\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : G\'enéralités sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{G\'en\'eralit\'es sur \linebreak[2] les fonctions}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{4}

\debutdwicky{hs.eps}{Krazy Kat}{George Herriman}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Krazy Kat est un comic strip américain créé par George Herriman et publié dans les journaux du pays, en semaine et le week-end, entre 1913 et 1944. La première publication se fit dans le New York Evening Journal de William Randolph Hearst. La série mêle surréalisme, poésie insouciance enjouée, ce qui en a fait l'une des BD préférées des passionnés et des critiques depuis plus de 80 ans.
Les strips sont centrés sur une relation triangulaire entre son personnage éponyme, un chat innocent et désinvolte de sexe indéterminé (mais le plus souvent considéré comme une femelle), son antagoniste Ignatz Mouse, et le sergent Pupp (Officer Pupp), officier de police. Krazy est transi d'amour pour Ignatz mais celui-ci le méprise, et passe son temps à chercher à lui lancer une brique à la tête. Ce que Krazy interprète comme une preuve d'amour… Pupp, en tant que garant de l'ordre de la région de Coconino, fait tout pour empêcher Ignatz d'arriver à son but et enferme bien souvent la souris en prison.
En dépit de la simplicité de l'intrigue, la peinture des caractères détaillée, à laquelle s'ajoute la créativité verbale et visuelle d'Herriman, font de Krazy Kat l'une des premières bandes dessinées à avoir été considérée comme de l'art par les intellectuels. Gilbert Seldes, célèbre critique d'art de l'époque, écrivit en 1924 un long panégyrique du strip, le qualifiant alors de « travail artistique le plus amusant, fantastique et satisfaisant de l'Amérique contemporaine ». Le poète renommé E. E. Cummings, autre admirateur de George Herriman, écrivit l'introduction du premier album de Krazy Kat. Plus récemment, beaucoup de scénaristes et dessinateurs constatent que le strip a eu une influence majeure sur leurs œuvres.}{0.5}{0.15}
\setcounter{NumLecon}{4}

\TITRE{fonctions.eps}{0.5}

\begin{abstract}
En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVIIe siècle. D'abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée comme la combinaison d'opérations à partir d'une variable. Le lien entre l'expression d'une fonction et sa courbe représentative en permet une étude plus approfondie. Compte tenu du nombre incroyable d'application en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, l'étude des fonctions est un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. 
\end{abstract}

\section*{Problème d'introduction}
Rom\'eo souhaite au plus vite offrir une fleur \`a sa Juliette. La situation est sch\'ematis\'ee de la fa\c con suivante : \\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(7,4.5)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{4.5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(7.7,4.7)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.0000,0.0000){K}
\uput{0.7000}[-90.0000](0.0000,0.0000){Aller des roses}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.5000,0.0000){HK=18}
\uput{1.0000}[100.0000](0.0000,0.0000){5}
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,2.0000)
\psline(5.0000,3.0000)(5.0000,0.0000)
\uput{1.0000}[80.0000](5.0000,0.0000){7}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){Romeo}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,3.0000){Juliette}
\uput{0.3000}[100.0000](3.5000,0.0000){M}
\psline(0.0000,2.0000)(3.5000,0.0000)
\psline(3.5000,0.0000)(5.0000,3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\Question{Quel chemin doit prendre Roméo pour rejoindre Juliette le plus tôt possible ?}
\section{Notion de fonction}
\subsection{Définition et vocabulaire}
\Defc{
Une fonction est un proc\'ed\'e qui fait correspondre \`a un \'el\'ement d'un ensemble de d\'epart \textbf{au plus} un \'el\'ement
 d'un ensemble d'arriv\'ee.\newline
Fabriquer une fonction sur un ensemble $D$ c'est donner un algorithme (une proc\'edure ici calculatoire) qui \`a chaque \'el\'ement $x\in D$ associe 
\textbf{au plus} un nombre, souvent not\'e $f(x)$.
}

