\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro


\Exoi{\hfill (5 points)\\
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\R$:
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-6}&&\tx{-1}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f}&&\fd&\txb{-4}&\fm&\txh{2}&\fd&\txb{0}&\fm&\cr
}$$
\begin{enumerate}
\item Le minimum de $f$ sur $\R$ est$-4$ et il est atteint en $-6$.
\item Le maximum de $f$ sur $[-6;3]$ est $2$ et il est atteint en $-1$.
\item Par lecture du tableau de variation on a :
$$0<f(0)<2$$  $$0<f(2,5)<2$$ 
 $$-4<f(-3,4)<2$$
\item Si $x\in[-6;3]$, alors $-4\leq f(x)\leq 2$.
\item L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions dans l'intervalle $[-6;3]$, une dans l'intervalle $[-6;-1]$ et l'autre pour $x=3$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=x^2-2x-3$$
\begin{enumerate}
\item L'expression de l'image $f(x)$ ne comportant ni racine, ni quotient  $D_f=\R$
\item Pour tout $x\in\R$ on a 
$$ (x-1)^2-4=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3=f(x)$$
\item Montrons que $f$ admet $-4$ pour minimum atteint en $1$.\\
On a d'abord $f(1)=(1-1)^2-4=0-4=-4$\\
De plus, un carré étant toujours positif ou nul on a, pour tout $x\in\R$ :
$$ (x-1)^2\geq 0\Longleftrightarrow (x-1)^2-4\geq -4\Longleftrightarrow f(x)\geq -4$$
On vient de démontrer que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)\geq -4=f(1)$$
Par conséquent $f$ admet $-4$ comme minimum atteint pour $x=1$.
\item Pour tout $x\in\R$ on a
$$ (x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3=f(x)$$
\item $f(x)=0\Longleftrightarrow (x-3)(x+1)=0\Longleftrightarrow x-3=0\qquad\text{ou}\qquad x+1=0\Longleftrightarrow x=3\qquad\text{ou}x=-1$\\
Ainsi l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions et donc :
$$\mathscr S=\{-1;3\}$$
\end{enumerate}}

\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\R$:
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-6}&&\tx{-1}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f}&&\fm&\txh{4}&\fd&\txb{1}&\fm&\txh{3}&\fd&\cr
}$$
\begin{enumerate}
\item Le maximum de $f$ sur $\R$ est $4$ atteint pour $x=-6$. 
\item Le minimum de $f$ sur $[-6;3]$ est $1$ atteint pour $x=-1$
\item  Par lecture du tableau de variation on a
$$1<f(0)<3$$  $$1<f(2,5)<3$$ 
 $$1<f(-3,4)<4$$
\item Si $x\in[-6;3]$, alors $1\leq f(x)\leq 4$.
\item L'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $[-6;3]$ étant donné que le minimum de $f$ est $1$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=x^2-2x-8$$
\begin{enumerate}
\item L'expression de l'image $f(x)$ ne comportant ni racine, ni quotient  $D_f=\R$
\item Pour tout $x\in\R$ on a 
$$ (x-1)^2-9=x^2-2x+1-9=x^2-2x-8=f(x)$$
\item  Montrons que $f$ admet $-9$ pour minimum atteint en $1$.\\
On a d'abord $f(1)=(1-1)^2-9=0-9=-9$\\
De plus, un carré étant toujours positif ou nul on a, pour tout $x\in\R$ :
$$ (x-1)^2\geq 0\Longleftrightarrow (x-1)^2-9\geq -9\Longleftrightarrow f(x)\geq -9$$
On vient de démontrer que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)\geq -9=f(1)$$
Par conséquent $f$ admet $-9$ comme minimum atteint pour $x=1$.
\item Pour tout $x\in\R$ on a
$$ (x-4)(x+2)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8=f(x)$$
\item $f(x)=0\Longleftrightarrow (x-4)(x+2)=0\Longleftrightarrow x-4=0\qquad\text{ou}\qquad x+2=0\Longleftrightarrow x=4\qquad\text{ou}x=-2$\\
Ainsi l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions et donc :
$$\mathscr S=\{-2;4\}$$
\end{enumerate}}
\end{document}
