\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\debutdwicky{parleavecelle.eps}{Parle avec elle}{Pedro Almodovar}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Pedro Almodóvar Caballero est né le 24 septembre 1949 à Calzada de Calatrava, dans la province de Ciudad Real et la communauté autonome de Castille-La Manche, en Espagne. À 8 ans, il émigre avec sa famille en Estrémadure. Il y fait ses études secondaires qu'il poursuit chez les Franciscains. Comme Vargas Llosa il fait preuve de guidisme.
Vers 16 ans il quitte sa maison seul pour s'installer à Madrid, sans argent et sans travail, mais avec un projet très concret : étudier le cinéma et en faire son métier. Il lui est impossible de s'inscrire à l'école officielle du cinéma puisque Franco vient juste de la fermer. Dans la mesure où il ne peut apprendre le langage cinématographique, Almodóvar décide d'en apprendre le fond en multipliant ses expériences artistiques personnelles dans différents domaines. Malgré la dictature, Madrid représente, pour un adolescent provincial, la culture, l'indépendance et la liberté.
Il fait de nombreux petits boulots et s'achète sa première caméra super 8 après avoir décroché un emploi à la Compagnie nationale de téléphone d'Espagne. Il y travaille douze ans comme employé de bureau. Le matin, à la Compagnie de téléphone, il apprend à connaître la classe moyenne espagnole qui vit les débuts de la société de consommation, avec ses grands drames et ses petites misères. Le soir et la nuit, il écrit, fait du théâtre avec la compagnie indépendante Los Goliardos et tourne des films en super 8.
Il collabore à diverses revues underground, écrit des nouvelles dont certaines sont publiées. Il a aussi réalisé des romans-photo au cours de sa jeunesse. Il fait également partie d'une troupe de théâtre amateur (référence à cette période dans Tout sur ma mère) et fait partie d'un groupe punk-rock avant de commencer sa carrière cinématographique.}{0.3}{0.3}
\setcounter{NumLecon}{4}

\TITRE{bateau.eps}{0.6}

\begin{abstract}
Les notions de continuité et de dérivabilité, et par suite d'intégration sont apparus tardivement dans l'histoire des mathématiques ($XVII^\text{ème}$ siècle) et ont permis de résoudre de nombreux problèmes auxquels les méthodes classiques n'offraient pas de solution générale comme le calcul de la vitesse instantanée, la recherche de trajectoire d'un objet en mouvement, le calcul de la longueur de la trajectoire d'une planète, le calcul de l'aire limitée par des courbes, $\dots$. Ce n'est qu'au siècle dernier que les mathématiciens ont travaillé avec rigueur en utilisant ces nouveaux objets, en effet ils se sont longtemps contentés d'utiliser des définitions intuitives.
\end{abstract}
\begin{center}
Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou une partie de $\R$ et sont à valeurs dans $\R$. 
Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 
\end{center}

\section{Dérivée d'une fonction en un point}
\subsection{Définitions et premières remarques}

\Defc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $I$.\\
On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite $\ell$ en $a$ i.e :
$$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} =\ell\qquad \text{ ou }\qquad \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\ell$$
Dans ce cas, $\ell$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$, et on le note $f'(a)$.}

\underline{Vocabulaire} : 
\begin{itemize}
\item La quantité $ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (ou $ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$) s'appelle le taux d'accroissement de $f$ en $a$. Graphiquement elle représente le coefficient directeur de la sécante à la courbe $\mathscr C_f$ entre les points d'abscisses $a$ et $a+h$ 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivauder.1}
\end{center}
\item La définition précédente peut aussi se traduire par : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si l'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$ (ou lorsque $h$ tend vers $0$.
\item Lorsque $f$ est dérivable en $a$, nous pouvons écrire :
$$ f(a+h)-f(a)=hf'(a)+h\phi(h)\qquad \text{avec } \lim\limits_{h \to 0}\phi(h)=0 $$
Ce qui revient à écrire, en posant $h=x-a$ : $$ f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+(x-a)\phi(x-a)\qquad \text{avec }\lim\limits_{x \to a}\phi(x-a)=0$$
\item Si $f$ est dérivable en $a$, on peut utiliser la relation précédente et on obtient :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)-f(a)=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a)\Longleftrightarrow f\text{ est continue en }a$$
Ainsi, \textbf{toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$}, la réciproque est fausse.
\item Les physiciens expriment volontiers une variation à l'aide du symbole $\Delta$ ; ils notent ainsi $\Delta x=x-a$ et $\Delta y= f(x)-f(a)$.\\
Avec ces notations, on obtient :
$$ \Delta y=f'(a)\Delta x+\Delta x \phi(\Delta x)\qquad \text{ où }\phi \text{ tend vers 0 quand }\Delta x\longrightarrow 0$$
Nous exprimerons symboliquement cette égalité par :$$ dy=f'(a)dx \qquad i.e \qquad f'(a)=\dfrac{dy}{dx}(a)\qquad \text{c'est la notation différentielle}$$
\end{itemize}