\Expl{Vous connaissez d\'ej\`a quelques fonctions en g\'eom\'etrie : 
\begin{itemize}
 \item Le p\'erim\`etre d'un cercle est la fonction qui \`a tout r\'eel positif $R$ associe le r\'eel $P(R)=2\pi R$
 \item L'aire d'un cercle est la fonction qui \`a tout r\'eel positif $R$ associe le r\'eel $A(R)=\pi R^2$
 \item Le p\'erim\`etre d'un rectangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positifs $(l;L)$ associe le r\'eel $\mathscr P(l;L)=2(l+L)$
 \item L'aire d'un rectangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positis $(l;L)$ associe le r\'eel $mathscr A(l;L)=l\times L$
 \item L'aire d'un triangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positifs $(b;h)$ associe le r\'eel $\mathscr A(b;h)=\dfrac{b\times h}{2}$
 \item Le volume d'un parall\'el\'epip\`ede rectangle est la fonction qui \`a tout triplet de r\'eels positifs $(a;b;c)$ associe le r\'eel $\mathscr V(a;b;c)=abc$
\end{itemize}
}

\Rq{En classe de seconde nous intéresserons qu'aux fonctions dont l'ensemble de départ est contenu dans $\R$.}

\Cadre[Vocabulaire]{
Les fonctions sont appel\'ees par des lettres. On note par exemple $f$ la fonction qui \`a tout r\'eel $x$ positif associe le r\'eel $5+3x\sqrt{x+2}$
 de la mani\`ere suivante :
\begin{eqnarray*}
f:&\R^+ &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto 5+3x\sqrt{x+2}
 \end{eqnarray*}
On dit que $5+3x\sqrt{x+2}$, not\'e bien souvent $f(x)$ est l'\textbf{image} de $x$ par la fonction $f$. \newline
De la m\^eme mani\`ere, on dit que $x$ est l'\textbf{ant\'ec\'edent} de $f(x)$.
}

\Rq{
Un nombre peut ne pas avoir d'ant\'ec\'edent comme en avoir plusieurs. Par contre l'image d'un nombre, losrqu'elle existe, est unique.}

\Att{Il n'est pas rare de confondre, et pendant des années, l'image du réel $x$ par la fonction $f$, à savoir $f(x)$ qui désigne un nombre réel, avec la fonction $f$ elle-même qui désigne une fonction...}

\Exop{Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2-\dfrac{6}{x}$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(-3)$, $f(2)$ et $f(-1)$.
 \item Pourquoi l'image de $0$ par $f$ n'existe-t-elle pas ?
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :$$f(x)=x^2-2x+3$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'image des réels $0$ ; $-\dfrac{3}{2}$ et $ \sqrt{2}$ par $f$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $f$.
\item Montrer que, $\forall x\in\R$ on a $f(x)=(x-1)^2+2$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $2$ et de $-4$ par $f$.
\end{enumerate}}
\subsection{Algorithme}

Le lien entre les algorithmes et le calcul de l'image d'une fonction et/ou de la recherche de l'antécédent d'un réel est direct. En effet on calcule des images ou on recherche des antécédents toujours de la même manière.

\Exop{On choisit un nombre $x$, on lui ajoute 4, on \'el\`eve le r\'esultat au carr\'e, on retranche 16 
et on divise le tout par le nombre de d\'epart. Quelle est l'expression alg\'ebrique de l'image $f(x)$ de $x$ ? Quelle est l'image de 4 ? de 0 ?
}

\Exop{Soit la fonction 
\begin{eqnarray*}
g:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto x^2-3
 \end{eqnarray*}
D\'ecrire l'algorithme correspondant \`a la fonction $g$.\newline
D\'eterminer l'image de 3, puis celle de $-1$ par la fonction $g$. \newline
D\'eterminer les ant\'ec\'edents \'eventuels de $6$, de $-3$ et de $-4$ par la fonction $g$.
}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Que fais l'algorithme ci-dessous ?
\item Décrire, à l'aide du vocabulaire définit précédemment la fonction mise en valeur par l'algorithme ci-dessous :
\end{enumerate}
}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     x EST_DU_TYPE NOMBRE
3     fx EST_DU_TYPE NOMBRE
4   DEBUT_ALGORITHME
5     LIRE x
6     fx PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5
7     AFFICHER fx
8   FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}

