  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}


\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Géométrie dans l'espace}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir surveillé 3}

\Exoi{\textit{Positions relatives} \hfill (5 points)}
$ABCDEFGH$ est le pavé droit ci-dessous. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[DC]$.\\
Dans chaque cas, compléter la phrase par la position relative des éléments donnés.\\
 %\textit{Aucune justification n'est demandée, mais on précisera les intersections visibles sur la figure.}
\begin{multicols}{2}
\psset{xunit=1cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-0,-1.2)(7.2,4)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{3.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(5.0000,1.5000)(0.0000,1.5000)
\uput{0.2000}[-90.0000](0.0000,0.0000){E}
\uput{0.2000}[-90.0000](5.0000,0.0000){F}
\uput{0.2000}[-30.0000](5.0000,1.5000){B}
\uput{0.2000}[120.0000](0.0000,1.5000){A}
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(6.7321,2.5000)(5.0000,1.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](6.7321,1.0000){G}
\uput{0.2000}[30.0000](6.7321,2.5000){C}
\pspolygon(0.0000,1.5000)(5.0000,1.5000)(6.7321,2.5000)(1.7321,2.5000)
\uput{0.2000}[150.0000](1.7321,2.5000){D}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](4.2321,2.500)
%\psline(0.0000,1.5000)(5.8660,2.000)(1.7321,2.5000)
\uput{0.2000}[50.0000](2.5,1.500){I}
\uput{0.2000}[50.0000](4.2321,2.500){J}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.5,1.5000)
\uput{0.2000}[160.0000](1.7321,1.0000){H}
\psline[linestyle=dashed](1.7321,2.5000)(1.7321,1.0000)(6.7321,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)%(5.8660,2.000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
 \item Les droites $(BH)$ et $(BC)$ sont sécantes.
 %\item Les droites $(EG)$ et $(BC)$ sont $\dots\dots\dots$
 %\item Les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les droites $(AF)$ et $(EG)$ sont non coplanaires.
 \item Les droites $(EH)$ et $(BC)$ sont parallèles.
%\item Les droites $(EI)$ et $(AC)$ sont $\dots\dots\dots$ 
\item La droite $(CH)$ et le plan $(ABD)$ sont sécants.
 \item La droite $(GF)$ et le plan $(BCE)$ sont parallèles.
 \item La droite $(AH)$ et le plan $(BCG)$ sont parallèles.
% \item Les plans $(ABF)$ et $(BCG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(ACH)$ et $(BEG)$ sont parallèles.
 \item Les plans $(AEG)$ et $(ADH)$ sont sécants.
% \item Les plans $(AEI)$ et $(BIG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(ADI)$ et $(BJC)$ sont confondus.
 %\item Les plans $(JEI)$ et $(BCG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(BEG)$ et $(AFC)$ sont sécants.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{\hfill(5 points)\\
Ci-dessous la section de la pyramide par le plan $(IJK)$:
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.76,-1.32)(4.34,4.88)
\psline(1.34,4.36)(-0.94,0.16)
\psline(1.34,4.36)(3.96,0.28)
\psline[linestyle=dotted](-0.94,0.16)(3.96,0.28)
\psline(3.96,0.28)(2.04,-0.4)
\psline(-0.94,0.16)(2.04,-0.4)
\psline(2.04,-0.4)(1.34,4.36)
\psline[linecolor=ccqqqq](1.95,0.24)(2.63,2.36)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](0.03,1.95)(2.63,2.36)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-1.76}{2.63}{(--3.97-2.12*x)/-0.68}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{0.03}{4.34}{(--3.78-1.71*x)/1.92}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-1.76}{3.96}{(--2.16-0.68*x)/-1.92}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-0.94}{4.34}{(-0.05-0.56*x)/2.98}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-1.76}{4.34}{(-0.53-0.03*x)/1.12}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.94,0.16)
\rput[bl](-1.38,0.12){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.96,0.28)
