  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Les nombres, équations et inéquations }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Les vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 5}

\Exoi{\textit{Centre de gravité de la dimension $1$ à la dimension $3$}\hfill(16 points)\\
\textit{Les figures seront réalisées sur une feuille de papier blanche.}
\begin{enumerate}
\item On considère un segment $[AB]$ de longueur $5$ cm, et $G$ le point définit par :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item On a :
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}$$
Le point $G$ est au milieu du segment $[AB]$.
\item \quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.01,0.57)(1.6,1.73)
\psline(-2.53,1.02)(0.8,1)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2.53,1.02)
\rput[bl](-2.78,1.1){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.8,1)
\rput[bl](0.98,1.1){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-0.87,1.01)
\rput[bl](-0.97,1.16){$G$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Quel que soit le point $M$ du plan on a :
$$  \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\item On considère un triangle $ABC$ et $G$ son centre de gravité définit par :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$$
\item \quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6.6,5)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)(2.2500,3.6742)
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](6.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.2500,3.6742){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,0.0000){K}
\uput{0.3000}[180.0000](1.1250,1.8371){J}
\uput{0.3000}[0.0000](4.1250,1.8371){I}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4.1250,1.8371)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.1250,1.8371)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(4.1250,1.8371)
\psline(6.0000,0.0000)(1.1250,1.8371)
\psline(2.2500,3.6742)(3.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[0.0000](2.7500,1.2247){G}
\psline(4.5000,-0.1500)(4.5000,0.1500)
\psline(1.5000,-0.1500)(1.5000,0.1500)
\psline(4.9790,0.7904)(5.1889,1.0047)
\psline(4.9361,0.8324)(5.1460,1.0467)
\psline(3.1040,2.6275)(3.3139,2.8418)
\psline(3.0611,2.6695)(3.2710,2.8838)
\psline(1.8319,2.7904)(1.5431,2.7210)
\psline(1.7222,2.6113)(1.6528,2.9001)
\psline(0.7069,0.9533)(0.4181,0.8838)
\psline(0.5972,0.7742)(0.5278,1.0629)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Quel que soit le point $M$ du plan on a :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\item On considère un tétraèdre $ABCD$, notons $G$ le point définit par $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item On a $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}$$
\item Démontrons dans un premier  temps que 
$$ \overrightarrow{DG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DH}$$
où $H$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.\\
D'après la partie précédente pour $M=G$ on a :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GH}=3\overrightarrow{GD}+3\overrightarrow{DH}$$
Ainsi :
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow 3\overrightarrow{GD}+3\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow 4 \overrightarrow{GD}+3 \overrightarrow{DH}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{DG}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DH}$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.78,-4.12)(5.72,4.12)
\psline(-1.66,-1.4)(3.36,-3.78)
\psline(3.36,-3.78)(4.72,-1.3)
\psline(4.72,-1.3)(-1.66,-1.4)
\psline(-1.66,-1.4)(1.36,3.28)
\psline(1.36,3.28)(4.72,-1.3)
\psline(1.36,3.28)(3.36,-3.78)
\psline(-1.66,-1.4)(4.04,-2.54)
\psline(3.36,-3.78)(1.53,-1.35)
\psline(1.36,3.28)(2.14,-2.16)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.66,-1.4)
\rput[bl](-2.04,-1.36){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.72,-1.3)
\rput[bl](4.8,-1.26){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.36,-3.78)
\rput[bl](3.54,-4.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.36,3.28)
\rput[bl](1.16,3.5){$D$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.14,-2.16)
\rput[bl](1.78,-2.46){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.95,-0.8)
\rput[bl](2.02,-0.68){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,4.12)
\rput[bl](-3.92,4.24){\blue{$K$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Quel que soit le point $M$ de l'espace, on a :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textit{Alignement}\hfill (4 points)\\
$ABCD$ est un parall\'elogramme.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $E$ et $F$ d\'efinis par $ \overrightarrow{AE}= \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{DF}=-2 \overrightarrow{DA}$\\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.93,-3.08)(7.51,3.01)
\psline(-1.92,1.88)(3.84,1.88)
\psline(3.84,1.88)(1.92,0.4)
\psline(-3.84,0.4)(-1.92,1.88)
\psline(-3.84,0.4)(1.92,0.4)
\psline{->}(-1.92,1.88)(6.72,1.88)
\psline{->}(-3.84,0.4)(-7.68,-2.56)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.92,1.88)
\rput[bl](-1.79,2.08){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.84,1.88)
\rput[bl](3.97,1.93){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.92,0.4)
\rput[bl](2.29,-0.08){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-3.84,0.4)
\rput[bl](-4.28,0.13){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.72,1.88)
\rput[bl](6.85,1.93){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-7.68,-2.56)
\rput[bl](-8.09,-2.63){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item On a :
 $$ \overrightarrow{FE}= \overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=-2 \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AD}$$
  De plus,
   $$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}$$
\item Par conséquent, en utilisant les résultats de la question précédente on a :
$$ \overrightarrow{FE}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AD}=3\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}\right)=3 \overrightarrow{CE}$$ 
Ce qui démontre que les vecteurs $ \overrightarrow{FE} $ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires.
\item Comme $ \overrightarrow{FE} $ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires on en d\'eduire que $E$, $F$ et $C$ sont align\'es.
\end{enumerate}}

\end{document}