\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro

\Exoi{\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item $2n$ est un nombre pair puisque c'est un multiple de $2$.
\item $2n+1$ est un nombre impair puisqu'on ajoute $1$ à un nombre pair.
\item $6n=2\times 3n$ est un nombre pair puisque c'est un multiple de $2$.
\item $6n+3=6n+2+1=2(3n+1)+1$ est un nombre impair puisqu'on ajoute $1$ à un nombre pair.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
 &\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=3x+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1}{2}x-3x=\dfrac{1}{4}+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1-6}{2}x=\dfrac{1+20}{4}\\
\Longleftrightarrow &-\dfrac{5}{2}x=\dfrac{21}{4}\\
\Longleftrightarrow &x=-\dfrac{21}{4}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{21}{10}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{21}{10}\right\}$$
\item \begin{eqnarray*}
& x^2+4x+4=0\\
\Longleftrightarrow & (x+2)^2=0\\
\Longleftrightarrow & x+2=0\\
\Longleftrightarrow & x=-2
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-2\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $4+3x=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}$. Par conséquent pour tout $x\neq -\dfrac{3}{4}$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{5-x}{4+3x}=1\\
\Longleftrightarrow & 5-x=4+3x \\
\Longleftrightarrow & -x-3x=4-5\\
\Longleftrightarrow & -4x=-1\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*} 
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $2-x=0\Longleftrightarrow x=2$. Par conséquent pour tout $x\neq 2$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{4-x^2}{2-x}=0\\
\Longleftrightarrow & 4-x^2=0\\
\Longleftrightarrow & x^2=4\\
\Longleftrightarrow & \quad x=2\text{ ou }\quad x=-2\\
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-2\}$$
\item
\begin{eqnarray*}
& x(x-2)=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & x^2-2x=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & -2x-18x=-5\\
\Longleftrightarrow & -20x=-5\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$$
\item 
\begin{eqnarray*}
& (x-4)^2=16\\
\Longleftrightarrow & x-4=4\quad \text{ou}\quad x-4=-4\\
\Longleftrightarrow & x=8 \quad \text{ou}\quad x=0
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{8;0\right\}$$
\end{enumerate}
}


\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis


\Exoi{\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item $4n=2\times 2n$ est un nombre pair puisque c'est un multiple de $2$.
\item $4n+1$ est un nombre impair puisqu'on ajoute $1$ à un nombre pair.
\item $8n+1=2\times 4n+1$ est un nombre impair puisqu'on ajoute $1$ à un nombre pair.
\item $6n=2\times 3n$ est un nombre pair puisque c'est un multiple de $2$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points) \\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\item 
\begin{eqnarray*}
 &\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}=3x+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1}{3}x-3x=-\dfrac{1}{4}+5\\
\Longleftrightarrow &\dfrac{1-9}{2}x=\dfrac{-1+20}{4}\\
\Longleftrightarrow &-4x=\dfrac{19}{4}\\
\Longleftrightarrow &x=-\dfrac{19}{16}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{19}{16}\right\}$$
\item \begin{eqnarray*}
& x^2-4x+4=0\\
\Longleftrightarrow & (x-2)^2=0\\
\Longleftrightarrow & x-2=0\\
\Longleftrightarrow & x=+2
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{2\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $4-3x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$. Par conséquent pour tout $x\neq \dfrac{3}{4}$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{5-x}{4-3x}=1\\
\Longleftrightarrow & 5-x=4-3x \\
\Longleftrightarrow & -x+3x=4-5\\
\Longleftrightarrow & 2x=-1\\
\Longleftrightarrow & x=-\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*} 
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$$
\item Cette équation n'est pas définie si $4-x=0\Longleftrightarrow x=4$. Par conséquent pour tout $x\neq 4$ on a :
\begin{eqnarray*}
& \dfrac{16-x^2}{4-x}=0\\
\Longleftrightarrow & 16-x^2=0\\
\Longleftrightarrow & x^2=16\\
\Longleftrightarrow & \quad x=4\text{ ou }\quad x=-4\\
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\{-4\}$$
\item
\begin{eqnarray*}
& x(x-6)=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & x^2-6x=x^2+18x-5\\
\Longleftrightarrow & -6x-18x=-5\\
\Longleftrightarrow & -24x=-5\\
\Longleftrightarrow & x=\dfrac{5}{24}
\end{eqnarray*}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{5}{24}\right\}$$
\item 
Un carré ne pouvant être négatif, l'équation $(x-4)^2=-16$ n'admet pas de solution
$$ \mathscr S=\left\{\right\}=\emptyset$$
\end{enumerate}
}

\end{document}