\Exop{Ecrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n'importe quel nombre réel $y$ par la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=3x+1$$}
\section{Ensemble de définition}


\subsection{Valeurs interdites}
\Exop{
Soit $f$ la fonction telle que $f(x)=\dfrac{4}{x-3}$. Calculer l'image de 2, de 4 et de 3.}
\Defc{Par d\'efinition d'une fonction, un \'el\'ement de d\'epart peut ne pas avoir d'image, on dit alors que c'est une \textbf{valeur interdite}.}

\noindent On trouve les valeurs interdites en appliquant les deux r\`egles suivantes : 
\begin{itemize}
 \item On ne divise pas par z\'ero 
 \item On ne prend pas racine d'un nombre strictement n\'egatif\\
\end{itemize}

\noindent Il faudra donc toujours se poser les questions suivantes : \\
Dans l'expression de l'image,
\begin{itemize}
 \item Y a-t-il un quotient ? Si oui, le d\'enominateur peut-il \^etre nul ?
 \item Y a-t-il une racine ? Si oui, la quantit\'e dont on prend la racine peut-elle \^etre strictement n\'egative ?\\
\end{itemize}

\Expl{
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2-3x+1$. Déterminer les valeurs interdites.
 \item Soit $g$ la fonction d\'efinie par $g(x)=\dfrac{3x-1}{4-5x}$. Déterminer les valeurs interdites.
 \item Soit $h$ la fonction d\'efinie par $h(x)=\sqrt{-x+1}$. Déterminer les valeurs interdites.
\end{enumerate}
}

\Rq{On peut alors \'ecrire : \vspace{-5mm}
\begin{multicols}{3}
\begin{eqnarray*}
f:&\R & \rightarrow \R \\
&x& \mapsto x^2-3x+1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g:&\R\setminus\{\frac{4}{5}\}& \rightarrow \R \\
&x& \mapsto \dfrac{3x-1}{4-5x}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h:&]-\infty;1]& \rightarrow \R \\
&x& \mapsto \sqrt{-x+1}
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
}
\subsection{Ensemble de définition}

\Defc{
L'ensemble des r\'eels poss\'edant exactement une image par une fonction $f$ est appel\'e \textbf{ensemble de d\'efinition} de la fonction. On le note $D_f$.}

\Rq{Pour trouver l'ensemble de définition il suffit de trouver l'ensemble des valeurs interdites.}

\Expl{$$ f(x)=\dfrac{2}{x-1}$$
$f$ a une valeur interdite $1$, par conséquent l'ensemble de définition de $f$ est :
$$ D_f=\R\backslash\{1\}$$}

\Exop{Soient les fonctions $D$, $T$ et $L$ d\'efinie par $D(x)=4x^2-x+3$, $T(x)=\dfrac{x^2-2}{(x-1)(2x+3)}$ et $L(x)=\sqrt{5x-9}$.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer les ensembles de d\'efinition de chacune des trois fonctions.
\item D\'eterminer l'image de $-1$ par $D$, de $0$, de $-2$ par $T$ et de $2$ par $L$.
\item D\'eterminer les ant\'ec\'edents de $3$ par $D$, de $0$ par $T$, de $4$ par $L$, puis de $\dfrac{47}{16}$ par $D$, de $-5$ par $L$.
\end{enumerate}
}

\section{Représentation graphique}
\subsection{Définition}

\Rq{On peut associer \`a une fonction un tableau de valeurs. Il comporte deux lignes, la premi\`ere regroupe les ant\'ec\'edents et la seconde les images correspondantes.}

