  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}


\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Géométrie dans l'espace}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 3}

\Exoi{\textit{Positions relatives} \hfill (5 points)}
$ABCDEFGH$ est le pavé droit ci-dessous. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[DC]$.\\
Dans chaque cas, compléter la phrase par la position relative des éléments donnés.\\
 %\textit{Aucune justification n'est demandée, mais on précisera les intersections visibles sur la figure.}
\begin{multicols}{2}
\psset{xunit=1cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-0,-1.2)(7.2,4)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{3.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(5.0000,1.5000)(0.0000,1.5000)
\uput{0.2000}[-90.0000](0.0000,0.0000){E}
\uput{0.2000}[-90.0000](5.0000,0.0000){F}
\uput{0.2000}[-30.0000](5.0000,1.5000){B}
\uput{0.2000}[120.0000](0.0000,1.5000){A}
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(6.7321,2.5000)(5.0000,1.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](6.7321,1.0000){G}
\uput{0.2000}[30.0000](6.7321,2.5000){C}
\pspolygon(0.0000,1.5000)(5.0000,1.5000)(6.7321,2.5000)(1.7321,2.5000)
\uput{0.2000}[150.0000](1.7321,2.5000){D}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](4.2321,2.500)
%\psline(0.0000,1.5000)(5.8660,2.000)(1.7321,2.5000)
\uput{0.2000}[50.0000](2.5,1.500){I}
\uput{0.2000}[50.0000](4.2321,2.500){J}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.5,1.5000)
\uput{0.2000}[160.0000](1.7321,1.0000){H}
\psline[linestyle=dashed](1.7321,2.5000)(1.7321,1.0000)(6.7321,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)%(5.8660,2.000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
 \item Les droites $(BH)$ et $(BC)$ sont $\dots\dots\dots$
 %\item Les droites $(EG)$ et $(BC)$ sont $\dots\dots\dots$
 %\item Les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les droites $(AF)$ et $(EG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les droites $(EH)$ et $(BC)$ sont $\dots\dots\dots$
%\item Les droites $(EI)$ et $(AC)$ sont $\dots\dots\dots$ 
\item La droite $(CH)$ et le plan $(ABD)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item La droite $(GF)$ et le plan $(BCE)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item La droite $(AH)$ et le plan $(BCG)$ sont $\dots\dots\dots$
% \item Les plans $(ABF)$ et $(BCG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(ACH)$ et $(BEG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(AEG)$ et $(ADH)$ sont $\dots\dots\dots$
% \item Les plans $(AEI)$ et $(BIG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(ADI)$ et $(BJC)$ sont $\dots\dots\dots$
 %\item Les plans $(JEI)$ et $(BCG)$ sont $\dots\dots\dots$
 \item Les plans $(BEG)$ et $(AFC)$ sont $\dots\dots\dots$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{\textit{Section d'un tétraèdre par un plan}\hfill(5 points)\\
On considère le tétraèdre $SABC$, $I$ et $J$ sont deux points de la face $SAC$ et $K$ est un point du segment $[SB]$ comme représenté sur la figure ci-dessous :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.72,-1.02) rectangle (5.06,4.98);
\draw (1.34,4.36)-- (-0.94,0.16);
\draw (1.34,4.36)-- (3.96,0.28);
\draw [dotted] (-0.94,0.16)-- (3.96,0.28);
\draw (3.96,0.28)-- (2.04,-0.4);
\draw (-0.94,0.16)-- (2.04,-0.4);
\draw (2.04,-0.4)-- (1.34,4.36);
\fill [color=black] (-0.94,0.16) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.3,0.26) node {$A$};
\fill [color=black] (3.96,0.28) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (4.1,0.46) node {$B$};
\fill [color=black] (2.04,-0.4) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.94,-0.64) node {$C$};
\fill [color=black] (1.34,4.36) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.32,4.7) node {$S$};
\draw [color=black] (2.63,2.36)-- ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(2.0pt,2.0pt) ++(-2.0pt,0) -- ++(2.0pt,-2.0pt);
\draw[color=black] (2.78,2.58) node {$K$};
\draw [color=black] (0.26,1.74)-- ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(2.0pt,2.0pt) ++(-2.0pt,0) -- ++(2.0pt,-2.0pt);
\draw[color=black] (0.36,1.96) node {$I$};
\draw [color=black] (1.18,0.92)-- ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(2.0pt,2.0pt) ++(-2.0pt,0) -- ++(2.0pt,-2.0pt);
\draw[color=black] (1.3,1.14) node {$J$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la trace du plan $(IJK)$ sur la face $SAC$ ? On pourra introduire des points si besoin est.
\item Quelle est la trace du plan $(IJK)$ sur la face $SCB$ ? On pourra introduire des points si besoin est.
\item Quelle est la trace du plan $(IJK)$ sur la face $SAB$ ? On pourra introduire des points si besoin est.
\item Dessiner, en rouge, la section du plan $(IJK)$ avec le tétraèdre $SABC$.
\item Déterminer l'intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$. On pourra introduire des points si besoin est.
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\pagebreak
\Exoi{\textit{Positions relatives}\hfill (4 points)\\
$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ est le milieu de $[AC]$, $J$ est au deux tiers de $[AB]$ à partir de $A$ et le point $K$ est situé au tiers de $[AD]$ à partir de $A$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.
\item Déterminer et dessiner l'intersection de $(IJ)$ et de $(BCD)$, puis celle de $(KI)$ avec $(BCD)$.
\item Déterminer et dessiner l'intersection des plans $(IJK)$ et $(BCD)$.
\end{enumerate}}




