  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les bases du calcul}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 1}

\Exoi{\textit{Factoriser-Développer}\hfill(2 points)\\
Est-il possible que $x^2-3x+4$ s'écrive pour tout $x$ réel comme un produit de la forme $(x+1)(ax+b)$ avec $a$ et $b$ réels ?\\
Si on pouvait écrire $x^2-3x+4$ sous la forme $(x+1)(ax+b)$, l'égalité serait vraie pour tout $x$.\\
Or pour $x=-1$, on a d'une part 
$$ x^2-3x+4=1+3+4=8$$
Et d'autre part $$ (x+1)(ax+b)=0$$
Par conséquent une telle écriture est impossible.\\
On pouvait aussi procéder par identification i.e :
$$ (x+1)(ax+b)=ax^2+bx+ax+b=ax^2+(a+b)x+b$$
Pour pouvoir écrire $x^2-3x+4$ sous la forme voulue il faut que $a=1$, $b=4$ et $a+b=-3$.\\
Or dans ce cas $a+b=5\neq -3$ et rend donc impossible une telle écriture.
}

\Exoi{\textit{Un peu de calcul !}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item  
\begin{eqnarray*}
\dfrac{25^{-2}\times \left( 15^3 \right) ^6}{9^4\times \left(-5\right)^3}=& -\dfrac{15^{18}}{25^2\times 3^8 \times5^3}\\
=& -\dfrac{5^{18}\times 3^{18}}{5^4\times 3^8\times 5^3}\\
=& -\dfrac{5^{18}\times 3^{10}}{5^7}\\
=& -5^{11}\times 3^{10}
\end{eqnarray*}
On trouve : \boite{\dfrac{25^{-2}\times \left( 15^3 \right) ^6}{9^4\times \left(-5\right)^3}=-5^{11}\times 3^{10}}
\item $$A=(2x+1)^2-(2x+1)=(2x+1)(2x+1-1)=2x(2x+1)$$
La forme factorisée de $A$ est donc : \boite{A=2x(2x+1)}
 $$B=(4x+3)(x+5)+16x^2+24x+9=(4x+3)(x+5)+(4x+3)^2=(4x+3)[(x+5)+(4x+3)]=(4x+3)(5x+8)$$
 La forme factorisée de $B$ est donc : \boite{B=(4x+3)(5x+8)}
\item $$A=14\sqrt{50}-8\sqrt{72} +\sqrt{2}+\sqrt{32}-15=14 \sqrt{25\times 2}-8 \sqrt{2\times 36}+\sqrt{2}+\sqrt{2\times 16}-15=70 \sqrt{2}-48 \sqrt{2}+\sqrt{2}+4 \sqrt{2}-15=-15+27 \sqrt{2} $$
Au final \boite{A=-15+27 \sqrt{2} }
\end{enumerate}
}
\newpage
\Exoi{\textit{Vitesse Moyenne}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item Un cycliste effectue l'ascension d'une côte à $10$ km.h$^{-1}$ et la redescend à $40$ km.h$^{-1}$.\\
Quelle est sa vitesse moyenne $v$ sur l'ensemble du parcours ? \footnote{On pourra raisonner sur une côte d'une longueur de $10$ km.}\\
\underline{\textbf{Cas Particulier}} : La longueur de la côte est de $10$ km.\\
Pour la montée il faut $1$ heure, en effet :
$$ v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 10=\dfrac{10}{t}\Longleftrightarrow 10t=10\Longleftrightarrow t=1$$
Pour la descendre il faut $1/4$ d'heure, en effet :
$$ v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 40=\dfrac{10}{t}\Longleftrightarrow 40t=10\Longleftrightarrow t=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}$$
Au final le cycliste a parcouru $20$ km en $1h1/4$. Sa vitesse moyenne est donc :
$$ v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{20 }{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{20}{\dfrac{5}{4} }=\dfrac{20\times 4}{5}=16\text{ km.h$^{-1}$}$$
\underline{\textbf{Cas Général}} : La longueur de la côte est de $d$ km.\\
Pour la montée il faut $ \dfrac{d}{10} $ heure, en effet :
$$ v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 10=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 10t=d\Longleftrightarrow t=\dfrac{d}{10}$$
Pour la descendre il faut $ \dfrac{d}{40}$ heure, en effet :
$$ v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 40=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow 40t=d\Longleftrightarrow t=\dfrac{d}{40}$$
Au final le cycliste a parcouru $2d$ km en $\dfrac{d}{10}+ \dfrac{d}{40}=\dfrac{4d+d}{40}=\dfrac{5d}{40}=\dfrac{d}{8}$ heure. Sa vitesse moyenne est donc :
$$ v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{2d }{\dfrac{d}{8} }=\dfrac{2d \times 8}{d }=\dfrac{16d}{d}=16\text{ km.h$^{-1}$}$$
Par conséquent la vitesse moyenne de note cycliste est \boite{v=16\text{ km.h$^{-1}$} }
\item On dit qu'un réel $x$ est la \textit{moyenne harmonique} de deux nombres $a$ et $b$ si et seulement si $$ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}\right)\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{1}{x}=\dfrac{a+b}{2ab}\\
\Longleftrightarrow & x(a+b)=2ab\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{2ab}{a+b}
\end{eqnarray*}
Au final on trouve que \boite{x=\dfrac{2ab}{a+b}}
\item Si $a=10$ et $b=40$ alors $$ x=\dfrac{2\times 10\times 40}{10+40}=\dfrac{800}{50}=\dfrac{80}{5}=16$$
Autrement dit la vitesse moyenne du cycliste est la moyenne harmonique des deux vitesses du cycliste !
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Utiliser un résultat}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item $$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n(n+1)}$$
\item \begin{eqnarray*}
S&=&\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\dfrac{1}{5\times 6}+\dfrac{1}{6\times 7}+\dfrac{1}{7\times 8}+\dfrac{1}{8\times 9}+\dfrac{1}{9\times 10} \\
&=&\left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right) + \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)  +\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right) + \left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right) + \left( \dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}\right) \\
&& + \left( \dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}\right) + \left( \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}\right) + \left( \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right) \\
&=& 1-\dfrac{1}{10} \\
&=& \dfrac{9}{10}
      \end{eqnarray*}
\item 
\begin{eqnarray*}
 S&=&\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dots+\dfrac{1}{(n-1)\times n}+\dfrac{1}{n\times (n+1)} \\
&=& \left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right) + \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) +\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) +\dots+ \left( \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right) + \left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\
&=& 1-\dfrac{1}{n+1} \\\\
&=& \dfrac{n+1-1}{n+1} \\\\
&=&\dfrac{n}{n+1}  \qquad\qquad CQFD 
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
}

