\documentclass[a4paper,9pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $2^{\text{nde}}$  }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 0}
\newcommand{\Ch}{Exercices de d\'ebut de seconde}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}
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      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\newcommand{\arbre}[8]{\unitlength 1cm
\begin{picture}(11.4,7.5)(-0.5,-7)
\put(2.8,-1.75){\makebox(0,0){\small #2}}
\thinlines \path(2.2667,-2.0047)(2.4,-2)(2.3374,-2.1177)
\path(0.8,-3)(2.4,-2)
\path(2.3374,-4.3823)(2.4,-4.5)(2.2667,-4.4953)
\path(0.8,-3.5)(2.4,-4.5)
\put(2.8,-4.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#2}$}}
\put(1.2,-2.25){\makebox(0,0){\small #1}}
\put(1.2,-4.25){\makebox(0,0){\small #6}}
\put(5.2,-2.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#4}$}}
\put(5.2,-3.75){\makebox(0,0){\small #4}}
\path(4.6678,-0.8995)(4.8,-0.9167)(4.7191,-1.0226)
\path(3.2,-1.5833)(4.8,-0.9167)
\path(4.7191,-2.4774)(4.8,-2.5833)(4.6678,-2.6005)
\path(3.2,-1.9167)(4.8,-2.5833)
\path(4.6678,-3.8995)(4.8,-3.9167)(4.7191,-4.0226)
\path(3.2,-4.5833)(4.8,-3.9167)
\path(4.7191,-5.4774)(4.8,-5.5833)(4.6678,-5.6005)
\path(3.2,-4.9167)(4.8,-5.5833)
\put(5.2,-0.75){\makebox(0,0){\small #4}}
\put(5.2,-5.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#4}$}}
\put(3.6,-0.75){\makebox(0,0){\small #3}}
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\end{picture}
}
\begin{document}
 


 
\Cr{Module 1 - Factorisation et développement}
\debutAiDav
\Exoi{ Compléter le tableau suivant :\\\\
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	 \hline
	Expression & Somme ou produit ? & Nombre de termes ou de facteurs & L'expression est \\ \hline
	$3x$ & produit & 2 facteurs & factorisée\\ \hline
	$5y^2-3y+1$ & somme & 3 termes & développée\\ \hline
	$4(2a+3)$ & & & \\ \hline
	$a(c+2)-3x$ & & &\\ \hline
	$(s+3)(s-3)$ & & &\\\hline
	$r^2-9$ & & & \\\hline
	$4(e+3)(e-2)+5e(e+1)+3(e+4)$ & & &\\\hline
	$2(t+1)+3t+2$ & & &\\\hline
	\end{tabular}
}

\Exoi{
Lucas veut concevoir un programme permettant de développer et réduire tous les produits de la forme $(ax+b)(cx+d)$.
}
\vspace{-5mm}
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item Développer et réduite le produit $(x+2)(3x+4)$.
 \item Lucas a écrit le programme ci-dessous sur Algobox.
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     c EST_DU_TYPE NOMBRE
5     d EST_DU_TYPE NOMBRE
6     m EST_DU_TYPE NOMBRE
7     n EST_DU_TYPE NOMBRE
8     p EST_DU_TYPE NOMBRE
9   DEBUT_ALGORITHME
10    LIRE a
11    LIRE b
12    LIRE c
13    LIRE d
14    m PREND_LA_VALEUR a*c
15    n PREND_LA_VALEUR a*d+b*c
16    p PREND_LA_VALEUR b*d
17    AFFICHER m
18    AFFICHER n
19    AFFICHER p
20  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
Il teste avec le produit $(x+2)(3x+4)$. Voici ce qu'affiche son écran :
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim} 
***Algorithme lancé***
3
10
8 
***Algorithme terminé***
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\begin{enumerate}
 \item Que représentent les lettres $a$, $b$, $c$ et $d$ ?
 \item Que représentent les lettres $m$, $n$ et $p$ ?
 \item Vérifier les formules utilisées pour le calcul de $m$, $n$ et $p$.
\end{enumerate}
\item Programmer cet algorithme sur algobox et tester le pour développer le produit $(2x-1)(-5x+3)$
\item Adapter le programme précédent afin de développer les expression de la forme $(ax+b)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\Exoi{
\textbf{Factoriser} les sommes ci-dessous en faisant appara\^itre le ou les facteur(s) commun(s) : 
	\begin{eqnarray*}
	(5+x)\underline{(x+3)}+2\underline{(x+3)}(x-1) &=& \underline{(x+3)}[(5+x)+2(x-1)] = (x+3)(5+x+2x-1)=(x+3)(4+3x)\\
	5\underline{(z-2)}(z^2+7)-8z\underline{(z-2)} &=& \underline{(z-2)}[5(z^2+7) - 8z ] = (z-2)(5z^2+35-8z) \\
	(4x+1)(x-2)+x(2-x)&=& \\
	(5u-2)(4u+3)+(4u+3) &=& \\
	(5u-2)(4u+3)+(4u+3)^2 &=& \\
	8g^3 + 4g &= &\\
	5d-5 &=& 
	\end{eqnarray*}
}\vspace{-5mm}

