\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2011}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-SPECIALISTE et NON SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{7} ou \textbf{9}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développé. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\fancypagestyle{styleLyc}{%
\fancyhf{} 
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Bac}
\rhead{21 Juin 2011}


\Cr{BACCALAUREAT GENERAL - SCIENTIFIQUE}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\textit{Les deux parties $A$ et $B$ peuvent être traitées indépendamment.}\\
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.\\
Dans un pays, il y a $2\%$ de la population contaminée par un virus.
\\
\textbf{Partie A}\\
On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (sépcificité du test).
\end{itemize}
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.\\
On note $V$ l'événement \og la personne est contaminée par le virus \fg et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.\\
$ \overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les événements contraires de $V$ et de $T$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V)$, $P_V(T)$ et $P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
\\Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\item En déduire la probabilité de l'événement $V\cap T$
\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $0,0492$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier par un calcul la phrase : 
\\
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ $40\%$ de \og chances \fg que la personne soit contaminée \fg.
\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\textbf{Partie B}
\\
On choisit successivement $10$ personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces $10$ personnes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les $10$.
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (4 points)\\
\textit{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte\footnote{Le sujet comporte une erreur : il y a deux réponses exactes pour l'une des questions.}. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse en cas de réponse fausse.}\\
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $z_A=1$, $z_B=i$, $z_C=-i$ et $z_D=-i$.
\begin{enumerate}
\item L'image $E$ du point $D$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe :
 \begin{multicols}{4}
\begin{itemize}
\item $z_E=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)$
\item $z_E=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}(1-i)$
\item $z_E=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}(1-i)$
\item $z_E=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}(1+i)$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\mid z+i\mid =\mid z-1\mid$ est :
\begin{itemize}
\item La médiatrice du segment $[BC]$.
\item Le milieu du segment $[BC]$.
\item Le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
\item La médiatrice du segment $[AD]$.
\end{itemize}
\item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z+i}{z+1}$ soit un imaginaire pur est :
\begin{itemize}
\item La droite $(CD)$ privée du point $C$.
\item Le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$.
\item Le cercle de diamètre $[BD]$ privé du point $C$.
\item La médiatrice du segment $[AB]$.
\end{itemize}
\item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $arg(z-i)=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ où $k\in\Z$ est :
\begin{itemize}
\item Le demi-cercle de diamètre $[BD]$ passant par $A$.
\item La droite $(BD)$.
\item La demi-droite $]BD)$ d'origine $B$ passant par $D$ privée de $B$.
\item Le cercle de diamètre $[BD]$ privée de $B$ et $D$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (7 points)\\
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f_n(x)=x^ne^{-x}$$
On note $\mathscr C_n$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\vec i,\vec j)$ du plan.
\\
\textbf{Partie A}\\
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe $\mathscr C_k$ où $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_k$ au point d'abscisse $1$ et la courbe $\mathscr C_3$.\\
La droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point $A$ de coordonnées $\left(\dfrac{4}{5};0\right)$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-2.1)(5.1,3.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-2.1)(5.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{5}{\F}
\def\G{x 6 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{1.8394 x 1 sub mul 0.367879 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\H}
 \uput[ur](-0.85,-1.5){$\mathscr C_3$}
 \uput[ur](0.85,1.5){$\mathscr C_k$}
 \uput[ur](2,2){$T_k$}
\psdot(0.8,0) \uput[ur](0.8,-0.5){$A$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\item Etudier les variations de la fonction $f_1$ et dresser le tableau de variations de $f_1$.
\item A l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier supérieur ou égal à $2$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour $n\geq 1$, toutes les courbes $\mathscr C_n$ passent par le point $O$ et un autre point dont on donnera les coordonnées.
\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, et pour tout réel $x$ :
$$ f'_n(x)=x^{n-1}(n-x}e^{-x}$$
\end{enumerate}
\item Sur le graphique, la fonction $f_3$ semble admettre un maximum atteint pour $x=3$.\\
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $T_k$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left( \dfrac{k-2}{k-1};0\right)$.
\item En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier $k$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie $B$}\\
On désigne par $(I_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ par :
$$ I_n=\int_0^1 x^ne^{-x} dx.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$.
