\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 CORRECTION BACCALAUREAT 
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-SPECIALISTE et NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7} ou \textbf{9}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Cette correction comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Correction Bac}
\rhead{21 Juin 2011}


\Cr{CORRECTION DU BAC}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a $P(V)=0,02$, $P_V(T)=0,99$ et enfin $P_{\overline{V}}(\overline{T})=0,97$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0.02$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.01$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{ V}$}\tbput{\small $0.98$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.97$}
}
}
\end{center}
\item On a :
$$P(V\cap T)=P(V)\times P_V(T)=0,02\times 0,99=0,0198 $$
\end{enumerate}
\item On a :
$$ P(T)=P(V\cap T)+P(\overline{V}\cap T)=0,0198+0,98\times 0,03=0,0492$$
\item \begin{enumerate}
\item Calculons $P_T(V)$ :
$$ P_T(V)=\dfrac{P(T\cap V)}{P(T)}=\dfrac{0,0198}{0,0492}\simeq 0,4$$
Ainsi si le test est positif il n'y a environ que $40\%$ de chances que la personne soit contaminée.
\item Calculons $P_{\overline{T}}(\overline{V})$ :
$$ P_{\overline{T}}(\overline{V})=\dfrac{P( \overline{T}\cap \overline{V}) }{ P(\overline{T}) }=\dfrac{0,98\times 0,97}{0,02\times 0,01+0,98\times 0,97}=\dfrac{0,9506}{0,9508}=\dfrac{9506}{9508}\simeq 0,9998$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item On répète successivement et indépendemment 10 épreuves de Bernoulli, par conséquent :
$$ X\hookrightarrow B(10;0,02)$$
\item Calculons $P(X\geq 2)$ :
$$ P(X\geq 2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0,98^{10}-10\times 0,02\times 0,98^9\simeq 0,0162$$
\end{enumerate}}

\Rq{Cette exercice permettait de gagner aisément $4$ points et de prendre confiance pour la suite. De plus il ne fallait probablement pas travailler très longtemps pour en venir à bout tout en rédigeant très proprement.}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item $$z_E-z_A=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_D-z_A)\Longleftrightarrow z_E=e^{i\frac{\pi}{3}}(-i-1)+1=\left(\dfrac{1}{2}+i \dfrac{ \sqrt{3} }{2}\right)(-i-1)+1=-\dfrac{1}{2}i-\dfrac{1}{2}+\dfrac{ \sqrt{3} }{2}-i\dfrac{ \sqrt{3} }{2}+1= \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i)$$
\item \begin{eqnarray*}
& & \mid z+i\mid =\mid z-1\mid\\
& \Longleftrightarrow & \mid z-z_D\mid =\mid z-z_A\mid\\
& \Longleftrightarrow & MD =MA\\
& \Longleftrightarrow & M \text{ appartient à la médiatrice de [AD] }\\
\end{eqnarray*}
\Rq{Malheureusement la médiatrice du segment $[AD]$ est aussi la médiatrice du segment $[BC]$ compte tenu de la particularité de la figure. Autrement dit il y avait deux réponses exactes et donc une erreur dans l'énoncé$\dots$}
\item \begin{eqnarray*}
& &  \dfrac{z+i}{z+1} \text{ imaginaire pur}\\
& \Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{z+i}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\qquad \text{ou} \qquad \dfrac{z+i}{z+1}=0 \\
& \Longleftrightarrow & arg\left(\dfrac{z-z_D}{z-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\qquad \text{ou} \qquad z+i=0\\
& \Longleftrightarrow & (\overrightarrow{CM};\overrightarrow{DM})=\dfrac{\pi}{2}[\pi]\qquad \text{ou} \qquad z=-i\\
& \Longleftrightarrow & (CM)\perp (DM)\qquad \text{ou} \qquad M=D\\\\
& \Longleftrightarrow & M \text{ appartient au cercle de diamètre $[CD]$ privé du point C}\\
\end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
& &  arg(z-i)=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\
& \Longleftrightarrow & arg\left(z-z_B\right)=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\
& \Longleftrightarrow & (\vec{u};\overrightarrow{BM})=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\
& \Longleftrightarrow & M \text{ appartient à la demi-droite $]BD)$ d'origine $B$ passant par $D$ privée de $B$.}\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
}

\Rq{Sans l'erreur d'énoncé ce bac commencait fort bien pour avoir une très bonne note. Cet exercice est en effet plus dur à rédiger qu'à résoudre, mais il ne fallait pas rédiger$\dots$ Notons tout de même qu'une mauvaise réponse n'enlevait aucun point, par conséquent l'élève n'ayant pas répondu à toutes les questions est étrange$\dots$}
\pagebreak


\Exoi{\hfill (7 points)\\
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $f_1(x)=xe^{-x}$.\\
On a :
$$ \Lim{-\infty} xe^{-x}=-\Lim{+\infty}xe^{x}=-\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty} xe^{-x}=0$$
\item $f_1'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$.\\
$f_1'$ est du signe de $1-x$ puisque l'exponentielle est strictement positive donc :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f_1'}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f_1}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{e^{-1}}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item Dans le cas contraire $k=1$ et dans ce cas on devrait observé la courbe d'une fonction strictement croissante sur $]-\infty;1]$, ce qui n'est clairement pas le cas. Ainsi $k\geq 2$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a $f_n(0)=0$ donc $O\in \mathscr C_n$.\\
De plus $f_n(1)=e^{-1}$ donc $P(1;e^{-1})\in \mathscr C_n$.
