\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 4 : Les fonctions, le retour }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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\newcommand{\Ch}{Les fonctions}	
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Les fonctions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 4: Les fonctions}

\Exoi{On consid\`ere un cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon 1. Soit $I\in \mathscr{C}$
 et $M\in [OI]$, diff\'erent de $O$ et $I$. 
La perpendiculaire \`a la droite $(OI)$ passant par $M$ coupe  $\mathscr{C}$ en $A$ et $B$.
\begin{enumerate}
 \item cf ci-dessous.
 \item voir figure.
 \item Les triangles $ABF$ et $EBF$ sont inscrit dans $\mathscr C$, de plus un de leurs côtés $[BF]$ est un diamètre de $\mathscr C$, par conséquent ce sont deux triangles rectangles en $A$ et en $E$. Le même raisonnement est valable pour les triangles $ABE$ et $AFE$, ainsi le quadrilatère $ABEF$ a quatre angles droits, il s'agit donc d'un rectangle.
 \item On note $OM=x$ et $\mathscr A (x)$ la fonction donnant l'aire du rectangle $AFEB$ en fonction de $x$.
\begin{enumerate}
 \item Etant donné que $M$ varie entre $O$ et $I$, la longueur $OM=x$ varie entre $0$ et $1$ donc :
 $$ D_f=]0;1[$$ 
 \item $$\mathscr A (x)=AB\times AF=AB\times 2x$$
 Dans le triangle rectangle $ AMO$ nous calculons $MO$ à l'aide du théorème de Pythagore. Notons que $AO=1$ puisque étant un rayon du cercle $\mathscr C$ 
Ainsi : $$ AM^2+MO^2=OA^2\Longleftrightarrow AM^2=1-x^2\Longleftrightarrow AM=\sqrt{1-x^2}$$
Par conséquent $AB=2 \sqrt{1-x^2}$, et donc 
$$ \mathscr A(x)=2x\times 2 \sqrt{1-x^2}=4x \sqrt{1-x^2}$$
\end{enumerate}
\item Cf ci-dessous.
\item D'après le graphique l'aire maximale semble être $2$ cm$^2$, atteinte pour environ $0,7$. \\
Essayons de prouver cette conjecture.\\
On va montrer que la fonction $\mathscr A$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right]$ puis décroissante sur $ \left[\dfrac{\sqrt{2} }{2};1\right[$. \\
Considérons deux réels $a$ et $b$ dans l'intervalle  $\left]0;\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right]$ tel que $0<a<b\leq \dfrac{\sqrt{2} }{2}$. Montrons que $f(a)<f(b)$ pour vérifier que les images sont rangés dans le même ordre que les antécédents.\\
Comparer $f(a)$ et $f(b)$ revient à comparer leur carré : 
$$ f(a)^2-f(b)^2=16a^2(1-a^2)-16b^2(1-b^2)=16(a^2-a^4-b^2+b^4)=16(a^2-b^2-(a^4-b^4))=16((a^2-b^2)-(a^2-b^2)(a^2+b^2))=16(a^2-b^2)(1-a^2-b^2)$$
Comme $a<b$ on a $a^2-b^2<0$ et comme $a$ et $b$ sont compris entre $0$ et $ \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$ alors $1-a^2-b^2>0$, ainsi $f(a)^2-f(b)^2<0$ et donc $f(a)<f(b)$ ce qui prouve que la fonction $f$ est strictement croissante sur  $\left]0;\dfrac{\sqrt{2} }{2}\right]$. \\
On procède de même pour démontrer qu'elle est strictement décroissante sur $ \left[\dfrac{\sqrt{2} }{2};1\right[$, ce qui justifie le tableau de variation suivant :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&&\tx{1}\cr
\tx{f}&&\fm&\txh{2}&\fd&\cr
}$$
Ainsi on a bien démontré que $\mathscr A$ admet $2$ pour maximum atteint en $ \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$.\\
\item De plus si $x= \dfrac{\sqrt{2} }{2}$ alors $OM=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$ et donc $$AF= \sqrt{2}$$
De plus $$AB=2 \sqrt{1-x^2}2 \sqrt{1-\dfrac{2}{4} }= 2\times \dfrac{1}{\sqrt{2} }=\dfrac{2 \sqrt{2} }{2}=\sqrt{2}$$
Ainsi $AB=AF$ et le rectangle $ABEF$ est donc un carré.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.82,-2.66)(3.12,5.74)
\pscircle(-1.36,1.26){3.56}
\psline(-1.36,1.26)(0.11,4.5)
\psplot{-5.82}{3.12}{(-11.39--1.47*x)/-3.24}
\psplot{-2.47}{3.12}{(-3.19-3.38*x)/1.11}
\psplot{-5.82}{1.91}{(-6.01-1.39*x)/-3.27}
\psline(-2.47,4.64)(-4.63,-0.13)
\psline(-4.63,-0.13)(-0.25,-2.12)
\psline(-0.25,-2.12)(1.91,2.65)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.36,1.26)
\rput[bl](-1.5,0.86){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.11,4.5)
\rput[bl](0.18,4.54){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.28,3.64)
\rput[bl](-0.1,3.74){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.47,4.64)
\rput[bl](-2.64,4.86){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.91,2.65)
\rput[bl](2,2.68){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.25,-2.12)
\rput[bl](-0.06,-2.32){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-4.63,-0.13)
\rput[bl](-4.88,-0.48){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=8cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(1.3,2.3)
\def\xmin{-0.2} \def\xmax{1.2} \def\ymin{-0.2} \def\ymax{2.2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.3,-0.3)(1.3,2.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{4 x mul 1 x 2 exp sub 1 2 div exp mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}

