\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $2^{nde}$ }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les bases du calcul }	
\newcommand{\Cl}{Seconde}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\setcounter{NumLecon}{1}
\debutdwicky{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il combine les techniques du graffiti et du pochoir pour faire passer ses messages, qui mêlent souvent politique, humour et poésie comme Ernest Pignon-Ernest ou Blek le rat. Les pochoirs de Banksy sont des images humoristiques, parfois combinés avec des slogans. Le message est généralement antimilitariste, anticapitaliste ou antisystème. Ses personnages sont souvent des rats, des singes, des policiers, des soldats, des enfants ou des personnes âgées.\\
Il s'est forgé une certaine notoriété dans les milieux alternatifs et les médias traditionnels s'intéressent aussi à lui. Il a notamment travaillé sur le film Les Fils de l'homme2 et a réalisé en 2003 la pochette du disque de Blur, Think Tank.\\
Banksy a fondé le projet \og Santa's Ghetto \fg en réalisant des peintures sur le mur de Gaza afin de redonner espoir aux habitants palestiniens et israéliens. Aidé par d'autres artistes, comme Ron English, un Américain, le mur de séparation prend petit à petit les couleurs d'une toile artistique géante, comme avec l'image de la petite Vietnamienne brûlée au napalm qui tient par la main Mickey Mouse et Ronald McDonald.\\
Concernant ce projet, Banksy raconte dans son livre Wall and Piece, qu'un jour, alors qu'il peignait sur le mur de séparation, un habitant est venu lui dire : \og vous embellissez le mur \fg. Banksy, flatté : \og Merci, c'est gentil \fg, fut aussitôt coupé par le vieil homme : \og On ne veut pas que ce mur soit beau, on ne veut pas de ce mur, rentrez chez vous \fg.}{0.4}{0.6}
\setcounter{NumLecon}{1}
%\thispagestyle{stylecha}
\TITRE{Sherlock_Holmes.eps}{0.4}

\section{Développer-Factoriser}
\subsection{Distributivité}


\Propc{
Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ on a : $a(b+c) = ab + ac $.\newline
\textbf{D\'evelopper} une expression contenant des produits, c'est l'\'ecrire en transformant les produits en sommes. \newline
\textit{Ici c'est \'ecrire le membre de gauche sous la forme du membre de droite :} produit $\Rightarrow$ somme. \newline	
\textbf{R\'eduire} une expression d\'evelopp\'ee c'est l'\'ecrire sous forme de sommes contenant le moins de termes possible. \newline
\textbf{Factoriser} une expression c'est l'\'ecrire sous forme d'un produit. \newline
\textit{Ici c'est \'ecrire le membre de droite sous la forme du membre de gauche :} produit $\Leftarrow$ somme.	
}

\Exop{Développer et réduire l'expression $$ A=(3-2x)(4-x)$$}

\subsection{Identités remarquables}
\Cadre{
\textbf{Identit\'es Remarquables : } Pour tous nombres $a$ et $b$ on a
$$(a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2 $$
$$(a-b)^2= a^2 - 2ab + b^2 $$
$$(a+b)(a-b)= a^2 - b^2$$
}

\Rq{
\begin{itemize}
\item Pour note, la seconde identité remarquable peut être considérée comme une extension de la première. En effet, il ne faut pas oublier que $a - b$ peut aussi s'écrire $a + (-b)$. Soustraire c'est aussi ajouter l'opposé.
\item On pourrait en ajouter des tas d'autres comme $(a + b)^3 = a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3$ mais elles ne seraient d'aucune utilité en seconde. Retenir celles-là et surtout savoir en user suffira amplement à assurer notre bonheur.
\end{itemize}}

\Exop{\begin{enumerate}
\item Développer $A=(4x-6)^2$ et $B=(3x-1)(3x+1)$
\item Factoriser $C=25x^2+20x+4$ 
\end{enumerate}}

