\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 13}
\newcommand{\Ch}{Ad\'equation $\grave{a}$ \linebreak[2]  une loi \'equir\'epartie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
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\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}

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\TITRE{chap.eps}{0.3}



\section{Principe du test sur un exemple détaillé}
Cette partie vous introduit dans le monde des \textsl{Statistiques inférentielles} (\textbf{Inférer} : 
tirer une conséquence de quelque proposition, de quelque fait, etc.) auquel vous êtes en fait constamment confronté(e) en tant que 
citoyen(ne) d'une société hautement médiatisée. 
La statistique inférentielle  est en effet la science qui permet  de \og \textit{modéliser une partie
  observable du réel  comme résultant d'un phénoméne  aléatoire pour lequel on envisage  non pas une
  mais toute une famille de lois de probabilités possibles} \fg\, (J.P. Raoult - dossier APMEP- Déc 2005)\\
C'est un sujet très intéressant, exigeant une réflexion approfondie sur les notions abordées, les conclusions à émettre, 
entraînant un débat intéressant, permettant d'avoir une démarche scientifique partant d'une expérimentation.
Malheureusement, nous sommes loin de disposer du temps nécessaire. Nous nous contenterons donc d'une préparation pure et simple aux 
exercices d'examen qui sont tous identiques, mis à part le contexte expérimental. \\
Dans tous les cas, il s'agira d'étudier les résultats d'une série d'expériences ayant un nombre fini  $k$ d'issues possibles.\\
Regardons en détail un \textbf{exemple}.

On dispose d'une pièce de monnaie et on souhaite savoir si elle est bien équilibrée. Mais comment le savoir ?

On la lance $50$ fois (à la main, plus devient fastidieux). On a obtenu 30 fois Pile et 20 fois Face. 

\textit{\textbf{Peut-on raisonnablement estimer
que la pièce est équilibrée ?}}\\

En fait, on ne peut jamais être sûr de rien, mais d'un point de vue statistique, on peut avoir une idée de la réponse, avec une certaine
marge d'erreur, grâce aux simulations.\\
En effet, on peut simuler par un ordinateur $10\,000$ fois l'expérience de 50 lancers, pour une pièce équilibrée (puisqu'on
veut tester l'hypothèse d'équirépartition de notre propre pièce).
On l'a fait sur tableur et on a obtenu :
\begin{center}
\includegraphics[height=58mm]{histo.eps}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de "PILE" obtenus & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ & $16$ & $17$ & $18$ & $19$ & $20$ & $21$ & $22$ & $23$ & $24$ & $25$    \tabularnewline\hline
Effectif & $1$ & $1$ & $6$ & $16 $ & $36$ & $76$ & $154$ & $274$ & $441$ & $581$ & 755 & 942 & 1057 & 1171 \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de "PILE" obtenus  & $26$ & $27$ & $28$ & $29$ & $30$ & $31$ & $32$ & $33$ & $34$ & $35$ & $36$ & $37$ & $38$   \tabularnewline\hline
Effectif & 1055 & 1052 & 802 & 581 & 413 & 288 &  149 & 71  &47 & 19 & 8 & 3 & 1\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

On constate que sur cette simulation, à peine plus d'un dixième des expériences donnent exactement 25 Piles et 25 Faces. 
De plus, pour beaucoup d'entre elles, le nombre de Pile et de Face est assez éloigné de cette répartition, alors que la pièce 
est équilibrée. On parle de \textbf{fluctuation d'échantillonnage}.\\
On constate également qu'une certaine proportion (pas forcément négligeable) de ces $10\,000$ expériences a obtenu 30 Pile et 20 Face. 
Cet événement obtenu lors de notre propre expérience n'est donc pas si improbable que cela  pour une pièce équilibrée.\\
Mais on aimerait décider si notre pièce est, elle aussi, équilibrée, au risque de commettre une erreur. 
\begin{center}
\textbf{\textit{Quels peuvent-être les critères de décisions ?
 Quelles sont alors les erreurs commises ?} }
\end{center}
Il est clair que plus les fréquences observées  $\big(f_{Pile},f_{Face} \big)$ sont éloignées des fréquences théoriques $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$, plus
il est raisonnable de rejeter l'hypothèse d'équirépartition. Mais cela ne suffit pas pour décider.\\
On utilise comme indicateur d'erreur le carré de la distance euclidienne entre 
l'expérience et le modèle. En fait, on va comparer $d_\text{obs}^2$ défini par 
\[ d_\text{obs}^2=\sum_{i=1}^k \left(f_i-\dfrac{1}{2}\right)^2 \]
à un paramètre de précision $e$ arbitrairement choisi (et fourni par les énoncés de Bac), et dépendant de la simulation.\\
Ici on obtient 
$$d_\text{obs}^2=\left(f_{Pile}-p(Pile)\right)^2+\left(f_{Face}-p(Face)\right)^2=\left(\dfrac{30}{50}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{20}{50}-
\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{50}=0.02$$
Evidemment, plus une épreuve est proche des fréquences théoriques, plus son $d_\text{obs}^2$ est proche de $0$ et inversement.\\

