\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Suites et r\'ecurrence}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutexo

\Exoi{2008 \hfill (5 points)\\
\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
 \end{center}
 \textbf{Partie A}
 \\
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :
\\
pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.
\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\
\\
On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{o}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux rels.}\]
\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.\\
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}
 \textbf{Partie B}
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}}

\Sol{
 \textbf{Partie A}
 \\
 \begin{enumerate}
\item  \begin{eqnarray*}
(t_n)\in (E)\Longleftrightarrow &  t_{n+1}-t_n=0,24t_{n-1}\\
\Longleftrightarrow & \lambda^{n+1}-\lambda^n=0,24\lambda^{n-1}\\
\Longleftrightarrow & \lambda^{n-1}(\lambda^2-\lambda-0,24)=0\\
\Longleftrightarrow & \lambda^2-\lambda-0,24=0\qquad \text{en effet $\lambda\neq 0\Longleftrightarrow \lambda^{n-1}\neq 0$ }
\end{eqnarray*}
\Rq{Il est bien clair que $\lambda^{n-1}\times \lambda^2=\lambda^{n-1+2}=\lambda^{n+1}$ ainsi que $\lambda^{n-1}\times \lambda=\lambda^{n-1+1}=\lambda^n$}
Les suites $(t_n)\in (E)$ vérifient donc l'équation : $$  \lambda^2-\lambda-0,24=0$$
$\Delta=1+4\times 0,24$ et donc $$ t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=1,2\qquad \text{et}\qquad t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=-0,2$$
Il y a donc deux suites $(t_n)$ qui appartiennent à l'ensemble $(E)$ : 
$$ t_n=1,2^n\qquad \text{et}\qquad t'_n=(-0,2)^n$$
\item Comme $(u_n)\in (E)$ et comme $u_0=6$ on a :
$$ \alpha+\beta=6$$
De plus comme $u_1=6,6$ on a aussi :
$$ 1,2\alpha -0,2\beta=6,6$$
Il s'agit de résoudre le système :
$$\left\{ \begin{array}{l}\alpha+\beta=6 \\ 1,2\alpha -0,2\beta=6,6  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha=6-\beta \\ 1,2(6-\beta) -0,2\beta=6,6  \end{array} \right. \Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}\alpha=6-\beta \\ -1,4\beta=6,6-7,2=-0,6\Longleftrightarrow \beta=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}  \end{array} \right.$$
$$\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha=6-\dfrac{3}{7}=\dfrac{39}{7} \\ \beta=\dfrac{3}{7}  \end{array} \right.$$
Par conséquent $$ u_n= \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$$
\item Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}1,2^n=+\infty$ et $ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}(-0,2)^n=0$ on en déduit immédiatement que :
$$ \displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=+\infty$$
\end{enumerate}}

\Sol{
 \textbf{Partie B}
 \\
 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a, pour tout $x\in\R$ :
$$ f'(x)=1,4-0,1x$$
$f'(x)>0\Longleftrightarrow 1,4>0,1x\Longleftrightarrow x<\dfrac{1,4}{0,1}=14$
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $[0;8]$.
\item Notons $\mathscr P(n)$ : $0 \leq  v_{n} < v_{n+1} \leq  8$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=0$, on a $v_0=6$ et $v_1=1,4\times v_0-0,05\times v_0^2=6,6$
et on a bien :$$ 0\leq v_0< v_1\leq 8$$
$\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. 
