\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$ f(x)=x^3-3x^2-1\qquad \text{et} \qquad g(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$$
\begin{enumerate}
\item L'expression de $f(x)$ ne comporte ni racine carrée ni quotient, par conséquent $f$ est définie sur $\R$.\\
 $g$ est définie pour tout $x$ tel que $x-1\neq 0\Longleftrightarrow x\neq 1$, par conséquent $g$ est définie sur $\R \backslash \{1\}$
\item \quad\\
 \boite{f(1)=1-3-1=-3} 
\boite{g(-2)=\dfrac{-2+2}{-2-1}=0} 
\boite{f(-1)=-1-3-1=-5}
\item On cherche les réels $x$ tels que 
\begin{eqnarray*}
& & f(x)=-1\\
& \Longleftrightarrow & x^3-3x^2-1=-1\\
& \Longleftrightarrow & x^3-3x^2=0\\
& \Longleftrightarrow & x^2(x-3)=0\\
&\Longleftrightarrow & x^2=0 \qquad \text{ou} \qquad x-3=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0 \qquad \text{ou} \qquad x=3\\
\end{eqnarray*}
Ainsi $-1$ admet deux antécédents $0$ et $3$ par $f$.
\item On cherche les réels différents de $1$ tels que :
$$ g(x)=0\Longleftrightarrow x+2=0\Longleftrightarrow x=-2$$
$0$ admet un unique antécédent par $g$, $-2$.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $ABC$ un triangle.
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\item \quad \\
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.08,-5.8)(17.55,2.83)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](12.11,1.64)(16.35,-3.51)(8.48,-0.68)
\psline[linecolor=zzttqq](12.11,1.64)(16.35,-3.51)
\psline[linecolor=zzttqq](16.35,-3.51)(8.48,-0.68)
\psline[linecolor=zzttqq](8.48,-0.68)(12.11,1.64)
\psline{->}(12.11,1.64)(8.48,-0.68)
\psplot{-0.08}{17.55}{(--8.57-0.6*x)/-5.04}
\psplot{-0.08}{17.55}{(--82.75-1.81*x)/-15.12}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.11,1.64)
\rput[bl](12.25,1.71){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](16.35,-3.51)
\rput[bl](16.49,-3.44){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.48,-0.68)
\rput[bl](8.01,-0.36){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](13.52,-0.08)
\rput[bl](13.67,0.01){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.23,-5.33)
\rput[bl](1.37,-5.25){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$
\item On a $\overrightarrow{AF}=3 \overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FA}$, par conséquent :
 $$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FB}$$
\item Les vecteurs $ \overrightarrow{FB}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont donc colinéaires, par conséquent les droites $(CE)$ et $(FB)$ sont parall\`eles.
\end{enumerate}
}



\newpage


\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$ f(x)=x^3-2x^2-2\qquad \text{et} \qquad g(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$$
\begin{enumerate}
\item L'expression de $f(x)$ ne comporte ni racine carrée ni quotient, par conséquent $f$ est définie sur $\R$.\\
 $g$ est définie pour tout $x$ tel que $x+2\neq 0\Longleftrightarrow x\neq -2$, par conséquent $g$ est définie sur $\R \backslash \{-2\}$
\item \quad\\
 \boite{f(1)=1-2-2=-3} 
\boite{g(1)=\dfrac{1-1}{1+2}=0} 
\boite{f(-1)=-1-2-2=-5}
\item On cherche les réels $x$ tels que 
\begin{eqnarray*}
& & f(x)=-2\\
& \Longleftrightarrow & x^3-2x^2-2=-2\\
& \Longleftrightarrow & x^3-2x^2=0\\
& \Longleftrightarrow & x^2(x-2)=0\\
&\Longleftrightarrow & x^2=0 \qquad \text{ou} \qquad x-2=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0 \qquad \text{ou} \qquad x=2\\
\end{eqnarray*}
Ainsi $-2$ admet deux antécédents $0$ et $2$ par $f$.
\item On cherche les réels différents de $-2$ tels que :
$$ g(x)=0\Longleftrightarrow x-1=0\Longleftrightarrow x=1$$
$0$ admet un unique antécédent par $g$, $1$.
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (6 points)\\
Soit $ABC$ un triangle.
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\item \quad \\
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.01,-4.64)(17.55,3.81)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](12.11,1.64)(16.35,-3.51)(8.48,-0.68)
\psline[linecolor=zzttqq](12.11,1.64)(16.35,-3.51)
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\psline[linecolor=zzttqq](8.48,-0.68)(12.11,1.64)
\psplot{-0.01}{17.55}{(--1.77--0.25*x)/-5.75}
\psplot{-0.01}{17.55}{(--32.07--0.51*x)/-11.5}
\psline{->}(12.11,1.64)(4.86,-3)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.11,1.64)
\rput[bl](12.25,1.71){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](16.35,-3.51)
\rput[bl](16.49,-3.44){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.48,-0.68)
\rput[bl](8.01,-0.36){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](14.23,-0.94)
\rput[bl](14.35,-0.86){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.85,-3)
\rput[bl](4.6,-2.86){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$
\item On a $\overrightarrow{AF}=2 \overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow \overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FA}$, par conséquent :
 $$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB}$$
\item Les vecteurs $ \overrightarrow{FB}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont donc colinéaires, par conséquent les droites $(CE)$ et $(FB)$ sont parall\`eles.
\end{enumerate}
}

\end{document}