Avec le tableur, on calcule $d^2$ pour chacune des simulations de 50 lancers, et on fait le tableau des effectifs cumulés croissants 
de ces $d^2$. (Notons que le $d^2$ pour $26$ piles est le même que celui pour $24$ piles), et ainsi de suite.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{1.6cm}*{14}{|>{\centering}m{0.7cm}}|}\hline
Nombres de piles & 25/25 & 24/26 & 23/27 & 22/28 & 21/29 & 20/30 & 19/31 & 18/32 & 17/33 & 16/34 & 15/35 & 14/36 & 13/37 & 12/38 \tabularnewline\hline  
Valeurs $d^2$ & $0$ & $\frac{1}{1250}$ & $\frac{2}{625}$  & $\frac{9}{1250} $ & $\frac{8}{625}$& $\frac{1}{50}$& $\frac{18}{625}$& $\frac{49}{1250}$& $\frac{32}{625}$& $\frac{81}{1250}$& $\frac{2}{25}$& $\frac{121}{1250}$& $\frac{72}{625}$& $\frac{169}{1250}$ \tabularnewline\hline
Effectif cumulés croissants & 1171 & 3283 & 5277 & 6834 & 7996 & 8850 & 9412 & 9715 & 9862 & 9945 & 9980 &9994 &9998 & 10000 \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
\end{center}

Maintenant, nous allons décider suivant une marge d'erreur fixée par l'énoncé, si nous considérons que notre pièce est équilibrée ou non. 
Pour cela, tout dépend en fait de la position de notre $d_\text{obs}^2$ dans le tableau ci-dessus. \\
Par exemple, si on se donne une marge d'erreur de $10\%$, cela signifie que l'on considère que les $10\%$ de $d^2$ 
les plus élévés obtenus par notre simulation sont marginaux. \\
Ainsi, si notre $d_\text{obs}^2$ obtenu par notre expérience en fait partie, on rejettera notre hypothèse d'équirépartition,
sinon, on ne pourra pas la rejeter (et par abus de langage, il est parfois dit qu'on la valide ou qu'on l'accepte).\\

Pour une marge d'erreur de $10\%$, on raisonne par rapport au $9^e$ décile. En effet, 
le $9^e$ décile $D_9$ est défini comme le réel tel qu'au moins $90\%$ des $d^2$ soient inférieurs ou égaux à $D_9$.
En général, l'énoncé fourni directement les quartiles, déciles, centiles ... utiles pour répondre. Mais on peut aussi nous donner le tableau
ci-dessus, construire la courbe des effectifs cumulés croissants et le retrouver graphiquement (improbable), ou encore, l'énoncé peut fournir un diagramme
à moustache.

\Cadre[Règle de décision]{
\begin{itemize}
 \item Si $d_\text{obs}^2>D_9$, alors on rejette l'hypothèse d'équirépartition pour notre pièce, avec une marge d'erreur de $10\%$.
\item Si $d_\text{obs}^2<D_9$, alors on ne peut pas rejeter l'hypothèse d'équirépartition pour notre pièce, avec une marge d'erreur de $10\%$.
 \end{itemize}
}

Ici, $D_9=0.022$. Cela signifie donc qu'au moins $\dfrac{9}{10}$ des valeurs de $d^2$ sont 
inférieures ou égales à $D_9=0.022$.

Comme $d_\text{obs}^2 <D_9$ donc on ne peut pas rejeter l'hypothèse d'équirépartition, avec une marge d'erreur de $10\%$. 

Si on nous avait donné le $95^e$ centile, on aurait effectué un test avec une marge d'erreur de $5\%$, etc.\\

Et si nous avions obtenu 32 Pile et 18 Face avec une marge d'erreur de $10\%$ ?\\

Même question avec une marge d'erreur de $1\%$ (On nous donne le $99^e$ centile : $C_{99}=\dfrac{3}{5}$)

\Rq{
Ceci paraît paradoxal, mais en fait, une marge d'erreur de $1\%$ signifie que l'on considère que seulement $1\%$ des résultats de la simulation sont marginaux.
Il est donc moins probable que notre observation tombe dans ces $1\%$ que dans $10\%$. La marge d'erreur à $1\%$ a donc tendance à valider \og trop \fg\,
d'observations comme équirépartie. Et le cas marge d'erreur à $0\%$ ?\\
A l'inverse, un modèle avec une marge d'erreur de $90\%$, on rejetterait \og trop \fg\, d'observations.\\
Certains statisticiens considèrent douteux et trop beaux pour être vrai de tels modèles.
}

