\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (5 points)\\
Ci-dessous on a représenté un triangle $ABC$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$
\begin{enumerate}
\item Tracer, à la règle et au compas, le point $A'$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vec v$. 
\item Tracer $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec v$.
\item Placer le point $M$ tel que $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\vec u$.
\item Placer les points $N$ et $P$ tel que :
$$ \overrightarrow{CP}=\vec{u}+(-\vec v)\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{NA}=-\vec u$$
\end{enumerate}}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.13,0.36)(6.42,6.18)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0.94,1.18)(5.87,1.99)(1.76,2.9)
\psline{->}(3.1,4.03)(3.97,5.22)
\psline{->}(-2.59,4.54)(0.65,4.06)
\psline(-2.3,1.65)(2.63,2.47)
\psline(2.63,2.47)(-1.49,3.37)
\psline(-1.49,3.37)(-2.3,1.65)
\rput[tl](3.12,5.16){$\vec u$}
\rput[tl](-1.2,5.18){$\vec v$}
\psline[linecolor=zzttqq](0.94,1.18)(5.87,1.99)
\psline[linecolor=zzttqq](5.87,1.99)(1.76,2.9)
\psline[linecolor=zzttqq](1.76,2.9)(0.94,1.18)
\psline[linestyle=dotted](-2.59,4.54)(-2.3,1.65)
\psline[linestyle=dotted](0.64,4.07)(0.94,1.18)
\psline{->}(-2.3,1.65)(0.94,1.17)
\parametricplot{-0.24497866312686511}{0.35543316107416895}{1*3.28*cos(t)+0*3.28*sin(t)+-2.3|0*3.28*cos(t)+1*3.28*sin(t)+1.65}
\parametricplot{4.490641906107272}{5.161966119502471}{1*2.89*cos(t)+0*2.89*sin(t)+0.64|0*2.89*cos(t)+1*2.89*sin(t)+4.05}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.3,1.65)
\rput[bl](-2.53,1.87){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.63,2.47)
\rput[bl](2.7,2.51){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.49,3.37)
\rput[bl](-1.66,3.6){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.94,1.18)
\rput[bl](0.89,0.84){$A'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.87,1.99)
\rput[bl](5.94,2.03){$B'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.76,2.9)
\rput[bl](1.83,2.93){$C'$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3.49,3.66)
\rput[bl](3.57,3.73){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-3.84,5.04)
\rput[bl](-3.77,5.11){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.43,2.84)
\rput[bl](-1.36,2.91){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
 Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ et $M$ est un point quelconque qui n’appartient ni à $(AB)$
ni à $(CD)$. Par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, $M$ a pour image $N$.
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.67,0.09)(5.52,5.87)
\psline(2.63,2.47)(-1.49,3.37)
\psline(-2.3,1.65)(1.81,0.75)
\psline(1.81,0.75)(2.63,2.47)
\psline(-2.3,1.65)(0.16,2.06)
\psline(0.16,2.06)(2.63,2.47)
\psline{->}(-2.3,1.65)(-1.48,3.37)
\psline{->}(3.49,3.66)(4.31,5.38)
\psline[linestyle=dotted](2.63,2.47)(4.31,5.38)
\psline[linestyle=dotted](1.81,0.75)(3.49,3.66)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.3,1.65)
\rput[bl](-2.53,1.48){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.63,2.47)
\rput[bl](2.7,2.51){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.49,3.37)
\rput[bl](-1.66,3.6){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3.49,3.66)
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\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.81,0.75)
\rput[bl](1.99,0.47){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.16,2.06)
\rput[bl](0.23,2.13){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.31,5.38)
\rput[bl](4.49,5.45){$N$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.64,7.04)
\rput[bl](-4.57,6.83){\blue{$U$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $ABCD$ est un parallélogramme, par conséquent $ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$ (égalité utile pour le premier calcul) et $ \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA} $ (égalité utile pour le deuxième calcul) ce qui donne :
$$ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$$
puis :
$$ \overrightarrow{AO}+(-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$$
\item Etant donné que $N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB}$ on a $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$, de plus $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ainsi :
$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB} \\\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}  \end{array} \right.\Longrightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$$
\item Comme $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$, le quadrilatère $MNDC$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}}