\Expl{
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2$. Etudions sa dérivabilité en $0$.\\
Pour cela on calcule le taux d'accroissement entre $0$ et $0+h$ :
$$ \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h^2+2h+1-1}{h}=h+2$$
La limite de ce taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers $0$ est $é$, par conséquent $f$ est dérivable en $0$ et $f'(1)=2$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R^+$ par $g(x)=\sqrt{x}$. Etudions sa dérivabilité en $0$.\\
Pour cela on calcule le taux d'accroissement entre $0$ et $0+h$ :
$$ \dfrac{g(0+h)-g(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}-0 }{h}=\dfrac{\sqrt{h} }{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h} }$$
La limite de ce taux d'accroissement lorsque $h$ tend vers $0^+$ est $+\infty$, par conséquent $g$ n'est pas dérivable en $0$. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $g(x)=\mid x \mid$. Etudions sa dérivabilité en $0$.\\
Pour cela on calcule le taux d'accroissement entre $0$ et $0+h$ :
$$ \dfrac{h(0+h)-h(0)}{h}=\dfrac{\mid h \mid-0 }{h}=\dfrac{\mid h \mid }{h}$$
Lorsque $h<0$ ce taux d'accroissement vaut $ -1$ et sa limite lorsque $h$ tend vers $0^-$ est $-1$.\\
En revanche si $h\geq 0$, ce taux d'accroissement vaut $1$ et sa limite lorsque $h$ tend vers $0^+$ est $1$, par conséquent la limite à droite n'est pas égale à la limite à gauche et donc $g$ n'est pas dérivable en $0$. 
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Différentes interprétations}
\subsubsection{Interprétation graphique : Tangente}
Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la représentation graphique de $f$ admet au point $A(a; f(a))$ une tangente de coefficient directeur $f'(a)$.\\
Cette tangente a pour équation $$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivauder.2}
\end{center}

\Exop{On donne $$f(x)=-x^2+3$$
Donner l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=2$.}
\subsubsection{Interprétation numérique : Approximation Affine}
On a vu que lorsque $f$ est dérivable en $a$ on a : $ f(x)-f(a)=f'(a)(x-a)+(x-a)\phi(x-a)\qquad \text{avec }\lim\limits_{x \to a}\phi(x-a)=0$\\
Autrement dit, lorsque $x$ est proche de $a$ on a
$$ f(x)-f(a)\simeq f'(a)(x-a)\Longleftrightarrow f(x)\simeq f'(a)(x-a)+f(a)$$
On dit qu'il s'agit d'une approximation affine de $f(x)$, on l'appelle approximation affine car c'est une approximation de la forme $f(x)=mx+p$, avec $m=f'(a)$ et $p=f(a)-af'(a)$.
\subsubsection{Interprétation cinématique : Vitesse}
Supposons ici que $f$ représente la loi horaire d'un mobile en déplacement. La vitesse moyenne du mobile entre 
les instants $t_0$ et $t_0 + h$ est alors : $$ \dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h}$$
La vitesse instantanée du mobile au moment $t_0$ est donc donnée par : 
$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(t_0+h)-f(t_0)}{h} =f'(t_0) $$
\textbf{Si $f$ est une loi horaire d'un mobile en mouvement, le nombre dérivé en $t_0$ représente la vitesse 
instantanée du mobile à l'instant $t_0$. }

\newpage
\section{Fonction dérivée}
\subsection{Définition}
\Defc{Lorsqu'une fonction $f$ admet un nombre dérivé en tout point $a$ d'un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. 
On définit alors la fonction dérivée, notée $f'$, qui à tout point $a$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(a)$. 
}
Nous savons déjà dériver un certain nombre de fonctions. Se reporter au tableau des dérivées pour en avoir un 
aperçu.\\
On montre (voir quelques démonstrations au paragraphe 5) que la somme et le produit de fonctions dérivables 
(sur un intervalle $I$) est dérivable (sur $I$). De même pour le quotient $ \dfrac{f}{g}$  de deux fonctions dérivables où $g$ ne 
s'annule pas sur $I$. On montrera également que les fonctions du type $x\longmapsto x^n (n\in\N)$
sont dérivables sur $\R$. \\
Ainsi, les fonctions polynômes sont dérivables sur $\R$ et les fonctions rationnelles le sont sur tout intervalle 
contenu dans leur ensemble de définition. 