\section{Exemples}

On a lancé un dé 200 fois un dé cubique et on a obtenu les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{*{7}{|c}|}
\hline
Face & 1 &2&3&4&5&6\\
\hline
Nombre de sorties de chaque face & 28&33&34&29&26&50\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

$1\,000$ simulations de 200 lancers de dé équilibré ont été réalisées sur un tableur. Pour chaque expérience, on a calculé 
$d^2=\sum_{k=1}^6 \left(f_k-\dfrac{1}{6}\right)^2$ où $f_k$ représente pour l'expérience, la fréquence observée du numéro obtenu $k$.
On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le $99^e$ centile qui vaut 0,01258 et 
le $95^e$ centile qui vaut 0,00888.\\
Peut-on accepter l'hypothèse d'un dé équilibré au seuil de $1\%$ ? $5\%$ ?
\Exoi{\hfill Bac : Dé tétraédrique}
\noindent \textbf{Partie A}

On dispose d'un d\'e en forme de t\'etra\`edre r\'egulier, poss\'edant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; 
on suppose le d\'e parfaitement \'equilibr\'e.\\
 Une partie consiste \`a effectuer deux lancers sucessifs et ind\'ependants de ce d\'e. A chaque lancer  on note la couleur de la face 
cach\'ee.
  On consid\`ere les \'ev\`enements suivants :
  
E est l'\'ev\`enement \og \`a l'issue d'une partie, les deux faces not\'ees sont vertes \fg{},
  
F est l'\'ev\`enement \og \`a l'issue d une partie, les deux faces not\'ees sont de la m\^eme couleur \fg{}.

\begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'es des \'ev\`enements E et F ainsi que la probabilit\'e de E sachant F.

\item On effectue dix parties identiques et ind\'ependantes.\\
Calculer la probabilit\'e d'obtenir au moins deux fois l'\'ev\`enement F au cours de ces dix parties 
(on en donnera une valeur approch\'ee d\'ecimale \`a $10^{-3}$  pr\`es).
\end{enumerate}
\noindent \textbf{Partie B}

On souhaite savoir	si le d\'e utilis\'e peut \^etre consid\'er\'e comme  parfaitement \'equilibr\'e.\\
Pour cela on num\'erote de 1 \`a 4  	les quatre faces de  ce d\'e, puis on lance, ce d\'e 160 fois en notant le nombre 
$n_{i}$ de fois  o\`u chaque face est cach\'ee ;  on obtient les  r\'esultats suivants :

\[\begin{array}{|l|*{4}{c|}}\hline
\text{face}~ i	&~~~1~~~&	~~~2~~~&	~~~3~~~&	~~~4~~~\\ \hline
\text{effectif}~ n_{i}	&34 & 48 &46 & 32\\ \hline
\end{array}\]
\noindent On note $f_{i}$ la fr\'equence relative \`a la face $n_{i}$ et $d_{\text{obs}}^2$ le r\'eel 
$\displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(f_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$.\\
 On simule ensuite 1\:000 fois l'exp\'erience consistant \`a tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l'ensemble 
(1 ; 2 ; 3 ; 4)	puis, pour chaque simulation, on calcule \\$d^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(F_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$, où
 $F_{i}$ est la
fr\'equence d'apparition	du nombre $i$. Le $9\textsuperscript{e}$ d\'ecile de la s\'erie statistique	 
des 1\:000 valeurs de $d^2$ est \'egal \`a \nombre{0,0098}.\\
Au vu de l'exp\'erience r\'ealis\'ee et au risque de 10\:\%, peut-on consid\'erer le d\'e comme parfaitement \'equilibr\'e ?\\
\pagebreak
\Exoi{\hfill Bac : boîte à moustache}
Les guichets d'une agence bancaire d'une petite ville sont ouverts au public cinq jours par
 semaine : les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi.

\noindent Le tableau ci-dessous donne la r\'epartition journali\`ere des 250 retraits d'argent
 liquide effectu\'es aux guichets une certaine semaine.

\begin{center} \begin{tabular}{|l |*{5}{c|}}\hline
Jour de la semaine&	~mardi~&	mercredi&	~jeudi~&	vendredi& 	~samedi~\\ \hline
Rang $i$ du jour&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
Nombre de retraits&	37&	55&	45&	53&	60\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\noindent On veut tester l'hypoth\`ese \og le nombre de retraits est ind\'ependant du jour de la semaine \fg. On
 suppose donc que le nombre des retraits journaliers est \'egal \`a 
 $\cfrac{1}{5}$ du nombre des retraits de la semaine.