\Expl{Soit $d$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $d(x)=x^2-1$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -3 & 2 & 0 & -1 & 7 & 1,5 & 4 \\\hline
 $d(x)$ & & & & & & &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e les points de coordonn\'ees $\left(x;d(x)\right)$. \\
Imaginer alors l'allure de la courbe repr\'esentative de la fonction $d$.
}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(3.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-15,-10)(15,30)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Defc{
La \textbf{représentation graphique} d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.}


\Expl{Soit la fonction $a$ d\'efinie par $a(x)=x^3 -3x +1$. Tracer sa courbe repr\'esentative.}

\Rq{\noindent\textbf{Limite :} Pour tracer la courbe repr\'esentative  d'une fonction, on relie les points du tableau de valeurs avec le plus de coh\'erence possible. N\'eanmoins, on ne sait pas comment varie la fonction entre deux points de la courbe.
Pour \^etre plus pr\'ecis, il suffit d'agrandir le tableau de valeurs en diminuant le pas. \\
Cependant, pour pr\'evoir l'allure d'une courbe, nous allons \'etudier ses variations.  Il est utile de consulter le trac\'e de la courbe sur la calculatrice avant d'effectuer son propre trac\'e.\\
Observons la représentation graphique suivante d'une fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,4,0,0)(-4,-2,0,0)(-3.7,3,0,0)(-3,0,-1,0)(-1,-2,-0.2,0)(0,2,1,0)(2,4,0,0)(4,0,0,0)(6,2,0,0)(9,2,0,0)(10,-1,0,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
Sans connaître à l'avance son allure i.e ses variations (savoir quand elle est croissante (quand elle monte) et savoir quand elle est décroissante (quand elle descend) il aurait été facile de tracer une courbe à l'allure bien différente...}

\Rq{Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.8,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){3.5355}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\newpage
\Rq{Pour obtenir un tableau de valeurs (et la courbe repr\'esentative d'une fonction) \`a la calculatrice graphique :
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans $Y=$ OU dans Menu + Graph.
 \item On r\`egle les param\`etres du tableau de valeurs (premi\`ere, derni\`ere valeur de $x$ et pas) dans le menu Table + Tblset (jaune + F4) OU Menu + Table + F5, :
\begin{center}
Start=..., End=..., Pitch=... (sur Casio)\\
TblStart=..., $\Delta$Tbl=... (sur TI)
\end{center}
 \item On affiche le tableau dans le menu Graph
 \item On affiche la courbe repr\'esentative dans le menu Trace
\end{itemize}
}


\subsection{Symétrie éventuelle}
Dans cette partie on considère uniquement des fonctions définies sur $\R$. Pour des fonctions non définies sur $\R$ il est aisé d'étendre la définition, en considérant des fonctions définies sur un intervalle centré autour de $0$.
\subsubsection{Fonction paire}
\Defc{Une fonction est paire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.}

\Expl{On considère la fonction qui a $x$ associe $x^2+1$. Voici sa représentation graphique, comme elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on conclut que cette fonction est paire.}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,10)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-1.1)(3.1,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{5}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-2}{2}{\G}
\psdot(2,5) \uput[ur](2,5){$A$}
\psdot(-2,5) \uput[ur](-2.6,5){$B$}


 \uput[ur](1.8,-0.5){$x$}
 \uput[ur](-2.4,-0.5){$-x$}
 \uput[ur](-1,5){$f(x)=f(-x)$}

\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2,0)(2,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-2,0)(-2,5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{\begin{itemize}
\item Si l'on connait le tracé de la représentation graphique d'une fonction $f$, paire, sur $[0;+\infty[$, on en déduira son tracé sur $]-\infty;0]$ par symétrie.
\item Observons sur la courbe précédente les points $A$ et $B$. Comme la fonction est paire, $A$ et $B$ ont la même ordonnée i.e si $f$ est une fonction paire alors :
$$ \forall x\in\R\qquad f(x)=f(-x)$$
La réciproque de ce résultat est vraie, si $f(x)=f(-x)$ pour tout $x\in\R$ alors $f$ est une fonction paire.\\
Par conséquent on peut prévoir, à l'aide de ce résultat et sans la courbe d'une fonction, si elle est paire ou non. 
\end{itemize}}