\Exop{
D\'evelopper :$A=(3\sqrt{2}-4)^2 \qquad B=(7j+3)(2j+7) \qquad C=(3m-1)^2+(4m+2)(8n+1)$\\[3mm]
Factoriser : $D=(2i+1)(3i+2)+(2i+1)(5i+7) \qquad E=(x-1)(4x-7)+x-1$
$$F=(3y-4)(y-3)+(y+3)(3y-4) \qquad G=(3z+6)(-7z-3)+(3z+6)(2z+1)-(3z+6)(4z+1) $$
}


\subsection{Deux méthodes pour factoriser}
Développer est la portée de n'importe qui (ou presque !). Par contre, factoriser n'est pas toujours évident. La factorisation est le fait d'écrire une expression sous la forme d'un produit. En Seconde, seules deux méthodes de bases comptent. L'une fait intervenir les identités remarquables et l'autre la mise en évidence d'un facteur commun.

\subsubsection{Avec les identités remarquables}
\Exop{Factoriser l'expression $x^2 - 49$}

\Rq{ Le grand secret dans ce genre d'affaires c'est de penser à la bonne formule au premier coup d'œil. Par exemple, une différence de deux carrés doit immédiatement faire penser à la troisième identités remarquable, c'est-à-dire $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$}

\subsubsection{Avec un facteur commun}
Cette technique repose sur la formule que nous avons énoncée à l'occasion du premier paragraphe, à savoir : $ab + a.c = a.(b + c)$.\\
\textit{\textbf{Encore un conseil}} : une égalité marche dans les deux sens. C'est-à-dire que si machin est égal à bidule alors bidule est aussi égal à machin. Souvent, on ne voit qu'un des sens.

\Exop{factoriser l'expression $(2x + 1)(3x + 2) + (2x + 1)(7x - 2)$}

\subsubsection{Avec les deux techniques !}
Il existe des cas où il faut recourir plusieurs fois aux techniques que nous venons de voir.

\Exop{Factoriser l'expression $(x^2 - 2x + 1) + 2x^2 - 2$}
\newpage


\section{Règles de calcul sur les fractions}

\Cadre[Fractions]{
Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0 $, on a :
$$a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{ \frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \dots \dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} = \dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} $$
$$ \dfrac{a \times d}{b \times d}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{\dots\dots}{bd}+\dfrac{bc}{\dots\dots}=\dfrac{\dots\dots\dots\dots}{\dots\dots}$$
\vspace{-3mm}}

\Expls{\vspace{-3mm}
$$5\times \dfrac{6}{7}=\dots\dots\dots \quad; \quad\dfrac{4}{15}\times \dfrac{6}{7} =\dots\dots\dots\dots  \quad ; \quad \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{6}{7}} =\dots\dots\dots\dots 
\quad ; \quad \dfrac{36}{28}=\dots\dots\dots\dots \quad; \quad \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{8}=\dots\dots\dots\dots$$
}
\vspace{-3mm}
\Exop{
Effectuer et simplifier les fractions obtenues :
\vspace{-5mm}
$$A=4\times\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2} \quad\quad B=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right) 
\quad\quad C=\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5}\times\left(2+\dfrac{5}{6}\right) \quad\quad D=\dfrac{3+\dfrac{6}{7}}{3-\dfrac{6}{7}} \quad\quad E=\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x}$$
}

%\Exop{Réduire la fraction $ \dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x}$}


\section{Puissances}
\Defc[Puissances]{
Soit $a$ un nombre et $n$ un nombre entier positif.
	\begin{itemize}
 	\item Si $n \geq 1$, alors $a^n=\underbrace{\dots\dots\dots\dots\dots\dots}_{\dots\dots \, \textrm{fois}}$ \hskip20mm  En particulier $a^1=\dots\dots$.\\
	\item Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=\dots\dots$
	\end{itemize}
Si de plus $a\neq 0$, on d\'efinit le nombre $a^{-n}$ comme $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ du nombre $a^n$ : $a^{-n}=\dots\dots$\\ 
}
\Expls{
$(-1,5)^{3}=-3,375 \qquad ; \qquad 5^{-4}=\dfrac{1}{5^4}=\dfrac{1}{625} \qquad ; \qquad (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$
}