\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a :
$$ 0 \leq  v_{n} < v_{n+1} \leq  8$$ 
Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;8]$ on a :
$$ f(0)\leq f(v_n)<f(v_{n+1})\leq f(8)\Longleftrightarrow 0\leq v_{n+1}<v_{n+2}\leq 8$$
La propriété $\mathscr P$ est donc vraie au rang $n+1$, elle est donc héréditaire, par conséquent :
pour tout entier naturel $n$,
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
\end{itemize}
\end{enumerate} 
\item La suite $(v_n)$ est croissante et majorée d'après la question précédente, par conséquent elle est convergente. Notons $\ell $ sa limite. De plus, comme $ v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$ on obtient :
$$ \ell=1,4\ell-0,05\ell^2\Longleftrightarrow 0,05\ell^2-0,4\ell=0\Longleftrightarrow 5\ell^2 -40\ell=0\Longleftrightarrow 5\ell (\ell-8)=0$$
Deux possibilités soit, $5\ell =0\Longleftrightarrow\ell=0$, soit $\ell-8=0\Longleftrightarrow \ell=8$
Or, comme $v_0=6$ et comme la suite $(v_n)$ est croissante on a nécessairement :
$$ v_n\geq 6\qquad \forall n\in\N$$
et par passage à la limite :
$ \ell \geq 6$, par conséquent :
$$ \ell=8\Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=8 $$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{2009 \hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. 
		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. 
\\
A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manieère placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$.
\\
 On suppose que $w_{0}$ est strictement suprieur  6.\\
Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. 
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(24,15)
\psline(-6,-6)(15,15)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\Sol{\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $u_2=\dfrac{9}{2}$ et $u_3=\dfrac{27}{4}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{4}-\dfrac{6}{4}=\dfrac{21}{4}$, enfin :
$$ u_4=\dfrac{63}{8}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{63-18}{8}=\dfrac{45}{8}$$
\item Notons $\mathscr P(n)$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : pour $n=0$ on a : $ \dfrac{1}{2}u_0+3=3=u_1$ ce qui prouve la $\mathscr P$ au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. \\
D'après l'hypothèse de récurrence on a :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}u_n=u_{n+1}-3\Longleftrightarrow u_n=2u_{n+1}-6$$
On veut montrer que : $$ u_{n+2}=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+3$$
Or, on sait que :
$$  u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}= \dfrac{3}{2}u_{n+1} -\dfrac{1}{2}(2u_{n+1}-6)=\dfrac{3}{2}u_{n+1}-u_{n+1}-3=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-3$$
Par conséquent $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$, ce qui prouve que la propriété $\mathscr P$ est héréditaire et donc que :
$$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3, \qquad \forall n\in\N$$
\end{itemize}
\item Le tracé est réalisé en dernière page. On conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $6$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N$ on a :
\begin{eqnarray*}
v_{n+1}=&u_{n+1}-6 \\
=& \dfrac{1}{2}u_n+3-6\\
=&\dfrac{1}{2}u_n-3\\
=&\dfrac{1}{2}(u_n-6)\\
=& \dfrac{1}{2}v_n
\end{eqnarray*}
Ainsi la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $ \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-6$.
\item Comme $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-6$, on a :
$$ \forall n\in\N \qquad v_n=-6\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
Par conséquent on a :
$$\forall n\in\N \qquad  u_n=v_n+6=-6\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+6$$
\item Comme $0< \dfrac{1}{2}<1$ on a :
$$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\Longrightarrow  \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=0\Longrightarrow  \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=6$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Sol{
\begin{enumerate}
\item[3.] Etudions le sens de variation de la suite $(w_n)$. En observant le graphique ci-dessous on conjecture que la suite $(w_n)$ est décroissante. Montrons le par récurrence.\\
Notons $\mathscr P(n)$ : $6<w_{n+1}<w_{n}$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : $w_0>6$, dans ce cas $w_1=\dfrac{1}{2}w_0+3$ et : 
$$ w_1-w_0=-\dfrac{1}{2}w_0+3$$
Or : \begin{eqnarray*}
& w_0>6\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{1}{2}w_0<-3\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{1}{2}w_0+3<0\\