\Propc{
Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ on a : $a(b+c) = ab + ac $.\newline
\textbf{D\'evelopper} une expression contenant des produits, c'est l'\'ecrire en transformant les produits en sommes. \newline
\textit{Ici c'est \'ecrire le membre de gauche sous la forme du membre de droite :} produit $\rightarrow$ somme. \newline	
\textbf{R\'eduire} une expression d\'evelopp\'ee c'est l'\'ecrire sous forme de somme contenant le moins de termes possible. \newline
\textbf{Factoriser} une expression c'est l'\'ecrire sous forme d'un produit. \newline
\textit{Ici c'est \'ecrire le membre de droite sous la forme du membre de gauche :} produit $\leftarrow$ somme.	
}

\Expls{$$5(3-2x)=\dots\dots\dots\dots\dots\dots  \qquad ; \qquad (3-2x)(4-x)=\dots\dots\dots\dots\dots\dots  \qquad ; \qquad (1-6x)^2=\dots\dots\dots\dots\dots\dots$$
$(2x+5)+(2x+5)(x-1) =  \dots\dots\dots\dots\dots\dots $\\\\
$12(5-2z)(z+7)^2-3z(5-2z) = \dots\dots\dots\dots\dots\dots $\\
}

\Cadre[Identit\'es Remarquables  ]{ Pour tous nombres $a$ et $b$ on a
$$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\, = \dots\dots\dots\dots\dots\dots $$
$$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\, = \dots\dots\dots\dots\dots\dots $$
$$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\, = \dots\dots\dots\dots\dots\dots $$
\vspace{-3mm}}

\Expls{$(4x-6)^2=\dots\dots\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad (3x+1)(3x-1)=\dots\dots\dots\dots\dots\dots 
\qquad ; \qquad 25x^2+20x+4 =\dots\dots\dots\dots\dots\dots$\\
}

\Cadre[Point Méthode]{Il existe deux méthodes pour :
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] \textbf{Développer} une expression : avec les \textbf{identités remarquables} ou la
 \textbf{distributivité} de la multiplication.\\
Ensuite, on a pour habitude de réduire l'expression et de l'ordonner.
\item[\textbullet] \textbf{Factoriser} une expression : avec les \textbf{identités remarquables} ou la \textbf{mise en évidence d'un facteur commun}.\\
Pour les identités remarquables, il faut penser à la bonne formule et l'appliquer (donc la connaître !).\\
Dans le second cas, on met en évidence le facteur commun, par exemple en le soulignant à chacune de ses
 apparitions dans l'expression, puis :
\begin{itemize}
 \item On écrit (entre parenthèse éventuellement) le facteur commun,
 \item On ouvre des parenthèses,
 \item On écrit dans l'ordre \textbf{tout} ce qui n'a pas été souligné dans l'expression initiale sachant que :
\begin{itemize}
  \item[\textdegree] Si un signe se retrouve sans nombre (ou lettre) à sa droite, on y met un 1,
 \item[\textdegree] Les exposants du facteur commun s'abaisse du degré correspondant à ce facteur.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\Exop{
\textbf{D\'evelopper puis r\'eduire} si possible les expressions suivantes 
$$A = -2a(5x-3a+4) \qquad ; \qquad B = 5(x+2) -2(3x-1) \qquad ; \qquad C=-(a+b) \qquad D = -(a-b) \qquad ; \qquad E=(3\sqrt{2}-4)^2 $$
M\^eme question pour $F=(2x-3)(5x+2)$. Contr\^oler le r\'esultat obtenu pour $x=-3$
}
\vspace{-3mm}
\Exop{ Factoriser les expressions suivantes :
$$G=(2i+1)(3i+2)+(2i+1)(5i+7) \qquad\qquad ; \qquad\qquad H=(x-1)(4x-7)+x-1 \qquad\qquad ;\qquad \qquad I=4x^2-4x+1$$
$$J=(3y-4)(y-3)+(3y-4)^2 \qquad\qquad ; \qquad\qquad K=16x^2-9 \qquad\qquad;\qquad \qquad L= 4(5x-3)-(3x-4)(5x-3)$$
$$ M=9x^2 +24x +16 \qquad\qquad ; \qquad\qquad  G=(3z+6)(-7z-3)+(3z+6)(2z+1)-(3z+6)(4z+1)  $$ \vspace{-5mm}
}


\end{document}