\begin{Att}{
 Ne pas confondre $(-a)^n$, $-a^n$, $-a^{-n}$ et $(-a)^{-n}$
$$(-2)^4=\dots\dots  \qquad ; \qquad -2^4=\dots\dots  \qquad ;\qquad -2^{-4} = \dots\dots  \qquad \textrm{et}  \qquad (-2)^{-4}=\dots\dots$$}
\end{Att}
\Ptec{
Quels que soient les réels $a$ et $b$, et les entiers relatifs $n$ et $m$, on a les \'egalit\'es suivantes (si elles sont d\'efinies) :
	$$a^n \times a^m = \dots\dots\dots\dots \qquad ;\qquad \left(a^n\right)^m =\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \dfrac{a^n}{a^m} = \dots\dots\dots\dots$$
	$$\left( ab\right) ^n = \dots\dots\dots\dots  \qquad ;\qquad \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n = \dots\dots\dots\dots $$
\vspace{-5mm}}

\Expls{
}

\Exop{
Simplifier au maximum : $\left(3^7 \times 2^{-6}\right)^5\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{33} \qquad\qquad\qquad \dfrac{4^{-2}}{4\times 49^{-3}}\times\left(-\dfrac{4}{7}\right)^5 $
}
\section{Racine carrée}


\Defc[Racine carrée]{
Si $a$ est un nombre positif alors $\sqrt{a}$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ nombre $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ dont le carr\'e vaut \nolinebreak $\dots\dots$.
}
\underline{Cons\'equence} : D\`es que l'on voit le nombre $\sqrt{a}$, on doit supposer  $\dots\dots\dots\dots$\\
 


\Expls{$\sqrt{49}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{-16}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(-3)^2}=\dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(2-\Pi)^2}=\dots\dots$
}

\Rq{$\sqrt{a^2}=\pm a$ suivant le signe de $a$. On appelle ce nombre \og valeur absolue \fg \, de $a$ et on le note $|a|$}

\Ptec{
Si $a$ et $b$ sont des nombres positifs et $n$ un entier relatif, alors on a :
$$\sqrt{ab}=\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dots\dots \, \textrm{ si }\, b\neq 0 $$
\vspace{-5mm}
}

\begin{Att}{
 En g\'en\'eral $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Par exemple $\sqrt{9+16}=\dots\dots \qquad \textrm{ et }  \qquad \sqrt{9}+\sqrt{16}=\dots\dots $}
\end{Att}

 

\Exop{
Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible :
$$  \sqrt{2}\times \sqrt{18} \quad ;\quad \sqrt{25 \times 49} \quad ;\quad \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad \sqrt{\dfrac{36}{49}}
\quad ;\quad  \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} \quad ; \quad \sqrt{11^2} \quad ;\quad 
\sqrt{72}+\sqrt{32} -6\sqrt{8} \quad ;\quad \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\times \sqrt{\dfrac{12}{15}} $$
}




\newpage
					\part*{Les Annexes}
\setcounter{section}{0}
\setcounter{Def}{0}
\setcounter{Pte}{0}
\setcounter{Th}{0}
\setcounter{Prop}{0}
\setcounter{Cor}{0}
\setcounter{Ex}{0}
\setcounter{Lem}{0}
\setcounter{Conj}{0}

\thispagestyle{empty}
\include{annexe1} %Fiche de rappel a trous + exo

\newpage

\Act{
\begin{enumerate}
 \item Calculer les carrés des nombres suivants : $-2 ; 5 ; 0,3 ; -1 ; 10^3 ; -\dfrac{2}{3}$
 \item Quel est le signe du carré d'un nombre ?
 \item Parmi les nombres suivants, dire ceux qui sont des carrés : $25 ; 7^2 ; -16 ; 10^4 ; \dfrac{4}{9} ; -100 ; 49$
 \item Quels sont les nombres qui ont pour carré 36 ? 100 ?
\end{enumerate}
}
\end{document}