\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Fonctions Exponentielle}	
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}

\setcounter{NumLecon}{5}
\debutdwicky{expo_hs.eps}{Peanuts}{Charles Schulz}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Peanuts (aussi connu sous le nom de Snoopy et les Peanuts ou simplement Snoopy) est le nom d'un comic strip écrit et dessiné quotidiennement, sans interruption et sans assistance par l'Américain Charles M. Schulz (1922 - 2000) d'octobre 19501 jusqu'à sa mort, en février 2000. Il aura écrit au total 17 897 strips dont 2 506 éditions du dimanche2.
Peanuts est une série de gags qui tournent autour de deux personnages centraux, un garçon maladroit, malchanceux et déprimé, Charlie Brown et son chien, Snoopy. Le strip s'appuie sur le principe du running gag (comique de répétition) où les mêmes situations entre les personnages reviennent tout au long de la bande dessinée. De plus, chacun des personnages a ses particularités, ses obsessions et ses accessoires propres, qui resurgissent chaque fois qu'ils apparaissent.
Peanuts a donné également naissance à des dessins animés, dont plusieurs ont reçu un Emmy Award, à des pièces de théâtres et à des comédies musicales.
Le comic a été, à partir des années 1960 un succès planétaire, notamment aux États-Unis. La popularité du strip et le nombre colossal de licences pour des publicités ou produits dérivés ont fait de Charles M. Schulz une des célébrités les plus riches du monde 3.
À la mort de Schulz, le comic était publié dans plus de 2 600 journaux, dans 75 pays différents et dans 21 langues 4.}{0.3}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{5}


\Cr{Introduction de  la fonction exponentielle par la méthode d'Euler}

\begin{abstract}
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés par une fonction $f$ qui est proportionnelle à sa dérivée $f'$. (Par exemple, le phénomène de désintégration de noyaux radioactifs)\\
Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type.\\
Plus particulièrement, que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée ?\\
\Rq{Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle ! Mais cette fonction est sans intérêt. Notre objectif est d'en rechercher d'autres.}
\end{abstract}

\begin{enumerate}
\item \textit{L'importance d'une condition initiale}\\
Supposons qu'il existe une fonction $f$, non nulle, définie et dérivable sur $\R$ telle que :
$$ f'=f\text{ sur }\R$$
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda\in\R$. On pose $g=\lambda f$. Démontrer que : $$ g'=g  \text{ sur }\R$$
\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
Montrer que $f+g$ vérifie la même condition.
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$ vérifiant les conditions :
$$(P) \left\{ \begin{array}{l} y'=y \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  :
$$ c(x)=f(x)f(-x)$$
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.\\
En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
\item Démontrer que si $g$ est une fonction qui vérifie $(P)$ alors $g=f$ \footnote{On pourra considérer et dériver la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ }
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Rq{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution alors il en existe une infinité, puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1)$ s'il existe une solution à notre équation alors elle est unique.}

Dans la suite, la fonction $f$ est l'unique solution \footnote{On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe. La preuve rigoureuse de cette existence sera faite ultérieurement.} satisfaisant la condition $(P)$ i.e :

$$(P) \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$

Nous allons maintenant essayer de tracer la représentation graphique de $f$ grâce à la méthode d'Euler.
\pagebreak
\begin{enumerate}
\item[2.] \textit{Vers la représentation graphique}\\
On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, alors pour des valeurs de $h$ proche de $0$ on a :
$$ f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$$
Il s'agit d'une approximation affine de $f$, la méthode d'Euler repose sur cette approximation.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les conditions satisfaites par $f$, démontrer que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ f(a+nh)\simeq (1+h)^n f(a)$$
\item On note $(u_n)$ la suite définie, sur $\N$, par :
$$ u_n=(1+h)^n f(a)$$
Démontrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
\item Dans cette question, on suppose que $a=0$. On a donc :
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n$$
\begin{enumerate}
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\Rq{C'est cette suite $(u_n(x))$ définie par :$$ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$ que nous utiliserons pour montrer rigoureusement l'existence de la fonction exponentielle.}
\item A l'aide de la calculatrice (ou d'un tableur), tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs de $n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\\
\Rq{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. On a déjà vu que $$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!}$$
Ici voici une nouvelle définition du nombre $e$ : $$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}

\textit{Conclusion} : Cette fonction $f$ vérifiant les conditions$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$ est appelée \textbf{fontion exponentielle}. \\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. nous verrons, dans le cours, que cette fonction possède des propriétés remarquables notamment celle de transformer des \og somme \fg{} en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
\Pb{Essayer de le montrer en fixant $y\in\R$ et en considérant la fonction $g_y$ définie par :
$$g_y(x)=f(x+y)f(-x)$$
Pour cela montrer que $g_y$ est une fonction constante (égale à $f(y)$) sur $\R$. }
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}