\Thc{Toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$. 
}

\Rq{
\begin{enumerate}
\item On a déjà démontré ce théorème au début de cette leçon.
\item La réciproque est fausse, prenons l'exemple de la fonction valeur absolue continue sur $\R$ et non dérivable en $0$.
\item Une fonction $f$ peut être dérivable (et donc continue) sans que sa dérivée $f'$ soit continue : \\
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
$$ f(x)=x^2\sin \dfrac{1}{x} \text{ si }x\neq 0 \text{ et }f(0)=0\text{ si }x=0$$
Montrons que $f$ est continue en $0$ : \\
Nous avons, pour tout réel $x \neq 0$ : $\qquad \mid \sin \dfrac{1}{x}\mid \leq 1$\\
donc,  pour tout réel $x \neq 0$ : $\qquad x^2\mid \sin \dfrac{1}{x}\mid \leq x^2$\\
D'après le théorème de comparaison des limites (en 0), on en déduit : 
$$  \lim\limits_{x \to 0} \mid f(x)\mid=0$$
Au final : $$  \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0=f(0)$$
Ce qui prouve que $f$ est continue en $0$.\\
Montrons que $f$ est dérivable en $0$ :\\
Pour tout réel $x \neq 0$, nous avons : $ \qquad \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=x \sin \dfrac{1}{x}$\\
Or : $$ \lim\limits_{x \to 0} x \sin \dfrac{1}{x} =0$$
 (on le prouve de la même manière que ci-dessous en écrivant $ \mid x\sin \dfrac{1}{x}\mid \leq \mid x \mid $)\\
 Donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=0$.\\
 Cependant $f'$ n'est pas continue en $0$. En effet, pour tout $x\neq 0$, on a : 
$$ f'(x)=2x\times \sin \dfrac{1}{x}+x^2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\cos \dfrac{1}{x}=2x\sin \dfrac{1}{x}- \cos\dfrac{1}{x} $$
Nous savons que $ \lim\limits_{x \to 0} 2x \sin \dfrac{1}{x} =0$, en revanche la quantité $ \cos\dfrac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$, donc $f'$ n'a pas de limite en $0$ et n'est donc pas continue en $0$ !!!
\end{enumerate} }
\subsection{Applications de la dérivation à l'étude de fonction}


\subsubsection{Variations d'une fonction}
\begin{footnotesize}
Bien qu'intuitivement évident, on admettra le théorème suivant. (Sa démonstration découle en partie du théorème des accroissements finis qui est 
hors-programme. Ce théorème découle lui-même du théorème de Rolle dont la démonstration repose sur le fait qu'une fonction continue sur un 
intervalle borné est bornée et atteint ses bornes. Or, cette dernière propriété repose en partie sur le théorème de Bolzano-Weierstrass dont la 
démonstration ne peut se comprendre qu'après avoir établi un certain nombre d'éléments de topologie de la droite réelle...) 
\end{footnotesize}

\Thc[Lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction ]{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'=0$ sur $I$. 
\item $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ (resp. $f'\leq 0$) sur $I$.
\item $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $I$ si et seulement si $f'>0$ (resp $f'<0$), sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule. 
\end{enumerate} 
}

\Rq{Ainsi, l'étude des variations d'une fonction dérivable se ramène à la recherche des intervalles sur lesquels la dérivée $f'$ conserve un signe constant.}

\Expl{\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$. Etudions ses variations sur $\R$.\\
On se rappelle que $f'(x)=3x^2\geq 0$, par conséquent $f$ est une fonction croissante sur $\R$, et même strictement croissante sur $\R$ puisque $f'$ ne s'annule qu'en un point isolé $0$ i.e $f(x)>0\quad \forall x\neq 0$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\xmin{-2.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.6,-3.1)(4,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.5}{1.5}{\F}
 \uput[ur](1,1){$\mathscr C : y=x^3$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Etudions les variations de la fonction $f:x\longmapsto x^3-6x^2+1$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$, par conséquent on obtient le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ -\infty$,$0$,$4 $, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{ , + , z , - ,z,+ }% 
\tkzTabVar{-/  , +/ $ 1$ , -/$-31$, +/ $ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\item  On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\left\{ \begin{array}{l} (x+1)^3 \qquad \text{ si }x<-1\\ 0 \qquad \qquad  \text{ si }x\in[-1;1]\\ (x-1)^3 \qquad \text{ si }x>1  \end{array} \right.$$
On a :
$$g'(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3(x+1)^2 \qquad \text{ si }x<-1\\ 0 \qquad \qquad  \text{ si }x\in[-1;1]\\ 3(x-1)^2 \qquad \text{ si }x>1  \end{array} \right.$$
La dérivée est donc toujours positive ou nulle, par conséquent la fonction $g$ est croissante sur $\R$ mais non strictement car sa dérivée s'annule sur un intervalle.
\end{enumerate}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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\def\F{x 1 add 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-1}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{1}{\G}
\def\H{x 1 sub 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{3}{\H}
\uput[ur](2.5,2){$\mathscr C_F$}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{Extremums d'une fonction}
\Corc{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Si $f$ admet un extremum local en un point $x_0$ intérieur à I alors $f'(x_0) = 0$ 
}

