  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Les nombres, équations et inéquations }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Les nombres, équations et inéquations}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 2}

\Exoi{\textit{Résoudre un problème}\hfill(4 points)\\
Pour noël, un patissier compte fabriquer $50$ choux à la crème et $70$ éclairs au chocolat. Pour les commercialiser, il a l'intention de les présenter en lots, qui comporteront tous le même nombre de choux et d'éclairs. Pour des raisons esthétiques, il s'interdit de proposer à la vente des lots obtenus en partageant un choux ou un éclair.\\
On appelle $N$ le nombre de lots de composition identique qu'il peut ainsi réaliser.
\begin{enumerate}
\item On veut un nombre entier de choux à la crème et d'éclairs dans chaque lot. Si $x$ est le nombre de lots, on aura $ \dfrac{50}{x}$ choux et $ \dfrac{70}{x}$ éclairs par lot. \\
$ \dfrac{50}{x}$ et $ \dfrac{70}{x}$ doivent être des nombres entiers donc $x$ est un diviseur de $50$ et de $70$.
\item Le plus grand nombre de lots est le plus grand diviseur commun de $50$ et de $70$ i.e le $PGCD$ de $50$ et de $70$. \\
Comme $70=50\times 1+20$, puis $50=20 \times 2+10$ puis $20=10\times 2+0$. Le $PGCD$ est le dernier reste non nul (d'après l'algorithme d'Euclide i.e $10$. $N=10$ est bien le nombre maximal. Dans chaque lot, on trouvera donc $5$ choux à la crème et $7$ éclairs au chocolat.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Un nouvel ensemble stable pour les $4$ opérations}\hfill (6 points)\\
On note $\Q(\sqrt{2})$ un nouvel ensemble définie par :
$$ \Q(\sqrt{2})=\{a+b \sqrt{2}\text{ tel que } a\in\Q \text{ et }b \in \Q\}$$
\begin{enumerate}
\item Notons $u=1+\sqrt{2}$ et $v=\sqrt{2}$ sont deux nombres de la forme $a+b \sqrt{2}$ qui ne sont pas des nombres décimaux (leur écriture décimale ne s'arrête jamais).
\item On a $u+v=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}=1+2 \sqrt{2}$, puis
$$ u-v=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}=1$$ 
puis $ u\times v=(1+\sqrt{2})\sqrt{2}=\sqrt{2}+2$ et enfin $$  \dfrac{u}{v}=\dfrac{1+\sqrt{2} }{ \sqrt{2} }=\dfrac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2} }{ \sqrt{2}\times \sqrt{2} }=\dfrac{\sqrt{2}+2 }{2}$$
\item Dans un premier temps comme $\R$ est l'ensemble \og le plus gros possible \fg on a forcément  $\Q(\sqrt{2})\subset \R$
\\
De plus si $q\in\Q$ alors $q=q+0 \sqrt{2}$ est de la forme $a+b \sqrt{2}$ avec $a=q\in\Q$ et $b=0\in \Q$ donc $q \in   \Q(\sqrt{2})$ ce qui prouve que $$ \Q \subset \Q(\sqrt{2})$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{On connait la somme et le produit}\hfill (4 points)\\
Un rectangle a pour périmètre $P = 14$ m et pour aire $\mathscr A = 12$ m$^2$.\\
Le but du problème est de déterminer les dimensions du rectangle. Pour cela, notons $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle.
\begin{enumerate}
\item Comme $P=14$ on a :
$$ 2x+2y=14\Longleftrightarrow x+y=7\Longleftrightarrow y=7-x$$
\item Comme $\mathscr A=12$ on a:
$$ xy=12\Longleftrightarrow x(7-x)=12\Longleftrightarrow 7x-x^2-12=0\Longleftrightarrow x^2-7x+12=0$$
\item On a pour tout $x\in\R$, $$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$$
\item On résout l'équation $x^2-7x+12=0$ à l'aide de la question précédente, en effet :
\begin{eqnarray*}
& x^2-7x+12=0\\
\Longleftrightarrow & \left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\\
\Longleftrightarrow & x-3=0\qquad \text{ou}\qquad x-4=0\\
\Longleftrightarrow & x=3\qquad \text{ou}\qquad x=4
\end{eqnarray*}
Lorsque $x=3$ alors $y=7-3=4$ et lorsque $x=4$ alors $y=7-4=3$, par conséquent la largeur du rectangle est de $3$ m et la longueur est de $4$ m.
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Un peu d'arithmétique}\hfill (6 points)\\
On considère un nombre $A=4n+2$ où $n$ désigne un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ pour $n=0$ ; $n=1$ ; $n=2$ ; $n=7$.
\begin{multicols}{4}
Pour $n=0$\\
$A=0+2=2$\\
Pour $n=1$\\
$A=4+2=6$\\
Pour $n=2$\\
$A=8+2=10$\\
Pour $n=7$\\
$A=28+2=30$
\end{multicols}
\item Un nombre $A$ est pair si on peut l'écrire sous la forme $2k+1$ où $k$ désigne un nombre entier naturel.\\
Or, $A=4n+2=2(2n+1)$ $k=2n+1$ désigne un entier naturel par conséquent $k$ est pair.
\item  $A$ n'est pas un multiple de $4$ si on peut l'écrire sous la forme $A=4k$ où $k$ désigne un entier naturel.\\
Or, $A=4n+2=4\left(n+\dfrac{1}{2}\right)$, mais $n+\dfrac{1}{2}$ n'est pas un entier, par conséquent $A$ n'est pas un multiple de $4$.
\item Soit $k$ un nombre entier. 
\begin{enumerate}
\item Si $k$ est pair alors $k=2n$ avec $n$ entier naturel. Par conséquent 
$k^2=(2n)^2=4n^2$ avec $n^2$ entier, donc $k^2$ est un multiple de $4$.
\item Si $k$ est impair alors $k=2n+1$ avec $n$ entier naturel et 
$$k^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$$
$k^2$  est un nombre pair auquel on a ajouté $1$ i.e $k^2$ est un nombre impair.
\item D'après la question $4. (a)$ on a montré que si $k$ est pair, alors $k^2$ est un multiple de $4$ et à la question $3.$ on a montré que $A$ n'est pas un multiple de $4$ donc $A$ ne peut pas être le carré d'un nombre pair.\\
De plus d'après la question $4. (b)$ on a montré que si $k$ est impair alors $k^2$ est aussi impair et à la question $2.$ on a montré que $A$ est pair, donc $A$ ne peut pas être non plus le carré d'un nombre pair.
\\
Au final $A$ n'est le carré d'aucun nombre entier (i.e montrer que $4n+2\neq k^2$ quelque soit l'entier $k$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textit{Défi}\hfill (3 points)\\
On considère un nombre premier $p>3$. \\
Notons dans un premier temps que 
$$ p^2-1=(p-1)(p+1)$$
Comme $p$ est un nombre premier supérieur à $3$, $p$ n'est pas pair, par conséquent $p-1$ ET $p+1$ sont tous deux pairs.\\
Il en résulte que le produit $(p-1)(p+1)$ est un multiple de $4$ (puisque le produit de deux nombres pairs).\\
De plus $p-1$, $p$ et $p+1$ sont trois nombres entiers consécutifs, par conséquent parmi eux figure exactement un multiple de $3$. Comme $p$ est premier et comme $p$ est supérieur à 3, $p$ n'est pas un multiple de $3$, par conséquent soit $p-1$ soit $p+1$ est un multiple de $3$. Il en résulte que $p^2-1$ est un multiple de $3$ et de $4$, donc de $12$.
}
\end{document}