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%Tapuscrit : David Zancanaro
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%Macro Tableau par R�mi Deniaud
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\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\hfil}m{0.8cm}<{\hfil}||m{6.2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
	\hline
	\addtocounter{Denis}{1}\theDenis & \hypertarget{#7}{}\hyperlink{#1}{#2} & #3 & #4 & #5 & #6 \\ \hline
\end{tabularx}}%
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\rhead{\textbf{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}}
\lhead{\small Baccalaur\'eat S}
\lfoot{\small{Exercices sur les  suites}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalaur\'eat S  Suite \decofourright }} \end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%�

\section{M\'etropole Juin 2010}

\textsl{Cet exercice constitue une restitution organis\'ee de connaissances.}

\textbf{Partie A : question de cours}

\medskip

On suppose connus les r\'esultats suivants : 

(1) deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est d\'ecroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ; 

(2) si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est d\'ecroissante, alors pour tout $n$ appartenant  \’a $\N$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$ ; 

(3) toute suite croissante et major\'ee est convergente ; toute suite d\'ecroissante et minor\'ee est convergente.

D\'emontrer alors la proposition suivante :

\begin{center} \og Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la m\^eme limite \fg.\end{center}

\textbf{Partie B}

\medskip

On consid\’e re une suite $\left(u_{n}\right)$, d\'efinie sur $\N$ dont aucun terme n'est nul. On d\'efinit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{- 2}{u_{n}}$.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d\'emonstration pour la r\'eponse indiqu\'ee. Dans le cas d'une proposition fausse, la d\'emonstration consistera  \’a fournir un contre exemple. Une r\'eponse non d\'emontr\'ee ne rapporte aucun point.

\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est minor\'ee par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minor\'ee par $-1$.
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers z\'ero.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Pondich\'ery Juin 2009}


\parbox{0.45\linewidth}{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par: 
\[f(x) = x\text{e}^{-x^2}.\] 

On d\'esigne par $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\’ere orthonormal \Oij{} du plan. Cette courbe est repr\'esent\'ee ci-contre.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.4)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(2.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt](0,0)(-0.25,-0.4)(2.25,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](0,0.9){1}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{2.25}{x 2.71828 x dup mul exp div}
\end{pspicture*}}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  D\'eterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		 
(On pourra \'ecrire, pour $x$ diff\'erent de 0 : $f(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$).
		\item D\'emontrer que $f$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et calculer ce maximum.  
	\end{enumerate}
\item Soit $a$ un nombre r\'eel positif ou nul. Exprimer en unit\'es d'aire et en fonction de $a$, l'aire $F(a)$ de la  partie du plan limit\'ee par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations respectives $x = 0$ et $x = a$.

 Quelle est la limite de $F(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

On consid\’ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n} = \int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x.\] 
On ne cherchera pas \’a expliciter $u_{n}$. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  D\'emontrer que, pour tout entier naturel $n$ diff\'erent de 0 et de 1 
		\[ f(n+1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n).\] 
		\item  Quel est le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 2}$ ? 
		\item  Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. Quelle est sa limite ?  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  V\'erifier que, pour tout entier naturel strictement positif $n,$
		$$ F(n ) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}  u_{k}$$  
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, m\^eme incompl\’ete, ou d'initiative m\^eme non fructueuse, sera prise en compte dans l'\'evaluation.}
		
\medskip
		 
On donne ci-dessous les valeurs de $F(n)$ obtenues \’a l'aide d'un tableur, pour $n$ entier compris entre 3 et 7.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{X|}l|l|l|} \hline
$n$&3&4&5&6&7\\ \hline
$F(n)$&\nombre{0,4999382951}& \nombre{0,4999999437}&0,5&0,5&0,5\\ \hline
\end{tabularx}

Interpr\'eter ces r\'esultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\section{La r\'eunion juin 2007}

Soit $a$ un nombre r\'eel tel que $-1 < a  < 0$.\\
 On consid\`ere la suite $u$ d\'efinie par $u_{0} = a$, et pour tout entier naturel $n,~\\ u_{n+1} = u_{n}^2 + u_{n}$.

\begin{enumerate}
\item  \'Etudier la monotonie de la suite $u$.