\Exop{Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\R$. Compléter le tracé ci-dessous :
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-14.1,-0.5)(12.6,1.6)
\def\xmin{-14} \def\xmax{12.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{1.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-14.1,-1.1)(12.6,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{14}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}}

\Exop{On considère la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^4+5$$
Montrer que $f$ est paire.}
\newpage
\subsubsection{Fonction impaire}
\Defc{Une fonction est impaire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. }



\begin{multicols}{2}
\Expl{On considère la fonction qui a $x$ associe $x^3$. Voici sa représentation graphique, comme elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on conclut que cette fonction est impaire.}
\Rq{\begin{itemize}
\item Si l'on connait le tracé de la représentation graphique d'une fonction $f$, impaire, sur $[0;+\infty[$, on en déduira son tracé sur $]-\infty;0]$ par symétrie.
\item Les points $A$ et $B$ sont deux points de la représentation graphique de $f$ symétriques par rapport à l'origine du repère, par conséquent leurs ordonnées sont opposées et on a $f(x)=-f(-x)$ pour tout $x\in\R$. La réciproque de ce résultat est vraie. D'où la propriété suivante :
\end{itemize}}
\Ptec{Une fonction $f$ est impaire si et seulement si $$ f(x)=-f(-x)\qquad \forall x\in\R$$}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-9.1)(3.1,9.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-9} \def\ymax{9}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-9.1)(3.1,9.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{8}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{2}{\G}
\def\H{0 8 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-2}{0}{\H}
\psdot(2,8) \uput[ur](2,8){A}
\psdot(-2,-8) \uput[ur](-2.6,-8.4){B}
 \uput[ur](1.8,-0.5){$x$}
 \uput[ur](-2.4,0){$-x$}
 \uput[ur](-1,7.7){$f(x)$}
 \uput[ur](0,-8.3){$f(-x)$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-2,-8)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2,8)(2,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\subsubsection{Fonction périodique}
On peut lire sur wikipédia, la définition suivante des fonctions périodiques :

\Defc{une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période}

\Expl{Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une horloge, les phases de la lune, etc. On étudiera à la fin de l'année, les fonctions trigonométriques, qui sont de très bon exemples de fonctions périodiques. Observons la représentation graphique d'une fonction périodique, de période $2$ : }

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-2.1)(7.1,2.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-7.1,-2.1)(7.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 exp 2 x 3 exp mul sub x 2 exp add 2 x mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{2}{\F}
\def\G{x 2 sub 4 exp 2 x 2 sub 3 exp mul sub x 2 sub 2 exp add 2 x 2 sub mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{4}{\G}
\def\H{x 4 sub 4 exp 2 x 4 sub 3 exp mul sub x 4 sub 2 exp add 2 x 4 sub mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{4}{6}{\H}
\def\I{x 4 add 4 exp 2 x 4 add 3 exp mul sub x 4 add 2 exp add 2 x 4 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{-2}{\I}
\def\J{x 2 add 4 exp 2 x 2 add 3 exp mul sub x 2 add 2 exp add 2 x 2 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{0}{\J}
\def\K{x 6 add 4 exp 2 x 6 add 3 exp mul sub x 6 add 2 exp add 2 x 6 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-6}{-4}{\K}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

Ici on a représenté une fonction $f$ sur $[-4;4]$, puis en pointillé on a reproduit par symétrie la courbe sur $[-6;6]$. Remarquons que cette fonction est aussi paire, puisque sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\Exop{Ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2\pi]$. Sachant que $f$ est périodique de période $3$, représenter graphiquement la fonction $f$ sur $[-2\pi;4\pi]$.}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-12.1,-2.1)(12.1,2.1)
\def\xmin{-12} \def\xmax{12} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-12.1,-2.1)(12.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{6.28}{\F}