\rput[bl](4.04,0.32){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.04,-0.4)
\rput[bl](1.86,-0.78){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.34,4.36)
\rput[bl](1.26,4.56){$S$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=x](2.63,2.36)
\rput[bl](2.7,2.44){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=x](0.26,1.74)
\rput[bl](0.34,1.82){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=x](1.18,0.92)
\rput[bl](1.26,1){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.03,1.95)
\rput[bl](-0.38,2){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.95,0.24)
\rput[bl](2.1,0.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.7,-0.52)
\rput[bl](1.3,-0.94){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.83,-0.55)
\rput[bl](2.98,-0.5){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item La trace du plan $(IJK)$ sur la face $SAC$ est le segment $[DE]$
\item La trace du plan $(IJK)$ sur la face $SCB$ est le segment $[EK]$
\item La trace du plan $(IJK)$ sur la face $SAB$ est le segment $[DK]$
\item cf. ci contre
\item L'intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$ est une droite. De plus les points $F$ et $G$ sont deux points commun aux plans $(IJK)$ et $(ABC)$. (en effet $F\in (BC)\subset (ABC)$ mais encore $F\in (EK)\subset (IJK)$, de même pour le point $G$). Par conséquent $(FG)$ est la droite d'intersection des deux plans $(IJK)$ et $(ABC)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Positions relatives}\hfill (4 points)\\
$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ est le milieu de $[AC]$, $J$ est au deux tiers de $[AB]$ à partir de $A$ et le point $K$ est situé au tiers de $[AD]$ à partir de $A$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer et dessiner l'intersection de $(IJ)$ et de $(BCD)$, puis celle de $(KI)$ avec $(BCD)$.
\\
$(IJ)$ et $(BC)$ sont deux droites contenues dans le plan $(ABC)$, elles sont sécantes en un point $M$ puisque $J$ n'est pas le milieu de $[AB]$. \\
Au final $M$ est un point commun aux plans $(IJK)$ et $(BCD)$ donc :
$$ (IJK)\cap (BCD)=M$$
$(KI)$ et $(DC)$ sont deux droites contenues dans le plan $(ADC)$, elles sont sécantes en un point $N$ puisque $K$ n'est pas le milieu de $[AD]$. \\
Au final $N$ est un point commun aux plans $(IJK)$ et $(BCD)$ donc :
$$ (KI)\cap (CD)=N$$
\item On vient de déterminer deux points commun aux plans $(IJK)$ et $(BCD)$, par conséquent :
$$ (IJK)\cap (BCD)=(MN)$$
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqwwqq}{0 0.4 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.92,0.48)(4.6,5.56)
\psline(1,5.06)(-0.52,1.2)
\psline(0.98,0.84)(-0.52,1.2)
\psline(2.42,1.54)(0.98,0.84)
\psline(1,5.06)(2.42,1.54)
\psline(1,5.06)(0.98,0.84)
\psline[linestyle=dotted](-0.52,1.2)(2.42,1.54)
\psplot[linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq]{-3.92}{1.71}{(-4.3-0.81*x)/-1.72}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-3.92}{-0.52}{(-3.7-0.34*x)/-2.94}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-3.92}{-0.01}{(-8.59-1.63*x)/-3.45}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{0.99}{4.6}{(--2.97-0.35*x)/0.72}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{0.98}{4.6}{(--0.52--0.7*x)/1.44}
\psplot[linecolor=qqwwqq]{-3.92}{4.6}{(--11.07--1.38*x)/7.32}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5.06)
\rput[bl](0.92,5.24){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.52,1.2)
\rput[bl](-0.74,1.3){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.42,1.54)
\rput[bl](2.5,1.58){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.98,0.84)
\rput[bl](1.06,0.58){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.71,3.3)
\rput[bl](1.8,3.38){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-0.01,2.49)
