal.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f_{k}$ admet un maximum en $x = 1- k$. 
\item On note $M_{k}$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{k}$ d'abscisse $1- k$. Montrer que le point $M_{k}$ appartient  la courbe $\Gamma$ d'quation $y = \text{e}^{-x}$. 
\item Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la courbe $\Gamma$ d'équation $y = \text{e}^{-x}$ ; 
\item[$\bullet~$] la courbe $\mathscr{C}_{k}$ d'qéuation $y = (x + k)\text{e}^{-x}$ pour un certain nombre réel $k$ donn\'e.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie). 
		\item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 
	\end{enumerate} 
\item A  l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^2 (x + 2)\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. Donner une interprtation graphique 
de cette intégrale. 
\end{enumerate}

\pagebreak
\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (Métropole-Juin 2010)}

(\textbf{\`a rendre avec la copie})

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(5,5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.6}{5}{1 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2.25}{5}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=-3+1}{8}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)}
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline(-0.1,\n)(0,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}