\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathscr C_1$, $\mathscr C_2$, $\mathscr C_3$, $\mathscr C_{10}$, $\mathscr C_{20}$ et $\mathscr C_{30}$ comprises dans la bande définie par $0\leq x \leq 1$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=9cm , yunit=9cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
\def\xmin{-0.2} \def\xmax{1.2} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{0.6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.3,-0.3)(1.3,0.7)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{x 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\G}
\def\H{x 2 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\H}
\def\I{x 10 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\I}
\def\J{x 20 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\J}
\def\K{x 30 exp 0 x sub EXP mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\K}
\uput[ur](0.1,0.17){$\mathscr C_1$}
\uput[ur](0.3,0.1){$\mathscr C_2$}
\uput[ur](0.52,0.1){$\mathscr C_3$}
\uput[ur](0.79,0.1){$\mathscr C_{10}$}
\uput[ur](0.85,0.05){$\mathscr C_{20}$}
\uput[ur](0.92,0.0){$\mathscr C_{30}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_n)$ en décrivant sa démarche.
\item Démontrer cette conjecture.
\item En déduire que la suite $(I_n)$ converge.
\item Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\
\textbf{Partie A-Restitution organisée de connaissances} 
On rappelle ci-dessous le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
\Thc{Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+bv=1$.}
\Thc{Soient $a$, $b$ et $c$ des entiers relatifs.\\
Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux alors $a$ divise $c$.}
\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. \\
Déduire du théorème de Gauss que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a\equiv 0[p]$ et $a\equiv 0[q]$ alors $a\equiv 0[pq]$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\
On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr S$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système :
$$   \left\{ \begin{array}{l} n\equiv 9[17] \\ n\equiv 3[5]  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Recherche d'un élément de $\mathscr S$.\\
On désigne par $(u,v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u+5v=1$.
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence d'un tel couple $(u,v)$.
\item On pose $n_0=3\times 17u+9\times 5v$.\\
Démontrer que $n_0$ appartient à $\mathscr S$.
\item Donner un exemple d'entier $n_0$ appartenant à $\mathscr S$.
\end{enumerate}
\item Caractérisation des éléments de $\mathscr S$.
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathscr S$.
\\
Démontrer que $n-n_0\equiv 0[85]$.
\item En déduire qu'un entier relatif $n$ appartenant à $\mathscr S$ si et seulement si $n$ peut s'écrire sous la forme $n=43+85k$ où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
\item Application\\
Zoé sait qu'elle a entre $300$ et $400$ jetons. Si elle fait des tas de $17$ jetons, il lui en reste $9$. Si elle fait des tas de $5$ jetons, il lui en reste $3$.\\
Combien a-t-elle de jetons ?
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\setcounter{Exi}{3}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
\textbf{Partie A-Restitution organisée de connaissances} 
\\
On désigne par $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ et par $M_0$ le point de coordonnées $(x_0;y_0;z_0)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_0$ sur le plan $\mathscr P$.
\\
\textit{On suppose connue la propriété suivante} :
\Ptec{Le vecteur $\vec{n}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr P$.}
Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d(M_0;\mathscr P)$ du point $M_0$ au pla	n $\mathscr P$, c'est-à-dire la distance $M_0H$, est telle que :
$$ d(M_0;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\mid \vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}\mid =M_0H\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
\item Démontrer que $\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_0H}=-ax_0-by_0-cz_0-d$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\textbf{Partie $B$}\\
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $F$ les points de coordonnées respectives $(4;1;5)$, $(-3;2;0)$, $(1;3;6)$ et $(-7;0;4)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $\mathscr P$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x+2y-z-1=0$.
\item Déterminer la distance $d$ du point $F$ au plan $\mathscr P$.
\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de calculer la distance $d$ par une autre méthode.\\
On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point $F$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
\item Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $\mathscr P$.
\item Retrouver le résultat de la question $1.(b)$.
\end{enumerate}
\item Soit $\mathscr S$ la sphère centre $F$ et de rayon $6$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que le point $B$ appartient à la sphère $\mathscr S$.
\item Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathscr C$, intersection de la sphère $\mathscr S$ et du plan $\mathscr P$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\end{document}