\rput[bl](-0.16,2.56){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.99,3.65)
\rput[bl](1.08,3.74){$K$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-5.58,7.72)
\rput[bl](-5.14,7.38){\blue{$L$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-3.46,0.86)
\rput[bl](-3.64,1.02){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](3.86,2.24)
\rput[bl](3.94,2.28){\darkgray{$N$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\definecolor{zzqqqq}{rgb}{0.6,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.22,-2.4) rectangle (4.04,3);
\draw (-1.42,2.5)-- (3.58,2.46);
\draw (3.58,2.46)-- (2.2,1.56);
\draw (-1.42,2.5)-- (-2.8,1.6);
\draw (-2.8,1.6)-- (2.2,1.56);
\draw [color=zzqqqq] (2.2,1.56)-- (2.17,-2.1);
\draw (3.58,2.46)-- (3.55,-1.2);
\draw (3.55,-1.2)-- (2.17,-2.1);
\draw [dotted] (-1.45,-1.16)-- (-1.42,2.5);
\draw (-2.8,1.6)-- (-2.83,-2.06);
\draw [dotted] (-1.45,-1.16)-- (-2.83,-2.06);
\draw (-2.83,-2.06)-- (2.17,-2.1);
\draw [dotted] (3.55,-1.2)-- (-1.45,-1.16);
\draw [color=zzqqqq] (0.46,2.49)-- (2.2,1.56);
\draw [dotted,color=zzqqqq] (0.46,2.49)-- (0.43,-1.17);
\draw [dotted,color=zzqqqq] (0.43,-1.17)-- (2.17,-2.1);
\fill [color=black] (-1.42,2.5) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.6,2.8) node {$A$};
\fill [color=black] (3.58,2.46) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.72,2.66) node {$B$};
\fill [color=black] (2.2,1.56) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.44,1.56) node {$C$};
\fill [color=black] (-2.8,1.6) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-3,1.8) node {$D$};
\fill [color=black] (-1.45,-1.16) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.3,-0.96) node {$E$};
\fill [color=black] (3.55,-1.2) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.7,-1) node {$F$};
\fill [color=black] (2.17,-2.1) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.36,-2.02) node {$G$};
\fill [color=black] (-2.83,-2.06) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-3,-2.08) node {$H$};
\fill [color=uququq] (9.3,5.38) circle (1.5pt);
\draw[color=uququq] (8.34,4.54) node {$P$};
\draw [color=black] (0.46,2.49)-- ++(-1.0pt,0 pt) -- ++(2.0pt,0 pt) ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(0 pt,2.0pt);
\draw[color=black] (0.64,2.72) node {$M$};
\fill [color=qqqqff] (-4.3,6.3) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-4.14,6.22) node {$R$};
\draw [color=black] (0.43,-1.17)-- ++(-1.0pt,0 pt) -- ++(2.0pt,0 pt) ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(0 pt,2.0pt);
\draw[color=black] (0.6,-0.94) node {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\Exoi{\textit{Section plane}\hfill (6 points)\\
$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle de dimension $AB=8$ cm et $AD=DG=4$ cm. \\
$M$ est le point de $[AB]$ tel que $AM=3$.
\begin{enumerate}
\item cf ci-dessus.
\item  La parallèle à la droite $(CG)$ passant par $M$ coupe $(EF)$ en un point $N$. \\
Le point $N$ est donc commun au plan $(MCG)$ et au solide $ABCDEFGH$, il en résultat que la trace du plan $(MCG)$ sur le solide $ABCDEFGH$ est le quadrilatère $MCGN$.\\
Démontrons que ce solide est un rectangle.\\
Les segments $[MN]$ et $[CG]$ sont parallèles par construction, de plus la droite $(MC)$ est perpendiculaire à la droite $(CG)$ et donc à la droite $(MN)$. Enfin la droite $(NG)$ est perpendiculaire aux droites $(CG)$ et $(MN)$ puisque $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle. Il en résultat que $MCGN$ est un rectangle.
\item Tout d'abord $CG=4=MN$. Il reste à déterminer $MC$.\\
Pour cela considérons le triangle rectangle $BMC$ et appliquons le théorème de Pythagore, on a donc :
$$ MB^2+BC^2=MC^2\Longleftrightarrow 5^2+4^2=MC^2\Longleftrightarrow MC=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$$
Les dimensions de ce rectangle sont donc $4$ et $ \sqrt{41}$.
