  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 3 : Géométries dans l'espace }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 5}

\Exoi{\textit{Centre de gravité de la dimension $1$ à la dimension $3$}\hfill(16 points)\\
\textit{Les figures seront réalisées sur une feuille de papier blanche.}
\begin{enumerate}
\item On considère un segment $[AB]$ de longueur $5$ cm, et $G$ le point définit par :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}$$
Que peut-on en déduire pour le point $G$.
\item Faire une figure.
\item Montrer que quel que soit le point $M$ du plan on a :
$$  \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\item On considère un triangle $ABC$ et $G$ son centre de gravité définit par :
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$$
\item Faire une figure.
\item Montrer que quel que soit le point $M$ du plan on a :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\item On considère un tétraèdre $ABCD$, notons $G$ le point définit par $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{4}$$
\item Faire une figure.
\item Démontrer que, quel que soit le point $M$ de l'espace, on a :
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textit{Alignement}\hfill (4 points)\\
$ABCD$ est un parall\'elogramme.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $E$ et $F$ d\'efinis par $ \overrightarrow{AE}= \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{DF}=-2 \overrightarrow{DA}$
\item Montrer que $ \overrightarrow{FE}= \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-3 \overrightarrow{AD}$ et que $ \overrightarrow{CE}= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD}$
\item En déduire que les vecteurs $ \overrightarrow{FE}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires.
\item En d\'eduire que $E$, $F$ et $C$ sont align\'es.
\end{enumerate}}

\end{document}