\Rq{\begin{itemize}
\item Si $a$ et $b$ sont les extrémités de l'intervalle $I$ (extrémités pouvant valoir $\pm\infty$) alors l'interieur de $I$ est l'intervalle ouvert $]a;b[$ i.e l'interieur de $I$ est le plus grand intervalle ouvert contenu dans $I$. Pour que le théorème s'applique $x_0 $ doit appartenir à $]a;b[$.
\item Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local. Une fonction $f$ admet un maximum local en $x_0$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ du type $]x_0 - \epsilon ; x_0 + \epsilon [$ (avec $\epsilon > 0$) tel que pour tout $x$ de $J$ on 
ait $f(x) \leq f(x_0)$. (On définit de façon analogue un minimum local). Une fonction peut avoir plusieurs 
maxima sur un même intervalle $I$. Le plus grand d'entre eux est appelé maximum global de $f$ sur $I$. 
\item Dans la pratique, les extrémums locaux sont aisément repérables sur le tableau de variations : ils correspondent aux changements de sens de flèches. Ainsi la fonction de l'exemple $2$ de la partie précédente la fonction $f$ admet un maximum local en $0$ et un minimum local en $4$.
\end{itemize}}

\Dem{Par hypothèse, $f$ est dérivable en $x_0$ et : 
$$ f'(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Comme $x_0$ est intérieur à I, il existe $\epsilon > 0$ tel que $]x_0 -\epsilon ; x_0 + \epsilon[$ soit contenu dans $I$.\\
Supposons que l'extremum local de $f$ soit un maximum local :  \\
Pour $h \in ]0 ; \epsilon[$, on a : $ \qquad \qquad \qquad \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \leq 0$\\
Pour $h \in ]-\epsilon ; 0[$, on a : $ \qquad \qquad \qquad \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \geq 0$\\
Ceci montre que la dérivée à droite de $f$ en $x_0$ est négative et que la dérivée à gauche de $f$ en $x_0$ est positive. Et 
comme elles sont toutes deux égales à $f'(x_0)$, on a  nécessairement $f'(x_0) \leq 0$ et $f'(x_0) \geq 0$ d'où $f'(x_0) = 0$. 
Dans le cas où $f$ admet un minimum local, on raisonne de même. 
}

\Rq{Si $x_0$ est une extrémité de I, la fonction $f$ peut avoir un extremum en $x_0$ sans nécessairement avoir $f'(x_0) = 0$. 
C'est ce qu'illustre la figure suivante :}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.5,3.3) 
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(0,2,-3,0)(4,3,1,1) 
\uput[ur](0.1,-0.5){$a$}
\uput[ur](4,-0.5){$x_0=b$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Thc{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soit $x_0$ un point intérieur à $I$. 
Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe alors $f$ a un extremum local en $x_0$. 
}

\Rq{Nous admettrons ce théorème dont la démonstration repose, là encore, sur le théorème des accroissements finis. 
Les trois théorèmes précédents sont largement exploités dans les exercices notamment lors de la mise en place 
du tableau de variation d'une fonction. 
}
\subsection{Dérivée d'une fonction composée et applications}
\subsubsection{Théorème des fonctions composées}
Comment dériver la fonction $h~:~ x\mapsto \sqrt{1+ x^2}$ définie sur $\R$ ? 


\Thc{Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. \\
Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$. \\
La fonction composée $f\circ g$ est dérivable sur $I$ et $$(f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x)$$
}

\Dem{Soit $x_0 \in I$. \\
On écrit : 
$$ \dfrac{f\circ g(x)-f\circ g (x_0)}{x-x_0}=\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}\times \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$$
Puis en notant $y=g(x)$ et $y_0=g(x_0)$ on obtient :
$$ \dfrac{f\circ g(x)-f\circ g (x_0)}{x-x_0}=\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}\times \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$$
Or $g$ étant dérivable en $x_0$ $$  \lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=g'(x_0)$$
Et comme $f$ est dérivable en $y_0$ $$ \lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f(y)-f(y_0)}{y-y0}=f'(y_0)$$
D'où $$ \lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{f\circ g(x)-f\circ g (x_0)}{x-x_0}=f'(y_0)\times g'(x_0)=f'(g(x_0))\times g'(x_0)$$
Ceci étant valable pour tout $x \in I$, on en déduit la dérivabilité de $f\circ g$ sur $I$ et $$(f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\times g'(x)$$
}



Appliquez cette formule à notre exemple.\\
Ici, $h$ est dérivable sur $\R$ car $1+x^2$ est strictement positif sur $\R$. Avec $f(X)=\sqrt{X}$ et $g(x)=1+x^2$, on obtient $f'(X)=\dfrac{1}{2\sqrt{X}}$ et $g'(x)=2x$, donc 
$$h'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\times 2x$$
En fait, on dérive comme si $g(x)$ était une variable et on multiplie par la dérivée de \og l'intérieur \fg.
\\
On obtient comme ça tout un tas de formules rappelées dans le tableau de fin de chapitre.soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. 