\Exoi{\textit{Section plane}\hfill (4 points)\\
$ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle de dimension $AB=8$ cm et $AD=CG=4$ cm. \\
$M$ est le point de $[AB]$ tel que $AM=3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la section du plan $(MCG)$ et du solide $ABCDEFGH$ puis démontrer que cette section est un rectangle $MCGN$ que l'on déssinera.
\item Calculer les dimensions de ce rectangle.
\item Le but de cette question est de déterminer le volume du solide $MCGNBF$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'aire $\mathscr A$ du triangle $BCM$.
\item En déduire le volume $\mathscr V$ du solide $MCGNBF$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\begin{center}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-3.36,-2.62) rectangle (4.28,3.4);
\draw (-1.42,2.5)-- (3.58,2.46);
\draw (3.58,2.46)-- (2.2,1.56);
\draw (-1.42,2.5)-- (-2.8,1.6);
\draw (-2.8,1.6)-- (2.2,1.56);
\draw (2.2,1.56)-- (2.17,-2.1);
\draw (3.58,2.46)-- (3.55,-1.2);
\draw (3.55,-1.2)-- (2.17,-2.1);
\draw [dotted] (-1.45,-1.16)-- (-1.42,2.5);
\draw (-2.8,1.6)-- (-2.83,-2.06);
\draw [dotted] (-1.45,-1.16)-- (-2.83,-2.06);
\draw (-2.83,-2.06)-- (2.17,-2.1);
\draw [dotted] (3.55,-1.2)-- (-1.45,-1.16);
\draw (0.46,2.49)-- (2.2,1.56);
\fill [color=black] (-1.42,2.5) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.6,2.8) node {$A$};
\fill [color=black] (3.58,2.46) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.72,2.66) node {$B$};
\fill [color=black] (2.2,1.56) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.44,1.56) node {$C$};
\fill [color=black] (-2.8,1.6) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-3,1.8) node {$D$};
\fill [color=black] (-1.45,-1.16) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-1.3,-0.96) node {$E$};
\fill [color=black] (3.55,-1.2) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.7,-1) node {$F$};
\fill [color=black] (2.17,-2.1) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.36,-2.02) node {$G$};
\fill [color=black] (-2.83,-2.06) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (-3,-2.08) node {$H$};
\fill [color=uququq] (9.3,5.38) circle (1.5pt);
\draw[color=uququq] (8.34,4.54) node {$P$};
\draw [color=black] (0.46,2.49)-- ++(-1.0pt,0 pt) -- ++(2.0pt,0 pt) ++(-1.0pt,-1.0pt) -- ++(0 pt,2.0pt);
\draw[color=black] (0.64,2.72) node {$M$};
\fill [color=qqqqff] (-4.3,6.3) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (-4.14,6.22) node {$R$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Exoi{\textit{Utiliser des théorèmes} \hfill (3 points)\\
$SABCD$ est un pyramide de sommet $S$ à base rectangulaire telle que $AB=5$ cm et $AC= 3$ cm.
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma en perspective cavalière de cette pyramide.
 \item Soit $M \in [SC]$. Le plan $(ABM)$ coupe la droite $(SD)$ en $N$.\\
Démontrer en utilisant le théorème du toit que $(MN)//(DC)$.
 \item On sait de plus que $\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{2}{3}$. Calculer $MN$.  
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Question Cactus}\\
On considère une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ de sommet $S$ telle que toutes ses arêtes mesurent $8$ cm. Une fourmi se déplace sur sa surface depuis le milieu $I$ de l'arête $[CD]$ jusqu'au milieu $J$ de l'arête $[SB]$. Quel est, en cm, le plus court chemin possible de $I$ à $J$ ?\footnote{Il pourra être utile de considérer le patron de la pyramide.}
}

\end{document}