\endpsclip
\end{pspicture*}


\end{center}
\section{Variations}
\subsection{Définition graphique}

\Defc{On dit qu'une fonction $f$ est croissante sur un \underline{intervalle} $I$ si et seulement si la représentation graphique de $f$ \og monte \fg sur $I$}

\Expl{La représentation graphique de cette fonction \og monte \fg sur l'intervalle $[-3;2]$, par conséquent la fonction est croissante sur $[-3;2]$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-5.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x 3 exp mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.5}{3}{\F}
\psdot(-2,-4) \uput[u](-2,0){$a$}\uput[r](0,-4){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-4)(0,-4)

\psdot(1,0.5) \uput[d](1,0){$b$}\uput[r](-1.3,0.5){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Rq{Lorsqu'une fonction est croissante, les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre.}

\Defc{On dit qu'une fonction $f$ est décroissante sur un \underline{intervalle} $I$ si et seulement si la représentation graphique de $f$ \og descend \fg sur $I$}

\Expl{La représentation graphique de cette fonction \og descend \fg sur l'intervalle $[0;5]$, par conséquent la fonction est décroissante sur $[0;5]$
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 0.5 x mul div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{5}{\F}
\psdot(0.5,4) \uput[d](0.5,0){$a$}\uput[l](0,4){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,4)(0,4)
\psdot(4,0.5) \uput[d](4,0){$b$}\uput[l](0,0.5){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.5)(0,0.5)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\end{pspicture*}
\end{center}}

\Rqs{\item Ant\'ec\'edents et images sont rang\'es dans l'ordre inverse, on dit qu'une fonction d\'ecroissante inverse l'ordre.
\item On ne parle de fonction croissante ou d\'ecroissante que sur un intervalle, les bornes ouvertes ou ferm\'ees ne jouant aucun r\^ole.
 \item On parle de fonction monotone sur un intervalle $I$ si celle-ci y est soit croissante, soit d\'ecroissante.
}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est constante si et seulement si la représentation graphique a une pente nulle, i.e ne monte pas plus qu'elle ne descend. }

\Expl{
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{4}{\F}
\psdot(-1,2) \uput[d](-1,0){$a$}\uput[ul](0,2){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)

\psdot(2,2) \uput[d](2,0){$b$}\uput[ur](0,2){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}


\end{center}
}

\Rq{La repr\'esentation graphique d'une fonction constante est une droite parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees.}


\subsection{Tableau de variation}

On regroupe les informations sur les variations d'une fonction dans un tableau du type : 
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-1}&&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f}&\txb{0}&\fm&\txh{3}&\fd&\txb{-5}&\fhb&\txb{-5}\cr
}$$
Les fl\`eches signifient que la fonction $f$ est strictement croissante, d\'ecroissante ou constante sur les invtervalles de $x$ consid\'er\'e.


\Exop{Tracer les courbes des fonctions suivantes et donner leurs tableaux de variations :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-2$
\item $g(x)=-x^2+x+1$
\item $h(x)=\sqrt{x^2+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\subsection{Définition algébriste}
\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est croissante (respectivement strictement croissante) si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a : 
$$a<b \Longrightarrow f(a)\leq f(b) \qquad \textrm{ (respectivement } a<b \Longrightarrow f(a)< f(b) \textrm{ )}$$}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est d\'ecroissante (respectivement strictement d\'ecroissante) si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a : 
$$a<b \Longrightarrow f(a)\geq f(b) \qquad \textrm{ (respectivement } a<b \Longrightarrow f(a)> f(b) \textrm{ )}$$}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est constante si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a $f(a)= f(b)$ }


\Rq{Dans la pratique il est plus utile de retenir ces définitions, certes moins intuitive, elles permettent néanmoins de résoudre des problèmes avec plus d'efficacité.}

\Exop{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=2x+1$. Montrer que $f$ est croissante.\newline
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-3x+5$. Montrer que $g$ est d\'ecroissante.}