\item $f_n'(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=x^{n-1}e^{-x}(n-x)$
\end{enumerate}
\item $f_3'(x)=x^2e^{-x}(3-x)$. Or, $x^2e^{-x}\geq 0$, d'où le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1,  Signe\\de $3-x$/2, Signe\\de $f'_3$/2, Variation\\ de $f_3$/2} {$-\infty$  , $3$,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,0,-}%
    \tkzTabLine {,+\qquad \quad 0\quad \qquad +,0,-}%
  \tkzTabVar {-/  , +/$27e^{-3}$, -/ }
 \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.5} {$0$} {$0$}
    %\tkzTabVal[draw] {1}{1} {0.5} {$0$} {$0$}
  %\tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 $f_3$ est donc strictement croissante sur $]-\infty; 3]$ et strictement décroissante sur $[3;+\infty[$, $f_3$ admet donc un maximum pour $x=3$ qui est $27e^{-3}$
\item \begin{enumerate}
\item $T_k$ a pour équation :
$$ y=f_k'(1)(x-1)+f_k(1)=(k-1)e^{-1}(x-1)+e^{-1}$$
De plus pour $y=0$ on trouve :
$$ (k-1)e^{-1}(x-1)+e^{-1}=0\Longleftrightarrow (k-1)(x-1)+1=0\Longleftrightarrow x(k-1)-k+1+1=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{k-2}{k-1}$$
Ainsi $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{k-2}{k-1};0\right)$.
\item D'après l'énoncé on sait que $\dfrac{k-2}{k-1}=\dfrac{4}{5}\Longleftrightarrow 4k-4=5k-10\Longleftrightarrow k=6$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item En utilisant l'intégration par parties on a :
$$I_1=\int_0^1 xe^{-x}dx=[-xe^{-x}]_0^1+\int_0^1 e^{-x} dx=-e^{-1}+[-e^{-x}]_0^1=-e^{-1}-e^{-1}+1=1-\dfrac{2}{e}$$
\item \begin{enumerate}
\item $I_n$ représente l'aire sous la courbe $\mathscr C_n$ entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ (effectivement on sait que $f_n(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$, du moins c'est une évidence). Une rapide observation du graphique permet de conjecturer que la suite $(I_n)$ est décroissante, voire strictement décroissante.
\item  Pour tout $n\in \N^*$ on a :
\begin{eqnarray*}
 & & 0<x<1\\
 & \Longleftrightarrow & 0<x^{n+1}<x^n \\
 & \Longleftrightarrow & 0<x^{n+1} e^{-x}< x^n e^{-x}\\
 &\Longleftrightarrow & 0< \int_0^1 x^{n+1} e^{-x} dx <\int_0^1  x^n e^{-x} dx\\
 &\Longleftrightarrow & 0< I_{n+1} <I_n\\
\end{eqnarray*}
Ainsi la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
\item $x \in [0;1] \Longleftrightarrow 0\leq x\leq 1\Longrightarrow 0\leq x^n \leq 1 $.\\
De plus si $x\in [0;1]$ alors $e^0\leq e^x \leq e^1\Longleftrightarrow 1\leq e^x\leq e\Longleftrightarrow \dfrac{1}{e}\leq e^{-x}\leq 1$.\\
Au final on a donc $0\leq x^ne^{-x}\leq 1\Longrightarrow 0\leq  \int_0^1 x^ne^{-x}dx \leq \int_0^1 1dx\Longrightarrow0\leq  I_n\leq 1$, $\forall n\in\N$.\\
On vient de montrer que la suite $(I_n)$ est minorée par $0$ (et au passage majorée par $1$), sachant d'après la question précédente que $(I_n)$ est suite décroissante, on en déduit qu'elle est convergente.