\item Le but de cette question est de déterminer le volume du solide $MCGNBF$
\begin{enumerate}
\item L'aire $\mathscr A$ du triangle $BCM$ est :
$$ \mathscr A=\dfrac{BM\times BC}{2}=\dfrac{5\times 4}{2}=10\quad \text{cm}^2$$
\item Le volume $\mathscr V$ du solide $MCGNBF$ est :
$$ \mathscr V=\mathscr A\times CG= 10\times 4=40\quad \text{cm}^3$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Utiliser des théorèmes} \hfill (3 points)\\
$SABCD$ est un pyramide de sommet $S$ à base rectangulaire telle que $AB=5$ cm et $AC= 3$ cm.
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma à main levée en perspective cavalière de cette pyramide.
 \item Soit $M \in [SC]$. Le plan $(ABM)$ coupe la droite $(SD)$ en $N$.\\
Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles, de plus elles sont contenues dans les plans $(SDC)$ et $(SAB)$, deux plans qui sont sécants en $(MN)$, par conséquent d'après le théorème du toit, les droites $(AB)$, $(DC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
 \item On sait de plus que $\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}$. D'après le théorème de Thalès dans le triangle $SDC$ on a :
 $$ \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{MN}{DC}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}=\dfrac{MN}{5}\Longleftrightarrow MN=\dfrac{10}{3}\quad \text{cm}$$
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.06,-0.46)(3.4,5.88)
\psline[linestyle=dotted](-1.64,0.9)(2.66,0.82)
\psline(2.66,0.82)(1.16,0.02)
\psline[linestyle=dotted](-0.24,5.5)(-1.64,0.9)
\psline(-0.24,5.5)(2.66,0.82)
\psline(-0.24,5.5)(1.16,0.02)
\psline(-0.24,5.5)(-3.14,0.1)
\psline[linestyle=dotted](-1.64,0.9)(-3.14,0.1)
\psline(-3.14,0.1)(1.16,0.02)
\psline(0.32,3.3)(2.66,0.82)
\psline(-1.41,3.33)(0.32,3.3)
\psline[linestyle=dotted](-1.41,3.33)(-1.64,0.9)
\psline(-1.41,3.33)(0.32,3.3)
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-4.06}{3.4}{(--5.71-0.03*x)/1.73}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.64,0.9)
\rput[bl](-1.56,0.94){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.66,0.82)
\rput[bl](2.74,0.86){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.16,0.02)
\rput[bl](1.42,-0.14){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3.14,0.1)
\rput[bl](-3.4,0.18){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.24,5.5)
\rput[bl](-0.28,5.64){$S$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.32,3.3)
\rput[bl](0.4,3.34){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.41,3.33)
\rput[bl](-1.76,3.34){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exoi{\textit{Question Cactus}\\
On considère une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ telle que toutes ses arêtes mesurent $8$ cm. Une fourmi se déplace sur sa surface depuis le milieu $I$ de l'arête $[CD]$ jusqu'au milieu $J$ de l'arête $[SB]$. Quel est, en cm, le plus court chemin possible de $I$ à $J$ ?}

Pour répondre à cette question considérons le patron de la pyramide régulière. Il y a trois chemins pour la fourmi qui semble candidat pour minimiser son trajet :
\begin{enumerate}
\item traverser le carré $ABCD$ puis rejoindre le point $J$ par la face $(SAB)$, la longueur du  trajet serait alors supérieure à $8$ (puisqu'un côté du carré mesure $8$).
\item traverser le carré $ABCD$ jusqu'au côté $[BC]$ puis rejoindre le point $J$, la longueur du trajet serait alors supérieure à $8$ (On le montre en appliquant plusieurs fois le théorème de Pythagore)
\item passer par les faces $SDC$ et $SBC$. Dans la suite on s'intéresse uniquement à ce trajet qui semble et qui est le plus court pour la fourmi.