\Corc{soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\item Si $f=\sqrt{u} $ (où $u$ est strictement positive sur $I$) alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f' =\dfrac{u'}{2 \sqrt{u} } $
\item Si $f = u$ (avec $n \in \Z$ et $u$ ne s'annulant pas sur $I$ si $n<  0$) alors $f$ est dérivable sur $I$ et $$f' = n u' u^{n-1}$$
\end{itemize} 
}

\Dem{Il suffit d'appliquer le théorème précédent avec $g=u$}
\Exop{\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par : 
$$f(x)=\sqrt{x^2+x}$$
Déterminer $f'(x)$
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\left(2x^2-x+1\right)^6$$
Déterminer $f'(x)$
\end{enumerate}}

\Applic{Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0. Démontrer que :
$$f \text{ paire }  \Longrightarrow   f' \text{ impaire }$$
$$f \text{ impaire }  \Longrightarrow   f' \text{ paire }$$
On posera $g(x)=-x$
}
\subsubsection{Peut-on étudier les variations d'une fonction sans calculer sa dérivée ?}
Grâce au théorème suivant, je réponds oui à la question précédente. En effet, si $f$ et $g$ sont dérivables là où il faut, $(f\circ g)'$ sera du signe du produit des dérivées de $f$ et $g$. Donc


 \Corc{
Si $g$ est dérivable sur $I$ et $f$ dérivable sur $g(I)$, alors \begin{itemize}
\item La composée de deux fonctions croissantes est croissante
\item La composée de deux fonctions décroissante est croissante
\item la composée d'une fonction, croissante et d'une fonction décroissante est décroissante
\end{itemize}
}

\Rq{C'est comme la règle des signes !}

\Expl{Par exemple, pour la fonction
\begin{eqnarray*}
f:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto \sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}
 \end{eqnarray*}
La fonction $x\mapsto x^2$ est décroissante sur $\R^-$ et
croissante sur $\R^+$. Donc comme la fonction
$t\mapsto\sqrt{1+t}$ est croissante, $f$ est décroissante sur
$\R^-$ et croissante sur $\R^+$. On a juste utilisé que la
composée de deux fonctions croissantes est croissante, et que la
composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante
est décroissante.}


\subsection{Tableaux récapitulatifs des dérivées}




\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction $f$} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Fonction $f'$}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Domaine de définition de $f'$} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $f(x)=k$ (constante) & $f'(x)=0$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=x$ & $f'(x)=1$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=ax+b$ ($a$ et $b$ réel) & $f'(x)=a$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=x^n$ ($n\in\Z^*$) & $f'(x)=nx^{n-1}$ & $\R$ si $n>0$ et $\R^*$ sinon\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\sqrt{x}$ & $f'(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x} }$ & $\R^{+*}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{x}$  & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=\cos x$  & $f'(x)=-\sin x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\sin x$ & $f'(x)=\cos x$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\tan x$ & $f'(x)=1+tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ & $\R-\{k \dfrac{\pi}{2};k\in\Z \}$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\cos (\omega t +\phi)$ & $f'(x)=-\omega \sin(\omega t+\phi)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\sin (\omega t +\phi)$ & $f'(x)=\omega \cos(\omega t+\phi)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\tan (\omega t +\phi)$ & $f'(x)=\omega(1+tan^2 (\omega t +\phi))$ & $\R-\{k \dfrac{ \frac{\pi}{2} -\phi}{t};k\in\Z \}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}



Tous les résultats de ce tableau se démontrent essentiellement avec la définition du nombre dérivé. 

\Dem{Voici un exemple de démonstration d'une des lignes de ce tableau :
\\ Cas 1 : $f(x)=\sin x$\\
Le taux d'accroissement de $f$ en $x$ s'écrit :
$$ \dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\dfrac{\sin x\cos h +\sin h \cos x-\sin x}{h}=\sin x \dfrac{\cos h-1}{h}+ \dfrac{\sin h}{h}\cos x $$
Or : $$ \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1\qquad \text{et}\qquad  \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0$$
et donc :
$$  \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x$$ }



\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline 
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les dérivées
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{lorsque $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Dérivée}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Conditions} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $u+v$  & $u'+v'$ & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$ku$ ($k$ constante) & $ku'$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u v$  & $u'v+uv'$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{1}{v} $ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $v \neq 0$ sur $I$\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{u}{v} $ &  $ \dfrac{u'v-uv'}{v^2} $ &  $v \neq 0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u^n$ $\quad n\in \Z$ & $nu'u^{n-1}$ & $u\neq 0$ sur $I$ si $n\leq 0$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{8ex}$\sqrt{u}$  & $ \dfrac{u'}{2 \sqrt{u} } $ & $u>0$ sur $I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $v\circ u$ & $v'(u)\times u'$ &  \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}

