  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}


\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Les fonctions}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Les fonctions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Surveillé 4}


\Exoi{On considère la fonction définie par $f(x)=x^2+2x-8$
\begin{enumerate}
\item Comme il n'y a ni racine carrée, ni quotient dans l'expression de $f(x)$ $D_f=\R$
\item A l'aide de la représentation graphique donnée en page 2, on trouve :
\begin{enumerate}
\item  $f(1)=-5$, $f(-1)=-9$ et $f(-3)=-5$
\item Les antécédents de $-8$ sont $-2$ et $0$
\item L'équation $f(x)=0$ admet $-4$ et $2$ comme solution.
\item Le tableau de signe de la fonction $f$ est le suivant :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-4}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
}$$
Ainsi $f(x)\geq 0$ si et seulement si $x\in ]-\infty;-4]\cup [2;+\infty[$
\item Le tableau de variation de la fonction $f$ est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f(x)$/2}{$-\infty $,$-1$, $+\infty$}% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$-90 $ , -/$ $ } 
%\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\end{enumerate}
\item Dans cette deuxième partie, on montre les résultats précédents par le calcul :
\begin{enumerate}
\item  $$f(1)=1^2+2\times 1-8=-5$$ 
$$f(-1)=(-1)^2+2\times (-1)-8=-9$$ et $$f(-3)=(-3)^2+2 \times (-3)-8=9-6-8=-5$$
\item Pour tout $x\in \R$, 
$$(x+1)^2-9=x^2+2x+1-9=x^2+2x-8=f(x)$$
\item On sait que pour tout $x\in \R$, 
\begin{eqnarray*}
&& (x+1)^2\geq 0 \\
&\Longleftrightarrow & (x+1)^2-9\geq -9 \\
&\Longleftrightarrow & f(x)\geq -9 \\
\end{eqnarray*}
De plus $f(-1)=-9$, par conséquent $-9$ est le minimum de la fonction $f$ sur $\R$
\item Pour tout $x\in\R$, $$(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8=f(x)$$
\item 
\begin{eqnarray*}
&& f(x)=0 \\
&\Longleftrightarrow & (x+1)^2-9=0 \\
&\Longleftrightarrow &  (x+1)^2=9\\
&\Longleftrightarrow &  x+1=3 \text{ ou } x+1=-3 \\
&\Longleftrightarrow & x=2 \text{ ou } x=-4 \\
\end{eqnarray*}
Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont donc $-4$ et $2$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;10]$ par le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$g(x)$/2}{$-5 $,$3$,$5 $, $10$}% 
\tkzTabVar{-/ $2 $ , +/$3 $ , -/$-1 $, +/$2$ } 
%\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item $-4<1$, or la fonction $g$ est strictement croissante sur $[-5;3]$, les images et les antécédents sont donc rangés dans le même ordre donc $g(-4)<g(1)$ 
\item $4<5$, or la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[3;5]$, donc les images et les antécédents sont rangés dans l'ordre inverse, par conséquent $g(4)>g(5)$ \textit{(Justifier)}
\item L'équation $g(x)=0$ admet deux solutions :
\begin{itemize}
\item la première dans $[3;5]$, puisque la fonction $g$ est décroissante sur cet intervalle et que $g(3)>0$ et $g(5)<0$
\item la seconde dans $[5;10]$, puisque la fonction $g$ est décroissante sur cet intervalle et que $g(5)<0$ et $g(10)>0$
\end{itemize}
\item Le maximum de la fonction $g$ sur $[-5;5]$ est $3$.
\item $g(0)$ est compris entre $2$ et $3$, tandis que $g(7)$ est compris entre $-1$ et $2$, il est donc clair que :
$$ g(0)>g(7)$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
Sur la figure ci-dessous, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$. On donne $BC=9$ cm. \\
Soit $I$ le milieu de $[BC]$, le point $M$ appartient au segment $[BI]$. \\
Le quadrilatère $MNPQ$ est un rectangle où $N$ est un point du segment $[AB]$, $P$ un point du segment $[AC]$ et $Q$ un point du segment $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Comme le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle les angles à la base mesurent $45^\circ$ par conséquent  
$$\widehat{ABC}=45^\circ$$
