\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (6 points)\\Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes (on écrira l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle) :
\begin{enumerate}
\item $x-2\geq 0\Longleftrightarrow x\geq 2\Longleftrightarrow \mathscr S=[2;+\infty[$
\item $ 2x+5>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2x>\dfrac{1}{2}-5\Longleftrightarrow 2x>-\dfrac{9}{2}\Longleftrightarrow x>-\dfrac{9}{4}\Longleftrightarrow \mathscr S=\left]-\dfrac{9}{4};+\infty\right[$
\item $ \dfrac{1-3x}{4}\leq 0\Longleftrightarrow 1-3x\leq 0\Longleftrightarrow -3x\leq -1\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{1}{3}$. Par conséquent : $$ \mathscr S=\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$$
\item $3x-3<5-2x\Longleftrightarrow 5x<8\Longleftrightarrow x<\dfrac{8}{5}\Longleftrightarrow \mathscr S=\left]-\infty;\dfrac{8}{5}\right[$
\item $ 2(x-8)\geq 8-3x\Longleftrightarrow 2x-16+3x\geq 8\Longleftrightarrow 5x\geq 24\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{24}{5}$. Par conséquent : $$ \mathscr S=\left[\dfrac{24}{5};+\infty\right[$$
\item $ \dfrac{x-2}{3}-\dfrac{1-x}{2}\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{2x-4}{6}-\dfrac{3-3x}{6}\geq 0\Longleftrightarrow \dfrac{2x-4-3+3x}{6}\geq 0\Longleftrightarrow 5x-7\geq 0\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{7}{5}$. Par conséquent $$ \mathscr S=\left[\dfrac{7}{5};+\infty\right[$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (4 points) \\
\begin{enumerate}
\item On note $f(x)=x^2+2x-3$ pour tout $x\in\R$.
\begin{enumerate} \item Pour tout $x\in\R$ on a : $ \qquad \qquad(x+3)(x-1)=x^2-x+3x-3=x^2+2x-3$
\item Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ (x+1)^2-4=x^2+2x+1-4=x^2+2x-3$$
\end{enumerate}
\item Résoudre chacune des inéquations suivantes en choisissant l'expression de $f(x)$ la mieux adpatée :
\begin{enumerate}
\item $ f(x)>x^2-1\Longleftrightarrow x^2+2x-3>x^2-1\Longleftrightarrow 2x-3>-1\Longleftrightarrow 2x>2\Longleftrightarrow x>1 \Longleftrightarrow \mathscr S=]1;+\infty[$
\item $f(x)\leq -4 \Longleftrightarrow (x+1)^2-4\leq -4\Longleftrightarrow (x+1)^2\leq 0 \Longleftrightarrow (x+1)^2=0\Longleftrightarrow x=-1\Longleftrightarrow \mathscr S=\{-1\}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (6 points)\\Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes (on écrira l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle) :
\begin{enumerate}
\item $x-2\leq 0\Longleftrightarrow x\leq 2\Longleftrightarrow \mathscr S=]-\infty;2]$
\item $ 2x-5>\dfrac{1}{3}\Longleftrightarrow 2x>\dfrac{1}{3}+5\Longleftrightarrow 2x>\dfrac{16}{3}\Longleftrightarrow x>\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}\Longleftrightarrow \mathscr S=\left]\dfrac{8}{3};+\infty\right[$
\item $ \dfrac{1-3x}{5}\geq 0\Longleftrightarrow 1-3x\geq 0\Longleftrightarrow -3x\geq -1\Longleftrightarrow x\leq \dfrac{1}{3}$. Par conséquent : $$ \mathscr S=\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]$$
\item $3x-1<5+2x\Longleftrightarrow x<6\Longleftrightarrow \mathscr S=\left]-\infty;6\right[$
\item $ 2(2x-4)\geq 8-4x\Longleftrightarrow 4x-8+4x\geq 8\Longleftrightarrow 8x\geq 16\Longleftrightarrow x\geq 2$. Par conséquent : $$ \mathscr S=\left[2;+\infty\right[$$
\item $ \dfrac{x-1}{3}-\dfrac{2-x}{2}\leq 0\Longleftrightarrow \dfrac{2x-2}{6}-\dfrac{6-3x}{6}\leq 0\Longleftrightarrow \dfrac{2x-2-6+3x}{6}\leq 0\Longleftrightarrow 5x-8\leq 0\Longleftrightarrow x\leq \dfrac{8}{5}$. Par conséquent $$ \mathscr S=\left]-\infty;\dfrac{8}{5}\right]$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (4 points) \\
\begin{enumerate}
\item On note $f(x)=x^2+4x-10$ pour tout $x\in\R$.
\begin{enumerate} \item Pour tout $x\in\R$ on a : $ \qquad \qquad(x+5)(x-2)=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10$
\item Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2-\dfrac{49}{4} =x^2+3x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{49}{4} =x^2+3x-\dfrac{40}{4}=x^2+3x-10$$
\end{enumerate}
\item Résoudre chacune des inéquations suivantes en choisissant l'expression de $f(x)$ la mieux adpatée :
\begin{enumerate}
\item $ f(x)>x^2-1\Longleftrightarrow x^2+3x-10>x^2-1\Longleftrightarrow 3x-10>-1\Longleftrightarrow 3x>9\Longleftrightarrow x>3 \Longleftrightarrow \mathscr S=]3;+\infty[$
\item $f(x)\leq -\dfrac{49}{4}\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2-\dfrac{49}{4} \leq -\dfrac{49}{4}\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2\leq 0 \Longleftrightarrow x+\dfrac{3}{2}  =0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{3}{é}\Longleftrightarrow \mathscr S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\end{document}