\Longleftrightarrow & w_1-w_0<0\\
\Longleftrightarrow & w_1<w_0
\end{eqnarray*}
De plus, $w_1>\dfrac{1}{2}\times 6+3=6$, donc
la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P$ soit vraie pour un certain $n$ et montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.\\
D'après l'hypothèse de récurrence on a $$6<w_{n+1}<w_{n} $$
On veut monter que : $$ w_{n+2}<w_{n+1}$$
Or : 
$$ w_{n+2}-w_{n+1}=\dfrac{1}{2}w_{n+1}+3-w_{n+1}=-\dfrac{1}{2}w_{n+1}+3$$
Or : \begin{eqnarray*}
& w_{n+1}>6\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{1}{2}w_{n+1}<-3\\
\Longleftrightarrow & -\dfrac{1}{2}w_{n+1}+3<0\\
\Longleftrightarrow & w_{n+2}-w_{n+1}<0\\
\Longleftrightarrow & w_{n+2}<w_{n+1}
\end{eqnarray*}
De plus, $w_{n+2}>\dfrac{1}{2}\times 6+3=6$, donc la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$, elle est donc héréditaire, par conséquent pour tout $n\in\N$ on a :$$6<w_{n+1}<w_{n}$$
\end{itemize}
ce qui prouve que la suite $(w_n)$ est décroissante et minorée.\\
Par conséquent la suite $(w_n)$ est convergente vers un réel $\ell$ qui vérifie (on passe à la limite dans l'expression $ w_{n+1}=\dfrac{1}{2}w_n+3$ :
$$ \ell=\dfrac{1}{2}\ell +3\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\ell = 3\Longleftrightarrow \ell = 6$$
Par conséquent $$ \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n-w_n=6-6=0$$
\end{enumerate}}
\Sol{Montrons que la suite $(u_n)$ est croissante. Comme pour $w_n$ on obtient :
 $$ u_{n+1}-u_n=-\dfrac{1}{2}u_n+3$$
 Or $-\dfrac{1}{2}x+3>0\Longleftrightarrow x<6, \qquad \forall x\in\R$
 Il faut donc montrer que $u_n<6$ pour tout $n\in\R$. Pour cela notons $\mathscr P(n) : u_n<6$
 \begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : La propriété $\mathscr P$ est trivialement vraie au rang $0$ puisque $u_0=0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que $u_n<6$ et montrons que $u_{n+1}<6$ :
\begin{eqnarray*}
& u_{n}<6\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{2}u_{n}<3\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{2}u_{n}+3<6\\
\Longleftrightarrow & u_{n+1}<6\\
\end{eqnarray*}
$\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$, $\mathscr P$ est donc héréditaire, par conséquent $(u_n)$ est une suite croissante.
\end{itemize}
Au final on a  :
\begin{enumerate}
\item $(u_n)$ est $ \nearrow$
\item $(w_n)$ est $ \searrow$
\item $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n-w_n=0$
\end{enumerate}
ce qui montre que les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ sont adjacentes.
}

\begin{center}
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\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3.5)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3.5)(0,3.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3.5)(0,3.5)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.5)(3.5,3.5)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.375,0)(5.375,5.6875)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.6875,5.6875)(5.6875,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.6875,5.6875)(5.6875,0)
\def\F{0.5 x mul 3 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](6,5.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3.5){\small $u_1$}
\uput[-90](3.5,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.75){\small $u_2$}
\uput[-90](4.75,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,5.375){\small $u_3$}
\uput[-90](5.375,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,5.6875){\small $u_4$}
\uput[-90](5.6875,0){\small $u_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{La dernière question de cette annale est une question monstre, il faut pour y répondre faire beaucoup de chose sans être guidé. De plus je trouve cet exercice extrémement mal posé, ce qui est très étonnant quand on sait que pour concevoir un examem aussi important que le BAC plusieurs inspecteurs et enseignants réfléchissent au sujet. En effet la question $2.$ n'est pas jusfitié car trouver la limite de la suite $(u_n)$ est évident dès qu'on sait que $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$. De plus la question $2. (c)$ suggère de montrer que la suite $(u_n)$ est convergente avant de déterminer sa limite (i.e de montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée) alors que déterminer sa limite montre qu'elle est convergente (et de toute façon on est obligé de déterminer sa limite). Enfin ces deux suites adjacentes ne présentent que peu d'intérêt puisqu'on sait très bien déterminer leur limite commune. }
\end{document}