\newpage


\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}13$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Ci-dessous on a représenté un triangle $ABC$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$
\begin{enumerate}
\item Tracer, à la règle et au compas, le point $A'$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vec v$. 
\item Tracer $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $\vec v$.
\item Placer le point $M$ tel que $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\vec u$.
\item Placer les points $N$ et $P$ tel que :
$$ \overrightarrow{CP}=\vec{u}+(-\vec v)\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{NA}=-\vec u$$
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.01,-0.07)(6.51,5.39)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0.62,1.6)(4.04,3.25)(5.28,0.77)
\psline{->}(3.1,4.03)(3.97,5.22)
\psline{->}(-2.59,4.54)(0.34,4.49)
\psline(-2.3,1.65)(1.12,3.3)
\psline(1.12,3.3)(2.36,0.82)
\psline(2.36,0.82)(-2.3,1.65)
\rput[tl](3.12,5.16){$\vec u$}
\rput[tl](-1.43,4.56){$\vec v$}
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\psline[linecolor=zzttqq](4.04,3.25)(5.28,0.77)
\psline[linecolor=zzttqq](5.28,0.77)(0.62,1.6)
\psline[linestyle=dotted](-2.59,4.54)(-2.3,1.65)
\psline[linestyle=dotted](0.32,4.49)(0.62,1.6)
\psline{->}(-2.3,1.65)(0.63,1.6)
\parametricplot{-0.24497866312686334}{0.22599035515651894}{1*2.93*cos(t)+0*2.93*sin(t)+-2.3|0*2.93*cos(t)+1*2.93*sin(t)+1.65}
\parametricplot{4.490641906107273}{5.16196611950247}{1*2.88*cos(t)+0*2.88*sin(t)+0.32|0*2.88*cos(t)+1*2.88*sin(t)+4.47}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.3,1.65)
\rput[bl](-2.53,1.87){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.12,3.3)
\rput[bl](1.19,3.34){$B$}
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\rput[bl](0.57,1.26){$A'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.04,3.25)
\rput[bl](4.11,3.29){$B'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.28,0.77)
\rput[bl](5.36,0.8){$C'$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.99,4.49)
\rput[bl](2.06,4.56){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.32,2.06)
\rput[bl](0.39,2.13){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.43,2.84)
\rput[bl](-1.36,2.91){$N$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3.56,5.71)
\rput[bl](-3.49,5.5){\blue{$U$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
 Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ et $M$ est un point quelconque qui n’appartient ni à $(AB)$
ni à $(CD)$. Par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, $M$ a pour image $N$.
\begin{enumerate}
\item \quad \\
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.67,0.09)(5.52,5.87)
\psline(2.63,2.47)(-1.49,3.37)
\psline(-2.3,1.65)(1.81,0.75)
\psline(1.81,0.75)(2.63,2.47)
\psline(-2.3,1.65)(0.16,2.06)
\psline(0.16,2.06)(2.63,2.47)
\psline{->}(-2.3,1.65)(-1.48,3.37)
\psline{->}(3.49,3.66)(4.31,5.38)
\psline[linestyle=dotted](2.63,2.47)(4.31,5.38)
\psline[linestyle=dotted](1.81,0.75)(3.49,3.66)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.3,1.65)
\rput[bl](-2.53,1.48){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.63,2.47)
\rput[bl](2.7,2.51){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.49,3.37)
\rput[bl](-1.66,3.6){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3.49,3.66)
\rput[bl](3.62,3.2){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.81,0.75)
\rput[bl](1.99,0.47){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.16,2.06)
\rput[bl](0.23,2.13){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.31,5.38)
\rput[bl](4.49,5.45){$N$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.64,7.04)
\rput[bl](-4.57,6.83){\blue{$U$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item $ABCD$ est un parallélogramme, par conséquent $ \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$ (égalité utile pour le premier calcul) et $ \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA} $ (égalité utile pour le deuxième calcul) ce qui donne :
$$ \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$$
puis :
$$ \overrightarrow{AO}+(-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$$
\item Etant donné que $N$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB}$ on a $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$, de plus $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ainsi :
$$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB} \\\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}  \end{array} \right.\Longrightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$$
\item Comme $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}$, le quadrilatère $MNDC$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}}

\end{document}