\item  \begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x) = x^2 +x$. \\\'Etudier le sens de variations de la fonction $h$.\\
En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant \`a l'intervalle $]-1~;~0[$, le nombre $h(x)$ appartient aussi \`a l'intervalle $]-1~;~0[$.
\item  D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $-1< u_{n} < 0$.
\end{enumerate}
\item  \'Etudier la convergence de la suite $u$. D\'eterminer, si elle existe, sa limite.
 \end{enumerate}


\section{M\'etropole Juin 2007}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :

\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
La courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de $f$ est donn\'ee sur le document annexe que l'on compl\`etera et que l'on rendra avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie A : \'Etude de certaines propri\'et\'es de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction d\'eriv\'ee de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$.

V\'erifier que l'on d\'efinit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$.

Calculer $N(0)$. En d\'eduire les variations de $f$.
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'\'equation $y = x$.
Calculer les coordonn\'ees du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
 
 \medskip
 
\textbf{Partie B : \'Etude d'une suite r\'ecurrente d\'efinie \`a partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que si $x \in [0~;~4]$, alors $f(x) \in [0~;~ 4]$.
\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :

\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 ~\text{et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N.\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
		\item D\'emontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a :  $u_{n} \in [0~;~ 4]$.
		\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item D\'emontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On d\'esigne par $\ell$ sa limite.
		\item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](-2,-1)(6,5)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
\section{Asie Juin 2008}

On consid\`ere plusieurs sacs de billes $S_1$, $S_2$, $\dots$, $S_n$, $\dots$ tels que :
\begin{itemize}
\item le premier, $S_1$, contient $3$ billes jaunes et $2$ vertes ;
\item chacun des suivants, $S_2$, $S_3$, $\dots$, $S_n$, $\dots$ contient $2$ billes jaunes et $2$ vertes.
\end{itemize}
Le but de cet exercice est d'\'etudier l'\'evolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectu\'es de la mani\`ere suivant :
\begin{itemize}
\item on tire au hasard une bille dans $S_1$ ;
\item on place la bille tir\'ee de $S_1$ dans $S_2$, puis on tire au hasard une bille dans $S_2$ ;
\item on place la bille tir\'ee de $S_2$ dans $S_3$, puis on tire au hasard une bille dans $S_3$ ;
\item ect.
\end{itemize}
Pour tout entier $n\geq 1$, on note $E_n$ l'\'ev\'enement : \og la bille tir\'ee dans $S_n$ est verte \fg et on note $p(E_n)$ sa probabilit\'e.
\begin{enumerate}
\item Mise en \'evidence d'une relation de r\'ecurrence
\begin{enumerate}
\item D'apr\`es l'\'enonc\'e, donner les valeurs $p(E_1)$, $p_{E_1}(E_2)$, $p_{\overline{E_1}}(E_2)$.\\
En d\'eduire la valeur de $p(E_2)$.
\item A l'aide d'un arbre pond\'er\'e, exprimer $p(E_{n+1})$ en fonction de $p(E_n)$.
\end{enumerate}
\item Etude d'une suite\\
On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_1=\dfrac{2}{5} \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{5} u_n +\dfrac{2}{5}  \qquad \forall n\geq 1\end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la suite $(u_n)$ est major\'ee par $\dfrac{1}{2}$.
\item D\'emontrer que $(u_n)$ est croissante.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente puis pr\'eciser sa limite.
\end{enumerate}
\item A l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents, d\'eterminer l'\'evolution des probabilit\'es $p(E_n)$.
\item Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on : $0,49999\leq p(E_n)\leq 0,5$ ?
\end{enumerate}
\end{document}