\newpage
\section{Extrema}
\subsection{Définition graphique}
Comme son nom l'indique les extrema d'une fonction représentent les valeurs extrêmes d'une fonction. Cela correspond souvent au sommet des représentations graphiques. On distingue alors maximum et minimum mais appuyons sur l'exemple suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
%\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
%\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[linecolor=blue]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
%\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{C}_f$}
\psdot(-0.53,1.36)\uput[r](-0.8,1.6){$A(a;f(a))$}
%\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
%\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
%\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
Le point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ est un sommet de la courbe $\mathscr C_f$. On dira que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur un intervalle $I$, ce maximum est atteint pour $x=a$.
\\
Observons la représentation graphique d'une fonction $g$ sur un intervalle $I$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-6.1)(4.1,6.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-6} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 2 x mul sub 3 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}


\psdot(1,-4) \uput[ur](1,-4.4){A}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
De la même manière que précédemment le point $A(a;f(a))$ est un sommet de la courbe, mais cette fois ci il s'agit d'un minimum. On dit que $g(a)$ est le minimum de $g$ atteint en $a$.
\subsection{Définition algébriste}
\Defc{ Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$et $a\in I$. On dit que $f$ admet un maximum en $a$ si, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \leq f(a) $. \newline
$f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$, atteint en $a$.}

\Expl{Quel est le maximum de la fonction $t$ d\'efinie sur $\R$ par $t(x)=-x^2+3$ ? \newline
Pour tout $x$ on a $-x^2 \leq 0 \Longleftrightarrow -x^2 + 3 \leq 3 \Longleftrightarrow t(x) \leq t(0)$. \newline
Donc le maximum de $t$ est 3,  atteint en 0 (pour $x=0$).}

\Defc{ Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$et $a\in I$. On dit que $f$ admet un minimum en $a$ si, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \geq f(a) $. \newline
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$, atteint en $a$.}

\Expl{Quel est le minimum de la fonction $v$ d\'efinie sur $\R$ par $v(x)=x^2-\sqrt{3}$ ? \newline
Pour tout $x$ on a $x^2 \geq 0 \Longleftrightarrow x^2 + \sqrt{3} \geq \sqrt{3} \Longleftrightarrow v(x) \geq v(0)$. \newline
Donc le minimum de $v$ est $\sqrt{3}$,  atteint en 0 (pour $x=0$).}

\Rq{On parle d'extremum lorsque la fonction admet soit minimum, soit maximum.}

\Exop{On consid\`ere un cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon 5cm. Soit $I$ un point du cercle $(C)$ et $M$ un point du segment $[OI]$, diff\'erent de $O$ et $I$. La perpendiculaire \`a la droite $(OI)$ passant par $M$ coupe le cercle $(C)$ en $A$ et $B$.
\begin{enumerate}
 \item Construire les points $E$ et $F$, sym\'etriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport \`a $O$.
 \item Montrer que le quadrilat\`ere $AFEB$ est un rectangle inscrit dans le cercle $(C)$.
 \item On note $OM=x$ et $Aire(x)$ la fonction donnant l'aire du rectangle $AFEB$ en fonction de $x$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de d\'efinition de la fonction $Aire$ ?
 \item Montrer que $Aire(x)=4x\sqrt{1-x^2}$.
\end{enumerate}
\item On admet que le tableau de variations de $Aire$ est le suivant :
 $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&&\tx{1}\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{2}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
Tracer la courbe repr\'esentative de $Aire$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle $AFEB$ est-elle maximum ? Quel est ce maximum ?
\item Que peut-on alors dire du rectangle $AFEB$ ?
\end{enumerate}
}

\Exop{Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ d\'efinie sur un intervalle $[-1;3]$ : 
 $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-1}&&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{3}\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{3}&\fd&\txb{-5}&\fm&\txh{1}\cr
}$$
\begin{enumerate}
 \item Lire $f(1)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(3)$
 \item Quel est le maximum de $f$ sur $[-1;3]$ ? Quand est-il atteint ?
 \item Quel est le minimum de $f$ sur $[-1;3]$ ? Quand est-il atteint ?
 \item Pour $x\in [0;1]$, encadrer $f(x)$
 \item Donner un encadrement de $f(x)$ sur $[-1;3[$.
 \item Encadrer $f(-0,5)$, $f(0,8)$ et $f(2,1)$
\end{enumerate}
}