\newpage
\Exoi{\textit{Trouver la tache !}\hfill (\textbf{Bonus} - 3 points)\\
Retrouver le nombre caché sous la tache : 
$$ \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{\text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}}$$
On a donc : $$\dfrac{1}{\text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}}= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{40}-\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{60}$$
i.e : $$ \dfrac{1}{\text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}}=\dfrac{15}{60}-\dfrac{6}{60}-\dfrac{3}{60}-\dfrac{2}{60}-\dfrac{1}{40}-\dfrac{1}{50}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{3}{60}-\dfrac{1}{40}-\dfrac{1}{50}$$
donc : $$ \dfrac{1}{\text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}}=\dfrac{1}{20}-\dfrac{5}{200}-\dfrac{4}{200}=\dfrac{10}{200}-\dfrac{9}{200}=\dfrac{1}{200}$$
Au final : \boite{ \text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}=200}
}


\Exoi{\textit{Qui s'y frotte s'y pique ! }\hfill (\textbf{Bonus} - 3 points)\\
\'A l'aide des quatre opérations élémentaires (éventuellement des parenthèses) et en utilisant une seule fois les nombres 1, 5, 6 et 7, trouver 21.\\
On a bien $$ \dfrac{6}{1-\dfrac{5}{7}}=\dfrac{6}{\dfrac{2}{7} }=6\times \dfrac{7}{2}=3\times 7=21$$ }
\end{document}