\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro

\Exoi{\hfill (3 points)\\Soit $n$ un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item $(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$
\item Tout nombre impair s'écrit sous la forme $2n+1$ où $n$ est un entier, par conséquent d'après la question précédente  tout nombre impair est une différence de deux carrés consécutifs, en l'occurence $(n+1)^2$ et $n^2$ .
\item Comme $597=2\times 298 +1$ alors $597=299^2-298^2$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
 &\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=3x+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1}{2}x-3x=\dfrac{1}{4}+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1-6}{2}x=\dfrac{1+20}{4}\\
\Longleftrightarrow &-\dfrac{5}{2}x=\dfrac{21}{4}\\
\Longleftrightarrow &x=-\dfrac{21}{4}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{21}{10}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{21}{10}\right\}$$
\item \begin{eqnarray*}
& x^2+4x+4=0\\
\Longleftrightarrow & (x+2)^2=0\\
\Longleftrightarrow & x+2=0\\
\Longleftrightarrow & x=-2
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-2\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $2-x=0\Longleftrightarrow x=2$. Par conséquent pour tout $x\neq 2$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{4-x^2}{2-x}=0\\
\Longleftrightarrow & 4-x^2=0\\
\Longleftrightarrow & x^2=4\\
\Longleftrightarrow & \quad x=2\text{ ou }\quad x=-2\\
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-2\}$$
\item
\begin{eqnarray*}
& x(x-2)=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & x^2-2x=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & -2x-18x=-5\\
\Longleftrightarrow & -20x=-5\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
On considère deux nombres réels $x$ et $y$ tels que :
$$ 4\leq x<9\qquad \text{et}\qquad 0< y\leq 3$$
\begin{enumerate}
\item On a $$4\leq x<9\Longleftrightarrow 12\leq 3x<27$$ puis $$ 0< y\leq 3\Longleftrightarrow 0>-4y\geq -12\Longleftrightarrow -12\leq -4y<0$$.
\item Et donc $$12-12\leq 3x-4y<27+0\Longleftrightarrow 0\leq 3x-4y<27$$.
\end{enumerate}}


\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}6$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\hfill (3 points)\\Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$. \\
On pose : $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad a=\dfrac{p+1}{2}\qquad \text{et}\qquad b=\dfrac{p-1}{2}$
\begin{enumerate}
\item Comeme $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à $3$, alors $p$ est un nombre impair. Par conséquent $p+1$ et $p-1$ sont des nombres pairs, ils sont divisibles par $2$ et donc $a$ et $b$ sont des entiers.
\item $a^2-b^2=\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2=\dfrac{p^2+2p+1}{4}-\dfrac{p^2-2p+1}{4}=\dfrac{p^2+2p+1-p^2+2p-1}{4}=\dfrac{4p}{4}=p$.
\item \underline{Application} : $a=\dfrac{31+1}{2}=16$ et $b=\dfrac{31-1}{2}=15$, par conséquent $$ 31=16^2-15^2$$ 
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
 &\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}=3x+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1}{3}x-3x=-\dfrac{1}{4}+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1-9}{2}x=\dfrac{-1+20}{4}\\
\Longleftrightarrow &-4x=\dfrac{19}{4}\\
\Longleftrightarrow &x=-\dfrac{19}{16}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{19}{16}\right\}$$
\item \begin{eqnarray*}
& x^2-4x+4=0\\
\Longleftrightarrow & (x-2)^2=0\\
\Longleftrightarrow & x-2=0\\
\Longleftrightarrow & x=+2
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{2\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $4-x=0\Longleftrightarrow x=4$. Par conséquent pour tout $x\neq 4$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{16-x^2}{4-x}=0\\
\Longleftrightarrow & 16-x^2=0\\
\Longleftrightarrow & x^2=16\\
\Longleftrightarrow & \quad x=4\text{ ou }\quad x=-4\\
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-4\}$$
\item
\begin{eqnarray*}
& x(x-6)=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & x^2-6x=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & -6x-18x=-5\\
\Longleftrightarrow & -24x=-5\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{5}{24}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{5}{24}\right\}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
On considère deux nombres réels $x$ et $y$ tels que :
$$ 1\leq x<5\qquad \text{et}\qquad 2< y\leq 7$$
\begin{enumerate}
\item On a $$1\leq x<5\Longleftrightarrow 3\leq 3x<15$$ puis $$ 2< y\leq 7\Longleftrightarrow -8>-4y\geq -28\Longleftrightarrow -28\leq -4y<-8$$.
\item Et donc $$3-28\leq 3x-4y<7-8\Longleftrightarrow -25\leq 3x-4y<-1$$.
\end{enumerate}}
\end{document}