\item 
\textbf{Première méthode} : \\
A l'aide d'une intégration par parties, exprimons $I_{n+1}$ en fontion de $I_n$ :
$$ I_{n+1}=\int_0^1 x^{n+1}e^{-x} dx=[-x^{n+1}e^{-x}]_0^1+\int_0^1 (n+1) x^n e^{-x} dx=-e^{-1}+(n+1)I_n\Longleftrightarrow I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)I_n$$
Au final on obtient :
$$ \dfrac{I_{n+1}}{n+1}=-\dfrac{1}{e(n+1)}+I_n$$
En notant $\ell=\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=\lim\limits_{n\to +\infty} I_{n+1}$ et en passant à la limite membre à membre ($\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$) on a :
$$ 0=\ell$$
\textbf{Deuxième méthode} : \\
On sait que :
$$ \dfrac{1}{e}\leq e^{-x}\leq 1\Longleftrightarrow \dfrac{x^n}{e}\leq x^ne^{-x}\leq x^n\Longleftrightarrow \dfrac{1}{e}\int_0^1 x^n dx\leq I_n\leq \int_0^1 x^n dx$$
Or, $ \int_0^1 x^n dx=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{e(n+1)}$. Ainsi d'après le théorème des gendarmes on peut conclure que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\
\textbf{Partie A-Restitution organisée de connaissances} 
\begin{enumerate}
\item Supposons que $a$ divise $bc$ et que $a$ et $b$ ont premiers entre eux, dans ce cas d'après le théorème de Bezout, il existe un couple $(u;v)$ d'entiers relatifs tels que :
$$ au+bv=1$$
Comme $a$ divise $bc$, il existe un entier $k$ tel que $$ak=bc \Longrightarrow avk=bvc\Longrightarrow avk=(1-au)c\Longrightarrow a(vk+cu)=c\Longrightarrow a \text{ divise } c$$
\item On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux, puis que $p$ divise $a$ et $q$ divise $a$. On souhaite montrer que $pq$ divise $a$.\\
$p$ divise $a$ alors il existe $k$ entier tel que $a=pk$.\\
$q$ divise $a$ alors il existe $k'$ entier tel que $a=qk'$. Et donc $pk=qk'$. Ainsi $p$ divise $qk'$ mais $p$ et $q$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss $p$ divise $k'$ i.e il existe un entier $k''$ tel que $pk''=k'$. Au final :
$$ a=qk'=qpk''\Longrightarrow a\equiv 0 [pq] $$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $17$ et $5$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bezout il existe un couple d'entiers relatifs $(u,v)$ tel que :
$$ 17u+5v=1$$
\item $$n_0-9=3\times 17 u +9\times 5v-9=3\times 17u +9(5v-1)=3\times 17u-9\times 17u=17(3u-9u)=-17\times 6u\Longrightarrow n_0\equiv 9[17]$$
De même 
$$ n_0-3=3\times 17 u +9\times 5v-3=3(17u-1)+9\times 5v=-3\times 5v+9\times 5v=6\times 5v\Longrightarrow n_0\equiv 3[5]$$
Donc $n_0\in \mathscr S$.
\item Donner un exemple d'entier $n_0$ dans $\mathscr S$ revient à trouver un exemple de couples d'entiers $(u,v)$ vérifiant $17u+5v=1$.\\
On a $ 17=5\times 3+2\Longleftrightarrow 17-5\times 3=2$ et $5=2\times 2+1$.
\\ Par conséquent $ 1=5-2\times 2\Longleftrightarrow 1=5-2(17-5\times 3)\Longleftrightarrow 1=5\times 7-2\times 17$.