Le triangle $BMN$ possède un angle droit et un angle de $45^\circ$ donc du coup deux angles de $45^\circ$ puisque la somme des angles dans un triangle est de $180^\circ$.\\
$BMN$ est un triangle rectangle isocèle en en $M$ donc $BM=MN$
\item En raisonnant de la même manière pour le triangle $PQC$ que pour le triangle $BMN$ on trouve que le triangle $PQC$ est rectangle isocèle et donc que $PQ=QC$.\\
Or le quadrilatère $MNPQ$ est un rectangle donc $MN=PQ$, et comme $MN=BN$ on en déduit que $BM=QC$.
\end{enumerate}
\item On pose $BM=x$
\begin{enumerate}
\item $M$ est un point du segment $[BI]$ qui mesure $4,5$ cm, par conséquent le réel $x$ appartient à l'intervalle $[0;4,5]$ ?
\item Comme $MN=BM$ alors $MN=x$, on a aussi $QC=x$. Or, $BC=9$ et $MQ=BC-BM-QC=9-2x$.
\item L'aire du rectangle $MNPQ$, notée $f(x)$, s'écrit :
$$ f(x)=MN\times MQ=x(9-2x)=9x-2x^2$$
\end{enumerate}
\item $f\left(\dfrac{9}{4}\right)=9\times \dfrac{9}{4}-2\times \left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{4}-2\times \dfrac{81}{16}=\dfrac{81}{4}-\dfrac{81}{8}=\dfrac{162-81}{8}=\dfrac{81}{8}$
\item \begin{enumerate}
\item cf. ci dessous.
\item Par lecture graphique, le tableau de variation de $f$ semble être :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2,25}&&\tx{4,5}\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{\simeq 10}&\fd&\txb{0}\cr
}$$
\item 
 $$ \dfrac{81}{8}-2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{8}-2\left(x^2-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{81}{16}\right)=\dfrac{81}{8}-2x^2+9x-\dfrac{81}{8}=f(x)$$
On sait qu'un carré est toujours positif ou nul, par conséquent :
\begin{eqnarray*}
& & \left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2\geq 0\\
&\Longleftrightarrow & -2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & \dfrac{81}{8}-2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2 \leq \dfrac{81}{8}\\
& \Longleftrightarrow & f(x) \leq \dfrac{81}{8}
\end{eqnarray*}
De plus, on sait que $$ f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\dfrac{81}{8}$$
Ainsi le maximum de la fonction $f$ est $ \dfrac{81}{8}$ atteint pour $x=\dfrac{9}{4} $ i.e
l'aire du rectangle $MNPQ$ est maximale pour $x =\dfrac{9}{4}$ et cette aire vaut $ \dfrac{81}{8}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle
45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.04,0.08) rectangle (5.58,4.92);
\draw (-1.7,0.6)-- (1.46,4.08);
\draw (-1.7,0.6)-- (4.94,0.92);
\draw (4.94,0.92)-- (1.46,4.08);
\draw (-0.15,2.31)-- (-0.07,0.68);
\draw (-0.15,2.31)-- (3.23,2.47);
\draw (3.23,2.47)-- (3.31,0.84);
\draw (3.31,0.84)-- (-0.07,0.68);
\fill [color=black] (-1.7,0.6) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.92,0.6) node {$B$};
\fill [color=black] (1.46,4.08) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.46,4.44) node {$A$};
\fill [color=black] (4.94,0.92) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (5.1,1.12) node {$C$};
\fill [color=black] (1.62,0.76) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.72,0.52) node {$I$};
\fill [color=black] (-0.07,0.68) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (0.08,0.5) node {$M$};
\fill [color=black] (-0.15,2.31) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-0.26,2.6) node {$N$};
\fill [color=black] (3.23,2.47) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.4,2.68) node {$P$};
\fill [color=black] (3.31,0.84) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.42,0.64) node {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{center}

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(5.1,11.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{11}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,11.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{9 x mul 2 x 2 exp mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4.5}{\F}

\endpsclip
\end{pspicture*}


\end{center}

\end{document}