Tous les résultats de ce tableau se démontrent essentiellement avec la définition du nombre dérivé. 
\Dem{Voici un exemple de démonstration d'une des lignes de ce tableau :
Montrons que $$ \left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$$
Pour tout $x\in I$ notons $f(x)=\dfrac{1}{v(x)}$ et etudions le taux d'accroissement entre $x$ et $x+h$ :
$$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{v(x+h)}-\dfrac{1}{v(x)} }{h}=\dfrac{v(x)-v(x+h)}{hv(x)v(x+h)} =-\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\times \dfrac{1}{v(x)v(x+h)}$$
Or comme $v$ est dérivable, on a :
$$ v'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Par conséquent :
$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=  \lim\limits_{h \to 0} -\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\times \dfrac{1}{v(x)v(x+h)}=-v'(x)\times \dfrac{1}{v^2(x)}$$
Donc $f$ est dérivable et $f'=-\dfrac{v'}{v^2}$. }

\Exop{Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g(x)=\sqrt{x^2+2}$
\item $f(x)=\cos^3 x$
\item $h(x)=x-1+\dfrac{1}{x-2}$
\item $k(x)=\dfrac{2}{5}\sqrt{25-x^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\hfill \rotatebox{180}{On a $g'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2} }$, pour  tout $x\in \R$}\\
\hfill \rotatebox{180}{On a $f'(x)=-3\sin x\cos^2 x$, $\forall x\in\R$}\\
\hfill \rotatebox{180}{On a $h'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}$, $\forall x\neq 2$}\\
\hfill \rotatebox{180}{On a $k'(x)=-\dfrac{2x}{5 \sqrt{25-x^2} }$, $\forall x \in ]-5;5[$}\\

\section{TP :  Exercices guidés}
\subsection{Etude de la fonction tangente.}
\Exop{On souhaite étudier et représenter graphiquement la fonction tangente :
$$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $\cos x=0$.
\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.
\item Etudier la parité de la fonction tangente.
\item Montrer que la fonction tangente est périodique de période $\pi$.\\
\Rq{Par conséquent, on va se contenter d'étudier la fonction tangente sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $, puis à l'aide de la parité on complétera le tracé par la symétrie de centre $O$, et à l'aide de la périodicité par une série de translation \og horizontale \fg.}
\end{enumerate}
\item Etudier les limites de la fonction tangente en $0^+$ et en $ \dfrac{\pi}{2}^-$. \\
En déduire que la courbe $\mathscr C$ de la fonction tangente admet une asymptote dont on précisera la nature et l'équation.
\item Etudier les variations de la fonction tangente sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[ $. On montrera que :$$ \tan' x= \dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$$
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ au point d'abscisse $0$.
\item Démontrer que pour tout $x\in I$, on a : 
$$ \tan x\geq x$$
\footnote{On pourra étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x)=\tan x-x$.}
\item En déduire, la position relative de la courbe $\mathscr C$ par rapport à sa tangente $T$.
\end{enumerate}
\item Tracer, très soigneusement les droites $\Delta$, $T$ et la courbe $\mathscr C$. (On se placera entre les bornes $-2\pi$ et $2\pi$
\end{enumerate}}
\newpage
\subsection{Problème d'optimisation}
\Cadre[Objectif]{Il s'agit d'appliquer les résultats sur la dérivation à la recherche d'extremums d'une fonction.}

\Exop{Dans l'arche de parabole $\mathscr P$, d'équation $y=1-x^2$ (avec $y\geq 0$), on inscrit un rectangle ayant pour axe $(Oy)$, avec $M$ et $N$ sur $(Ox)$, $P$ et $Q$ sur $\mathscr P$. \\
Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?
\begin{enumerate}
\item Le choix de $M$ détermine entièrement le rectangle, notons $x$ son abscisse. Donner les dimensions du rectangle.
\item En déduire que l'aire $\mathscr A$ du rectangle $MNOP$ vaut : $$ \mathscr A(x)=-2x^3+2x$$
\item Déterminer $\mathscr A'(x)$ et dresser son tableau de variation.
\item Conclure.
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.6,-0.6)(1.6,1.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{1.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{1.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.6,-0.6)(1.6,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 exp sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{1}{\F}
\def\G{0.36}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.8}{0.8}{\G}
 \uput[ur](-0.5,0.9){$\mathscr P$}

\pscustom[fillstyle=hlines,linewidth=0.5pt,hatchcolor=yellow,linestyle=solid]
{
\psplot{-1}{1}{\F}
\psline[linestyle=solid,linecolor=yellow](1,0)(-1,0)(-1,0)
}
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](-0.8,0)(-0.8,0.36)
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](0.8,0)(0.8,0.36)