\Exop{Quelle est le maximum sur $\R$ de la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-(x-2)^2+4$ ?}


\pagebreak
\section{Résolution graphique d'équations et d'inéquations}

\Act{Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies par le graphe suivant :
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\G{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
\def\H{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
 \uput[r](3.7,5.5){$C_f$}
 \uput[r](5.3,5.5){$C_g$}
 \uput[r](-5.9,4){$C_h$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}



\end{center}
R\'esoudre :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=2$
 \item $f(x) = h(x)$ puis, $f(x) = g(x) $ et enfin $g(x)=h(x)$
\item  $ f(x) < 2$, puis $g(x) \geq 1$
\item $f(x) \geq h(x)$ puis $f(x) <h(x)$
\end{enumerate}
}


Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur un intervalle $I$, $k\in\R$
\subsection{R\'esolution graphique d'\'equations}
\textbf{Cas particulier : R\'esolution de $f(x)=k$ sur $I$.}\newline
D\'eterminer sur un intervalle $I$ les solutions de $f(x)=k$ revient \`a trouver tous les ant\'ec\'edents de $k$ appartenant \`a $I$. 
\Cadre{\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ } :\newline
Pour r\'esoudre cette \'equaiton graphiquement, on trace la courbe repr\'esentative $C_f$ de la fonction $f$, et la droite $d$ d'\'equation $y=k$ (horizontale). \newline
Les solutions de l'\'equation sont les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $C_f$ et $d$.
}

\Expl{\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $\R$ l'\'equation  $$\quad\quad(x-4)^2+1=3$$

Soit $f: x \rightarrow (x-4)^2+1 $  d\'efinie sur $\R$ et $k= 3$. \newline
\indent Donc $S=\left\{x_1;x_2\right\}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,3)
\psdot(5.4,3)
\psline[linestyle=dashed](5.4,0)(5.4,3)
 \uput[d](2.6,0){$x_1$}
 \uput[d](5.4,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Cadre{
\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ } :\newline
On trace sur $I$ les courbes repr\'esentatives $C_f$ et $C_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.  \newline
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
}

\Expl{\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $[-1; + \infty[$ l'\'equation  $$(x-4)^2+1=\sqrt{x+1}$$

Soient $f: x \rightarrow (x-4)^2+1 $ d\'efinie sur $\R$ et $g:x \rightarrow \sqrt{x+1}$ d\'efinie sur $[-1; + \infty[$. \newline
\indent Donc $S=\left\{x_1;x_2\right\}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(5,2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2)(0,2)
\psdot(3.3,1.55)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,1.55)(0,1.55)
 \uput[d](3.3,0){$x_1$}
 \uput[d](5,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\subsection{R\'esolution graphique d'in\'equations}
\Cadre{
\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)<g(x)$ } :\newline
On trace sur $I$ les courbes repr\'esentatives $C_f$ et $C_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.  \newline
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points de $C_f$ se trouvant au dessous de $C_g$.
}

\Expl{
En prenant les deux exemples ci-dessus, on trouve $S=]x_1;x_2[$ dans les deux cas.
}



\Exo{\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item D\'evelopper $\left(x-1\right)^2(x+2)$
	\item R\'esoudre alors l\'equation $x^3-3x+2=0$
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere les fonctions $h$ et $k$ d\'efinies sur $\R$ par : $h(x)=x^3$ et $k(x)=3x-2$
\begin{enumerate}
 \item Tracer soigneusement les repr\'esentations graphiques $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$ de $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-2;2]$.
\item D\'eterminer graphiquement les coordonn\'ees des points communs de $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$.
\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la question 1), retrouver ce r\'esultat par le calcul.
\item R\'esoudre graphiquement l'in\'equation $h(x)\leq 1$
\end{enumerate}
}


\end{document}