  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les bases du calcul}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 1}

\Exoi{\textit{Factoriser-Développer}\hfill(2 points)\\
Est-il possible que $x^2-3x+4$ s'écrive pour tout $x$ réel comme un produit de la forme $(x+1)(ax+b)$ avec $a$ et $b$ réels ?
}

\Exoi{\textit{Un peu de calcul !}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item Simplifier au maximum la fraction suivante : $\dfrac{25^{-2}\times \left( 15^3 \right) ^6}{9^4\times \left(-5\right)^3}$
\item Factoriser les expressions suivantes : $A=(2x+1)^2-(2x+1)$ et $B=(4x+3)(x+5)+16x^2+24x+9$
\item \'Ecrire l'expression suivante sous la forme $a+b\sqrt{2}$ : $A=14\sqrt{50}-8\sqrt{72} +\sqrt{2}+\sqrt{32}-15$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Vitesse Moyenne}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item Un cycliste effectue l'ascension d'une côte à $10$ km.h$^{-1}$ et la redescend à $40$ km.h$^{-1}$.\\
Quelle est sa vitesse moyenne $v$ sur l'ensemble du parcours ? \footnote{On pourra raisonner sur une côte d'une longueur de $10$ km.}
\item On dit qu'un réel $x$ est la \textit{moyenne harmonique} de deux nombres $a$ et $b$ si et seulement si $$ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$
Exprimer $x$ en fonction de $a$ et $b$. \footnote{Pour cela il faut isoler $x$ dans le membre de gauche de cette égalité.}
\item Trouver un rapport entre les questions $1.$ et $2.$
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Utiliser un résultat}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel non nul on a : $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}$
\item Calculer, en utilisant $1.$, $\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\dfrac{1}{5\times 6}+\dfrac{1}{6\times 7}+\dfrac{1}{7\times 8}+\dfrac{1}{8\times 9}+\dfrac{1}{9\times 10}$
\item Montrer que quel que soit l'entier naturel $n$ non nul on a :
$$\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dots+\dfrac{1}{(n-1)\times n}+\dfrac{1}{n\times (n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textit{Trouver la tache !}\hfill (\textbf{Bonus} - 3 points)\\
Retrouver le nombre caché sous la tache : 
$$ \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{\text{\includegraphics[scale=1.5]{tache.eps}}}$$
}


\Exoi{\textit{Qui s'y frotte s'y pique ! }\hfill (\textbf{Bonus} - 3 points)\\
\'A l'aide des quatre opérations élémentaires (éventuellement des parenthèses) et en utilisant une seule fois les nombres 1, 5, 6 et 7, trouver 21 }
\end{document}