\documentclass[a4paper,9pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Les nombres, \'equations et in\'equations}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutexo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\Exoi{
Soit $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent un entier pair :
 \begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
\item $2n$
\item $2n+1$
\item $4n$
\item $4n+2$
\item $4n+3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent un entier impair :
 \begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
\item $2n$
\item $2n+1$
\item $4n$
\item $4n+2$
\item $4n+3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Quels sont tous les entiers (naturels) qui peuvent s'écrire comme somme de
deux entiers consécutifs ? 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Peut-on trouver trois entiers consécutifs dont la somme est 924 ? 455 ? 
\item Quels sont tous les nombres qui peuvent s'écrire comme somme de trois entiers 
consécutifs ? 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Peut-on trouver quatre entiers consécutifs dont la somme est 444 ? 446 ? 
\item Quels sont tous les nombres qui peuvent s'écrire comme somme de quatre entiers 
consécutifs ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Démontrer que les nombres suivants sont des entiers :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{\sqrt{722} }{\sqrt{2} }$
\item $ \dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}$
\item $ \dfrac{3^{10}}{243}$
\item $ \dfrac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }-2 \sqrt{2} $
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$.\footnote{On rappelle qu'un nombre entier $p>1$ est premier si et seulement il est divisible seulement par $1$ et par lui-même}
\\On pose : $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad a=\dfrac{p+1}{2}\qquad \text{et}\qquad b=\dfrac{p-1}{2}$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $a$ et $b$ sont des entiers.
\item Calculer $a^2-b^2$ en fonction de $p$.
\item Démontrer que tout nombre premier $p\geq 3$ peut s'écrire comme la différence de deux entiers.
\item Application : donner cette différence pour $p=29$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Résoudre les équations suivantes et dire à quels ensembles de nombres appartiennent leurs solutions :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ (3x-2)(2x+1)=x(6x-2)$
\item $\left(\sqrt{8}x-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{12}x+\sqrt{3}\right)=0$
\item $ax+b=0 $ sachant que $a\in\Z^*$ et $b\in\Z$
\item $x^2-\pi x=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exoi{
Que penser des affirmations suivantes ? \textit{Justifier} à l'aide d'expressions algébriques.
\begin{itemize}
 \item Pour doubler l'aire d'un carré, il suffit de doubler la longueur du côté.
 \item Si l'on augmente le côté d'un carré de $3$ cm, son aire sera augmentée de $9$ cm$^2$.
 \item $ABCD$ est un carré. Si l'on réduit $AB$ de 1cm et qu'on allonge $BC$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu sera égale à celle du carré de départ.
 \item $NOUK$ est un carré. Si l'on réduit le côté $NO$ de 1cm et qu'on allonge $OU$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu aura diminué de 1 cm$^2$ par rapport à celle du carré de départ. 
\end{itemize}
}



\Exoi{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer sans calculatrice : $1\,000^2-999^2 \quad ; \quad 1\,001^2-1\,000^2 \quad ; \quad 1\,002^2-1\,001^2 $
 \item Que peut-on conjecturer à partir de ces trois résultats ?
       \end{enumerate}
\item Pour tout entier positif $n$, montrer que $(n+1)^2-n^2=2n+1$
\item En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés consécutifs.
\item Ecrire 199 comme différence de deux carrés.
\end{enumerate}
}

\Exoi{
Le but de cet exercice est de montrer grâce aux équations que $0,999\,999\,\dots = 1 $ !
\begin{enumerate}
 \item On considère le nombre rationnel $A=\dfrac{19}{11}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner le développement décimal de $A$ avec 8 chiffres significatifs (précision à $10^{-8}$).
 \item $A$ semble-t-il décimal ?
\item On dit que $A$ a une écriture périodique. Préciser sa période 
(nombre entier qui se répète à l'infini dans le développement décimal du nombre).
\end{enumerate}
\item On considère le nombre $x=0,131313\dots$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $100x=13+x$
 \item En déduire la valeur de $x$ et sa nature.
\end{enumerate}
\item Par le même raisonnement, déterminer l'écriture fractionnaire du nombre $y$ dont le développement périodique est 
$y=0,173173173 \dots$ avec pour période 173 (on note ce genre de nombre ainsi $y=0,\underline{173}$).
\item En remarquant que le nombre $a=3,\underline{40}$ peut s'écrire $3+0,\underline{40}$, montrer que $a=\dfrac{337}{99}$.\\
\textit{Il est démontré que, contrairement au nombre irrationnels (tel $\pi$ ou $\sqrt{2}$),
tout nombre rationnel admet un développement périodique.}
\item Montrer  par le même raisonnement que $0,\underline{9}=1$
\end{enumerate}
\textit{Ce dernier résultat n'est pas une erreur : la notation $0,\underline{9}$ est une autre écriture de $1$ !}
}

\Exoi{
R\'esoudre l'in\'equation $x-4>2$. Repr\'esenter l'ensemble des solutions sur une droite gradu\'ee.
}

\Exoi{
Soient $x$ et $y$ tels que $1\leq x\leq 4$ et $1\leq y < 2$. Encadrer $x+y$. Repr\'esenter cet ensemble sur une droite gradu\'ee.
}

\Exoi{Soient $x$ et $y$ deux réels.
\begin{enumerate}
 \item On considère l'algorithme suivant :
\begin{itemize}
 \item Entrée : Saisir $x$ et $y$
 \item Traitement :
\begin{itemize}
 \item $a$ prend la valeur $(x+y)^2$
 \item $b$ prend la valeur $(x^2+y^2)$
\end{itemize}
\item Sortie : Afficher $a-b$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Qu'affiche l'algorithme pour $x=3$ et $y=4$ ? $x=3$ et $x=-4$ ? $x=-3$ et $y=-4$ ?
 \item Conjecturer le signe $a-b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
 \item En déduire la comparaison de $a$ et $b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
\end{enumerate}
\item Développer et réduire $(x+y)^2-(x^2+y^2)$
\item En déduire la comparaison du carré de la somme de deux réels avec la somme de leurs carrés
\end{enumerate}
}

\Exoi{Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{4-3x}{2x-1}<0$
\item $ (5x-7)(2x-6)\geq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\end{document}