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt] % aire coloriée  
{  
\psplot{-0.8}{0.8}{\G}
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](0.8,0)(-0.8,0)(-0.8,0.36)
}
\psdot(-0.8,0.36) \uput[ur](-1,0.36){Q}
\psdot(0.8,0.36) \uput[ur](0.8,0.36){P}
\psdot(0.8,0) \uput[ur](0.75,-0.25){M}
\psdot(-0.8,0) \uput[ur](-0.85,-0.25){N}
 \uput[ur](0.5,1){$y=1-x^2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
\subsection{Etude d'une fonction rationnelle}
\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\begin{enumerate}
\item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.\begin{enumerate}
\item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. \footnote{emploi classique du théorème de la bijection.}
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\item Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
variation de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrez qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$,
et $d$ tels que
$$f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$$
\item Déduisez en que $\mathscr C$ admet une asymptote oblique $\Delta$
et étudiez la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$.
\\
Vérifiez en particulier que $\mathscr C$ rencontre $\Delta$ en un
unique point $\Delta$. 
\end{enumerate}
\item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...}
\item \begin{enumerate}
\item  Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
fait que $g(\alpha)=0$.}
\item Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }

\subsection{ROC : dérivée d'une composée}

\Exop{\begin{enumerate}
\item  \textbf{ Restitution organisée de connaissances}\\
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.\\
Dans cet exercice $n$ désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
\begin{itemize}
\item P : Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) =x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée sur
$\R$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$.\\
\item Q : Soit $u$ une fonction dérivable, de dérivé $u'$ sur $\R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f= u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$ donnée par $f'=  nu^{n-1}u'$.
\end{itemize}
\item  On désigne par $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ 1[$ par $g(0) = 0$ et $g'(x) =	\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	où $g'$ désigne la
dérivée de la fonction $g$ sur $] -1~;~ 1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.\\
On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $] -\pi~;~ 0[$ par \\$h(x) = g (\cos x)$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ de $] -\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$, où $h'$ désigne la dérivée de $h$.
\item  Calculer $h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }
\newpage
\subsection{Extrait de bac étranger}


\Exop[BAC Irlandais]{\begin{enumerate}
\item If $y=x-1+\dfrac{1}{x-1}$, $x\neq1$,  find the value of $\dfrac{{\rm
      d}y}{{\rm d}x}$ at the point $(4;2)$.
\item The  slope of the curve  $y=a \sqrt{x}-5$ at the  point $(4;b)$ is
  $2$. Find the values of $a$
 and $b$.
\item If $y=\sqrt{x}$, show that $x^2 \dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}+x \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-\dfrac{1}{4}y=0$.
\end{enumerate}}
\Exop[BAC Anglais]{\begin{enumerate}
\item  Find the coordinates  of the  turning points  on the  curve whose
  equation is $y=x^3-9x^2+24x$
\item The function $f$ is given by~:
\[f(x)=x+\dfrac{1}{4x},\quad x\neq0\]
Find the range of values of  $x$ for which $f$ is an increasing function
of $x$.
\item Differentiate with respect to $x$ $4\sin^3(2x)$.
\item  The  curve  $\mathscr C$  has equation  $y=\dfrac{2x}{1+x^2}$.  Find  the
  coordinates of the stationary points and distinguish between them.
\end{enumerate}}

\Exop[BAC Suisse]{
On considère la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{2x^4}{x^3 - 1}.\]
\begin{enumerate}
\item  Étudier la fonction $f$. Durant l'étude, vous montrerez que la dérivée seconde est la suivante :
\[f''(x) = \dfrac{12 x^2 \left(x^3 + 2\right)}{\left(x^3
- 1\right)^3}\]
\item Déterminer la pente de  la tangente au point d'inflexion (le point
  d'abscisse $x$ tel que $f''(x)=0$).
\item  Représenter graphiquement la fonction $f$ (unité : 2 carrés ou 1 cm sur feuille millimétrée).
\end{enumerate}}

\Exop[BAC Espagnol]{
Sea $f$ la función definida para $x \neq  -2 $	por
	\[\dfrac{x^2}{x + 2}\]
	\begin{enumerate}
		\item Halla las asintotas de la gr\'afica de $f$.
	\item Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y
          los extremos locales de $f$.
		\item Teniendo en cuenta los resultados de los apartados
                  anteriores, haz un esbozo de la gr\'afica de $f$. 
	\end{enumerate}}

\newpage	
\subsection{Equation Fonctionnelle}

\Exop{
Une équation fonctionnelle est une équation dont l'inconnue est une fonction.  Nous en étudierons bientôt deux exemplaires en cours~:
$$f(x+y)=f(x)\times f(y)\qquad \text{et}\qquad f(xy)=f(x)+f(y)$$
Pour l'heure, nous allons nous contenter de rechercher  les fonctions définies sur $\R$ vérifiant pour tous réels $x$ et $y$~:
                                $$ f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Les deux parties sont indépendantes.\\
\bigskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrez que pour tout entier naturel $n$, $f(n)=n\times f(1)$
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Déduisez-en que pour tout rationnel $r$, $f(r)=r\times f(1)$
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip \\
On suppose que $f$ est dérivable en 0 et que $f'(0)=a$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)/x$ pour $x\neq0$ et $g(0)=a$.
\begin{enumerate}
\item Calculez $f(0)$.
\item Montrez que $g$ est continue en 0.
\item Montrez que $g(2x)=g(x)$ pour tout réel $x$.
\item Déduisez-en que $g(x)=g(x/2^n)$ pour tout réel $x$ et tout
entier naturel $n$.
\item Déduisez-en que $g$ est une fonction constante.\footnote{Où on
utilise un théorème du cours sur la continuité}
\item Déduisez-en une expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ en
fonction de $a$.
\item Réciproquement, vérifiez que les fonctions trouvées à la
question 5) sont solutions du problème. Concluez. Comparez avec les résultats de la partie A.
\end{enumerate}}