\noindent On pose	$d^2_{\text{obs}} = \displaystyle\sum_{i = 1}^5 
\left(f_i - \cfrac{1}{5}\right)^2$ o\`u $f_i$ est la fr\'equence des retraits du $i$-\`eme jour.


\begin{enumerate} \item Calculer les fr\'equences des retraits pour chacun des 
cinq jours de la semaine.

\item Calculer alors la valeur de $1\:000d^2_{\text{obs}}$ 
(la multiplication par $1\:000$ permet d'obtenir un r\'esultat plus lisible).

\item En supposant qu'il y a \'equiprobabilit\'e des retraits journaliers,
 on a simul\'e $2\:000$ s\'eries de 250 retraits hebdomadaires.
\noindent  Pour chaque s\'erie, on a calcul\'e la
 valeur du $1\:000d^2_{\text{obs}}$ correspondant. On a obtenu ainsi $2\:000$
valeurs de $1\:000d^2_{\text{obs}}$.

\noindent Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en bo\^ite ci-dessous o\`u les extr\'emit\'es des \og pattes \fg\,
 correspondent respectivement au premier d\'ecile et au neuvi\`eme d\'ecile.

\begin{center}\begin{pspicture}(10,1.2)
\psline(10,0) \psframe(1.9,0)(4.2,1) \psline(2.9,0)(2.9,1)
\psline(1,0.4)(1,0.6) \psline(6,0.4)(6,0.6)
\psline(1,0.5)(1.9,0.5) \psline(4.2,0.5)(6,0.5)
\uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} 
\uput[d](4,0){4} \uput[d](5,0){5} \uput[d](6,0){6} \uput[d](7,0){7} 
\uput[d](8,0){8} \uput[d](9,0){9} \uput[d](10,0){10}
\psline(0,0)(0,-0.1) \psline(1,0)(1,-0.1) \psline(2,0)(2,-0.1) 
\psline(3,0)(3,-0.1) \psline(4,0)(4,-0.1) \psline(5,0)(5,-0.1) 
\psline(6,0)(6,-0.1) \psline(7,0)(7,-0.1) \psline(8,0)(8,-0.1) 
\psline(9,0)(9,-0.1) \psline(10,0)(10,-0.1) 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,2cm}

\noindent Lire sur le diagramme une valeur approch\'ee du neuvi\`eme d\'ecile.

\item En argumentant soigneusement la r\'eponse, dire si pour la s\'erie observ\'ee
 au d\'ebut, on peut affirmer, avec un risque d'erreur inf\'erieur \`a 10\:\%, 
 que \og le nombre de retraits est ind\'ependant du jour de la semaine \fg\, ?
 
\end{enumerate} 


\Exoi{\hfill (Bac : $\pi$)}

Les 1\:000 premières décimales de $\pi$ sont données ici par un ordinateur :
 
1415926535  8979323846  2643383279	5028841971  6939937510 
5820974944  5923078164  0628620899	\\8628034825  3421170679
8214808651  3233066470  9384460959        0582235725  3594085234
8111745 \dots
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau
suivant :
\[\begin{array}{|*{11}{c|}}\hline
	\text{Valeurs}&	0&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8 &	9\\ \hline
	\text{Occurrences}&	93&	116&	102&	102&	94& 	97 &	94& 	95&	101& 	106\\ \hline
\end{array}\]
Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d'un chiffre compris entre 0 et 9.

Pour chaque expérience, on a calculé $d^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=9} \left(f_{k} - 0,1\right)^2$ où $f_{k}$ représente, pour 
l'expérience, la fréquence observée du chiffre $k$.\\
On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile ($d_{1}$ et $d_{9}$), 
le premier et troisième quartile ($Q_{1}$ et $Q_{3}$) et la médiane (Me) :\\
$d_{1} = 0,000\:422~ ; Q_{1} = 0,000\:582~ ;~ \text{Me} = 0,000\:822~;~ Q_{3} =0,001\:136~ ;~ d_{9} =0,001\:45.$\\
En effectuant le calcul de $d_{2}$ sur la série des 1 000 premières décimales de $\pi$, on obtient :
$${\huge \Box}\quad 0,000\:456 \quad {\huge \Box}\quad 0,004\:56 \quad {\huge \Box}\quad  0,000\:314 $$
Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des décimales de $\pi$, fait l'hypothèse que la série est issue de 
tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de $10\:\%$ de rejeter cette hypothèse 
quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?
$${\huge \Box}\quad \text{Oui} \quad {\huge \Box}\quad \text{Non} \quad {\huge \Box}\quad \text{Il ne peut pas conclure.}$$




\end{document}