\\
Ainsi $n_0=3\times 17\times (-2)+9\times 5\times 7=-102+315=213\in \mathscr S$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a $n\equiv 9[17]$ et $n_0\equiv 9[17]$ donc $n-n_0\equiv 0[17]$. \\
De même $n-n_0\equiv 0[5]$, donc d'après le $2.$ de la partie $A$ on a $$ n-n_0\equiv 0[85]$$
\item \underline{Note} : $43\in \mathscr S$, en effet $43-9=2\times 17$ et $43-3=8\times 5$.\\
Si $n\in \mathscr S$ alors $ n-n_0\equiv 0[85]$ donc pour $n_0=43$ il existe un entier $k$ tel que :
$$n=85k+43 $$
Réciproquement si $n=43+85k$ alors $n-9=34+85k=17(2+5k)$ donc $n\equiv 9[17]$.\\
De même $n-3=40+85k=5(8+17k)$ donc $n\equiv 3[5]$ et donc $n\in \mathscr S$.\\
Ainsi $$n\in \mathscr S\Longleftrightarrow \exists k \in \Z \text{ tel que } n=43+85k$$ 
\end{enumerate}
\item Si on note $n$ le nombre de jetons de Zoe alors $n\equiv 9[17]$ et $n\equiv 3[5]$ donc $n\in \mathscr S$. \\
De plus on sait que $300\leq n\leq 400$.\\
D'après la question précédente on obtient pour $k=0$, $n=43$. Pour $k=3$, $n=298$. Pour $k=4$, $n=383$ et pour $k=5$, $n>400$. La seule possibilité est donc $n=383$. \\
Zoe a donc $383$ jetons. 
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\setcounter{Exi}{3}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\
\textbf{Partie A-Restitution organisée de connaissances} 
\begin{enumerate}
\item   $\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}= \mid \mid \vec{n}\mid \mid \times \mid \mid \overrightarrow{M_0H}\mid \mid \cos\left(\vec{n}; \overrightarrow{M_0H}\right)$. Or, $\mid \cos\left(\vec{n}; \overrightarrow{M_0H}\right)\mid =1$ (en effet $\vec{n}$ et $\overrightarrow{M_0H}$ sont colinéaires). D'où, comme $\mid \mid \vec n\mid \mid = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ :
$$ \mid \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}\mid =M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
\item $\overrightarrow{M_0H}(x_H-x_0;y_H-y_0;z_H-z_0)$ donc :
$$ \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}=a(x_H-x_0)+b(y_H-y_0)+c(z_H-z_0)=ax_H+by_H+cz_H-ax_0-by_0-cz_0$$
On sait que $H\in\mathscr P$ donc $ax_H+by_H+cz_H+d=0\Longleftrightarrow ax_H+by_H+cz_H=-d$, d'où :
$$  \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d$$
\item On a donc $  \mid \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}\mid =M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}\Longleftrightarrow M_0H=\dfrac{\mid \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.\\
Ainsi :
$$ d(M_0, \mathscr P)=\dfrac{\mid-ax_0-by_0-cz_0-d\mid  }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid  }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}(-7;1;-5)$ et $\overrightarrow{AC}(-3;2;1)$ ont des coordonnées non proportionnelles, par conséquent les vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, ce qui prouve qu'ils définissent un plan. Vérifions alors que les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ vérifient l'équation  du plan $\mathscr P : x+2y-z-1=0$.
$$  \left. \begin{array}{r} 4+2-5-1=1-1=0\Longrightarrow A\in \mathscr P\\ -3+4-0-1=0\Longrightarrow B\in \mathscr P\\ 1+6-6-1=0\Longrightarrow C \in \mathscr P\end{array} \right\}\qquad \Longrightarrow (ABC)=\mathscr P$$
\item $$ d(F;\mathscr P)=\dfrac{\mid -7+0-4-1\mid }{\sqrt{1+4+1}}=\dfrac{12}{ \sqrt{6}}=\dfrac{12\sqrt{6} }{6}=2\sqrt{6}$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $\Delta \perp \mathscr P$ donc $\vec{n}$ dirige $\Delta$, ainsi une équation paramétrique de $\Delta$ est :
$$   \left\{ \begin{array}{l} x= t-7\\ y=2t\\ z=-t+4  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
\item Comme $\Delta\perp \mathscr P\Longrightarrow H=\Delta \cap \mathscr P$, les coordonnées de $H$ vérifient simultanément les équations de $\Delta$ et  $\mathscr P$.
$$ t-7+4t+t-4-1=0\Longleftrightarrow 6t=12\Longleftrightarrow t=2\Longrightarrow H\left(2-7;4;-2+4\right)\Longleftrightarrow H(-5:4;2)$$
\item On a $$ d(F;\mathscr P)=FH=\sqrt{(-5+7)^2+(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=\sqrt{4\times 6}=2\sqrt{6}$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $$ BF=\sqrt{(-7+3)^2+(0-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6\Longleftrightarrow B \in \mathscr S$$
\item On a $d(F;\mathscr P)<6$ donc la sphère $\mathscr S$ coupe $\mathscr P$ et l'intersection est un cercle de centre $H$ et de rayon $HB$ en vertu de la question précédente i.e de rayon $$ r=HB=\sqrt{(-3+5)^2+(2-4)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}











\end{document}