\newpage
\subsection{Divers}

\Exop{
On munit le plan d'un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par
$$f(x)=x-2\sqrt{x}+1$$
et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudiez les variations de $f$. 
\item Factorisez $f(x)$.
\item Démontrez que pour tout $x\in[0,1]$
$$(f\circ f)(x)=x$$
\item Construisez la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\item On considère les points $A_k$ de coordonnées ($k$+1/2, 0) et
$B_k$ de coordonnées (0, $1/2-k$) où $k$ est un paramètre réel de l'intervalle $[-1/2, 1/2]$ .
\item On note $D_k$ la droite déterminée par les points $A_k$ et $B_k$.
\begin{enumerate}
\item Déterminez une équation de $D_k$ sous la forme
$a(k)x+b(k)y+c(k)=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois fonctions dérivables de la variable $k$ que l'on déterminera.
\item Soit $D'_k$ la droite d'équation $a'(k)x+b'(k)y+c'(k)=0$ où
$a'$, $b'$ et $c'$ désignent les fonctions dérivées respectives de $a$, $b$ et $c$.
\item Vérifiez que, pour toute valeur de $k$ dans $[-1/2, 1/2]$, les droites $D_k$ et $D'_k$ sont sécantes en un point $M_k$.
\item Démontrez que les coordonnées de $M_k$ sont
$$x_k=(1/2+k)^2\qquad y_k=(1/2-k)^2$$
\item Démontrez que, lorsque $k$ décrit l'intervalle $[-1/2,1/2]$,
le point $M_k$ décrit la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exop[Avec une valeur absolue]{
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
$$f(x)=\sqrt{|x^2+4x-5|}$$
Soit $\mathscr C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec u, \vec v$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrivez $f(x)$ sans utiliser de valeur absolue.
\item Montrez que $\mathscr C_f$ admet la droite d'équation $x=-2$ comme axe de symétrie. Que peut-on en déduire sur le domaine d'étude de $f$.
\item \'Etudiez les variations de $f$ là où elle est dérivable.
\item \'Etudiez la dérivabilité de $f$ en 1. Interprétez
graphiquement.
\item Calculez $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ puis
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-x$. Interprétez graphiquement.
\item Tracez $\mathscr C_f$. Vous prendrez 1cm comme unité en abscisse et
2cm en ordonnées. Vous prendrez soin de tracer les tangentes remarquables.
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Complément : théorème de Rolle et des accroissements finis}


\Thc[Théorème de Rolle]{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et si $f(a)=f(b)$ alors il existe un
réel $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$} 


Nous nous proposons de démontrer ce théorème.

\begin{enumerate}
\item Faites un dessin résumant .... et démontrant la situation.
\item  Comme $f$ est continue sur $[a,b]$, l'image de $[a,b]$ est un intervalle d'après le TVI. Notons-le $[m,M]$. 
\begin{enumerate}
\item Si $m=M$, que peut-on en déduire ?
\item Sinon, le maximum $M$ par exemple est atteint pour un réel $e\in]a,b[$.  Notons $\tau_e(x)=\dfrac{f(e+x)-f(e)}{x}$. Que pensez-vous de $\lim\limits_{x\to0^-}\tau_e(x)$ et $\lim\limits_{x\to0^+}\tau_e(x)$ ?
\item \'Etudiez le signe de $f'(e)$ et concluez.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Thc[théorème des accroissements finis]{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ alors il existe au moins un réel
 $c\in]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$$}
 
 Pour prouver ce théorème, faites une figure. On appellera A le point d'abscisse $a$, B le point d'abscisse $b$, M le point de $\mathscr C_f$ d'abscisse $x$ et P le point du segment $[AB]$ d'abscisse $x$. On note enfin $\varphi(x)=\overline{PM}=y_M-y_P$
 
\begin{enumerate}
\item Exprimez $\varphi(x)$ en fonction de $x$.
\item Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Rolle à $\varphi$ sur $[a,b]$ ? Appliquez le et concluez.
\end{enumerate}

\Exop[Application du TAF]{
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f'(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez que $f$ est constante sur $[a,b]$. 
\item Soit deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ tells que $f'(x)=g'(x)$ pour tout $x\in[a,b]$. Démontrez qu'il existe un réel constant $C$ tel que $f(x)=g(x)+C$ pour tout $x\in[a,b]$.
\end{enumerate}}

%\section{Primitives ?}
\end{document}