\documentclass[a4paper,9pt,french]{article}
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\title{Classe de $2^{\text{nde}}$  }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 0}
\newcommand{\Ch}{Exercices de d\'ebut de seconde}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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      \let\danger\undefined
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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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\newcommand{\arbre}[8]{\unitlength 1cm
\begin{picture}(11.4,7.5)(-0.5,-7)
\put(2.8,-1.75){\makebox(0,0){\small #2}}
\thinlines \path(2.2667,-2.0047)(2.4,-2)(2.3374,-2.1177)
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}
\begin{document}
 


 
\Cr{Module 2 - Racine carrée }
\debutAiDav

\Exop{Démontrer que pour tous nombres $a$ et $b$, on a :$ \qquad \qquad(a+b\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=(a+2b)+(a+b)\sqrt{2}$}
\Defc[Racine carrée]{
Si $a$ est un nombre positif alors $\sqrt{a}$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ nombre $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ dont le carr\'e vaut \nolinebreak $\dots\dots$.
}
\underline{Cons\'equence} : D\`es que l'on voit le nombre $\sqrt{a}$, on doit supposer  $\dots\dots\dots\dots$\\
 


\Expls{$\sqrt{49}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{-16}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(-3)^2}=\dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(2-\Pi)^2}=\dots\dots$
}

\Rq{$\sqrt{a^2}=\pm a$ suivant le signe de $a$. On appelle ce nombre \og valeur absolue \fg \, de $a$ et on le note $|a|$}


\Rq{Le symbole utilisé pour écrire les racines peut faire penser à un V, mais c'est un R stylisé. Mais pas le R de racine, celui de \og radicaux \fg. En effet pour parler des racines carrés, on peut aussi employer le mot \og radicaux \fg .}
\Ptec{
Si $a$ et $b$ sont des nombres positifs et $n$ un entier relatif, alors on a :
$$\sqrt{ab}=\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dots\dots \, \textrm{ si }\, b\neq 0 $$
\vspace{-5mm}
}

\begin{Att}{
 En g\'en\'eral $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Par exemple $\sqrt{9+16}=\dots\dots \qquad \textrm{ et }  \qquad \sqrt{9}+\sqrt{16}=\dots\dots $}
\end{Att}

 

\Exop{
Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible :
$$  \sqrt{2}\times \sqrt{18} \quad ;\quad \sqrt{25 \times 49} \quad ;\quad \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad \sqrt{\dfrac{36}{49}}
\quad ;\quad  \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} \quad ; \quad \sqrt{11^2} \quad ;\quad 
\sqrt{72}+\sqrt{32} -6\sqrt{8} \quad ;\quad \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\times \sqrt{\dfrac{12}{15}} $$
}

\underline{\textbf{Une technique particulière permettant d'éliminer les radicaux du dénominateur} :}

\Exop{Écrire  $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$, $\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}$, puis $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$\footnote{On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du nombre au dénominateur en utilisant les identités remarquables}  sous la forme d'une fraction sans racine au dénominateur.
\\
\textbf{Prolongement : } On écrira un algorithme permettant de supprimer le radical d'une fraction de la forme $\dfrac{a}{b+c\sqrt{d}}$
}


%\Exop{Écrire  $\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}$, puis $\dfrac{1}{1-\sqrt{5}}$  sous la forme d'une fraction sans racine au dénominateur}


\Exop{Simplifier l'écriture des nombres suivants : $\qquad\qquad A = 1+ \dfrac{2}{1+\sqrt{3} }\qquad \qquad B= 1+ \dfrac{1 }{ 1+ \dfrac{1}{1+\sqrt{3} }  }  $ }

\Applic{Un triangle rectangle isocèle a son hypoténuse qui mesure 10 cm. Déterminer la longueur des deux autres côtés.}

\end{document}