\endpsclip
\end{pspicture*}


\end{center}
\pagebreak
\Exoi{}On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;4]$ par : $$ f(x)=x^2+x-6$$La représentation graphique $\mathscr C_f$ est donnée ci-dessous
\begin{enumerate}
\item 
En faisant apparaître les traits de construction, utiliser le graphique pour :  \begin{enumerate}
\item $f(0)=-6$ et $f(2)=0$
\item $-7$ n'a pas d'antécédents et  $-4$ en a $2$, qui sont $-2$ et $1$
\item L'équation $f(x)=6$ admet deux solutions $-4$ et $3$
\end{enumerate}
\item Dans cette question, il s'agit de justifier les résultats à l'aide de calculs
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\R$ on a : 
$$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 -6,25=x^2+x+\dfrac{1}{4}-6,25=x^2+x-6=f(x)$$
\item Sur $[-4;-0,5]$,
considérons deux réels $a$ et $b$ tels que :
\begin{eqnarray*}
&& -4 \leq a<b\leq -0,5\\
&\Longleftrightarrow & -3,5\leq a+\dfrac{1}{2}<b+\dfrac{1}{2}\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & (-3,5)^2\geq \left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2\geq 0 \text{ car on élève des nombres négatifs au carré}\\
&\Longleftrightarrow & (-3,5)^2-6,25\geq \left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2-6,25>\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2-6,25\geq -6,25 \\
&\Longleftrightarrow & (-3,5)^2-6,25\geq f(a)>f(b)\geq -6,25 \\
\end{eqnarray*} 
Ce qui prouve que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[-4;-0,5]$
\newline Sur $[-0,5;4]$,
considérons deux réels $a$ et $b$ tels que :
\begin{eqnarray*}
&& -0,5 \leq a<b\leq 4\\
&\Longleftrightarrow & 0\leq a+\dfrac{1}{2}<b+\dfrac{1}{2}\leq 4,5\\
&\Longleftrightarrow & (0\leq \left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2<\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2\leq 4,5^2 \text{ car on élève des nombres positifs au carré}\\
&\Longleftrightarrow & -6,25\leq \left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2-6,25<\left(b+\dfrac{1}{2}\right)^2-6,25\leq 4,5^2-6,25\\
&\Longleftrightarrow &  f(a)<f(b) \\
\end{eqnarray*} 
Ce qui prouve que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-0,5;4]$
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1, $f(x)$/2}{$-4$, $-\dfrac{1}{2}$, $+4$}% 
%\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ 6$ , -/ $-6.25$, +/ $14 $ } 
%\tkzTabTan[]{1}{2}{2}{$ f(a) $} 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\item Pour tout $x\in\R$ on sait que : 
\begin{eqnarray*}
&& \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\geq 0\\
&\Longleftrightarrow & \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-6,25\geq -6,25\\
&\Longleftrightarrow & f(x)\geq -6,25\\
\end{eqnarray*}
De plus on a $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-6,25$, par conséquent le minimum de $f$ sur $\R$ est $-6,25$
\item On cherche les réels $x$ qui ont pour image $-6$
\begin{eqnarray*}
&& f(x)=-6\\
&\Longleftrightarrow & x^2+x-6=-6\\
&\Longleftrightarrow & x^2+x=0\\
&\Longleftrightarrow & x(x+1)=0\\
&\Longleftrightarrow & x=0 \text{ ou }x=-1\\
\end{eqnarray*}
$-6$ a donc deux antécédents qui sont $0$ et $-1$
\item $(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x+6=x^2+x+6$
\end{enumerate}
\item Résolvons l'inéquation $f(x)\leq 0$, pour cela construisons le tableau de signe de $f$ :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-3}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-2}&&&\tx{-}&&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{x+3}&&\tx{-}&\txt{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
}$$
On a donc $f(x)\leq 0$ pour $x\in[-3;2]$, la courbe étant sous l'axe des abscisses uniquement pour des valeurs de $x$ dans $[-3;2]$, le résultat est cohérent avec le graphique.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-7.1)(4.1,14.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-7} \def\ymax{14}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.1,-7.1)(4.1,14.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp x add 6 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\uput[ur](3.5,13){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}