\end{enumerate} 
Intéressons nous aux deux faces $SDC$ et $SBC$ qui sont deux triangles équilatéraux, on obtient la figure suivante (dans le plan) :

\begin{center}
\definecolor{zzqqqq}{rgb}{0.6,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.58,-0.22) rectangle (3.46,3.54);
\draw (0.06,3.1)-- (-1.86,0.78);
\draw (0.06,3.1)-- (1.11,0.28);
\draw (0.06,3.1)-- (3.03,2.6);
\draw (3.03,2.6)-- (1.11,0.28);
\draw (1.11,0.28)-- (-1.86,0.78);
\draw [color=zzqqqq] (-0.38,0.53)-- (1.54,2.85);
\fill [color=black] (0.06,3.1) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (0,3.34) node {$S$};
\fill [color=black] (-1.86,0.78) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-2.02,0.92) node {$D$};
\fill [color=black] (1.11,0.28) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.28,0.24) node {$C$};
\fill [color=black] (3.03,2.6) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.16,2.8) node {$B$};
\fill [color=black] (-0.38,0.53) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-0.54,0.36) node {$I$};
\fill [color=black] (1.54,2.85) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.64,3.16) node {$J$};
\fill [color=black] (0.58,1.69) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (0.78,1.7) node {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le plus court chemin entre $I$ et $J$ est le segment $[IJ]$ sécant avec $[SC]$ en $E$, démontrons que $E$ est le milieu de $[SC]$.\\
Comme notre pyramide est régulière le quadrilatère non croisé $SDCB$ a ses côtés deux à deux égaux, il s'agit donc d'un parallélogramme, ainsi la diagonale $[SC]$ et la droite $(IJ)$ sont sécantes en $E$ milieu de $[SC]$, on obtient finalement le chemin que doit emprunter la fourmi pour aller de $I$ en $J$ par le chemin le plus court :

\begin{center}
\definecolor{zzqqqq}{rgb}{0.6,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.54,-0.7) rectangle (3.12,4.36);
\draw [dotted] (-1.64,0.9)-- (2.42,0.9);
\draw (2.42,0.9)-- (1.16,0.02);
\draw [dotted] (-0.62,3.6)-- (-1.64,0.9);
\draw (-0.62,3.6)-- (2.42,0.9);
\draw (-0.62,3.6)-- (1.16,0.02);
\draw (-0.62,3.6)-- (-2.9,0.02);
\draw [dotted] (-1.64,0.9)-- (-2.9,0.02);
\draw (-2.9,0.02)-- (1.16,0.02);
\draw [color=zzqqqq] (-0.87,0.02)-- (0.27,1.81);
\draw [color=zzqqqq] (0.27,1.81)-- (0.9,2.25);
\fill [color=black] (-1.64,0.9) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.48,1.1) node {$A$};
\fill [color=black] (2.42,0.9) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.56,1.1) node {$B$};
\fill [color=black] (1.16,0.02) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.5,0.02) node {$C$};
\fill [color=black] (-2.9,0.02) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-3.06,0.26) node {$D$};
\fill [color=black] (-0.62,3.6) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-0.6,3.9) node {$S$};
\draw [color=black] (-0.87,0.02)-- ++(-1.0pt,0 pt) -- ++(2.0pt,0 pt) ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(0 pt,2.0pt);
\draw[color=black] (-0.74,0.26) node {$I$};
\draw [color=black] (0.9,2.25)-- ++(-1.0pt,0 pt) -- ++(2.0pt,0 pt) ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(0 pt,2.0pt);
\draw[color=black] (1.02,2.48) node {$J$};
\draw [color=zzqqqq] (0.27,1.81)-- ++(-0.5pt,0 pt) -- ++(1.0pt,0 pt) ++(-0.5pt,-0.5pt) -- ++(0 pt,1.0pt);
\draw[color=zzqqqq] (0.38,2.12) node {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}