\documentclass[a4paper,9pt,french]{article}
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\title{Classe de $2^{\text{nde}}$  }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

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\newcommand{\Ch}{Exercices de d\'ebut de seconde}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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      \let\danger\undefined
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\newcommand{\arbre}[8]{\unitlength 1cm
\begin{picture}(11.4,7.5)(-0.5,-7)
\put(2.8,-1.75){\makebox(0,0){\small #2}}
\thinlines \path(2.2667,-2.0047)(2.4,-2)(2.3374,-2.1177)
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\path(2.3374,-4.3823)(2.4,-4.5)(2.2667,-4.4953)
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\put(2.8,-4.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#2}$}}
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\path(3.2,-1.9167)(4.8,-2.5833)
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\end{picture}
}
\begin{document}
 


 
\Cr{Module 3 - Puissance }
\debutAiDav

\Exop{On considère le nombre suivant : $$ x=\dfrac{\left(8^{n+1}+8^n\right)^2}{\left(4^{n+1}-4^{n}\right)^3}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $x$ lorsque $n = 0$ ; $n = 1$ ; $ n = 2$ et $n = 3$. Que constate-t-on ? 
\item Justifier la constatation précédente en simplifiant $x$. 
\end{enumerate}}

\Defc[Puissances]{
Soit $a$ un nombre et $n$ un nombre entier positif.
	\begin{itemize}
 	\item Si $n \geq 1$, alors $a^n=\underbrace{\dots\dots\dots\dots\dots\dots}_{\dots\dots \, \textrm{fois}}$ \hskip20mm  En particulier $a^1=\dots\dots$.\\
	\item Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=\dots\dots$
	\end{itemize}
Si de plus $a\neq 0$, on d\'efinit le nombre $a^{-n}$ comme $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ du nombre $a^n$ : $a^{-n}=\dots\dots$\\ 
}
\Expls{
$(-1,5)^{3}=-3,375 \qquad ; \qquad 5^{-4}=\dfrac{1}{5^4}=\dfrac{1}{625} \qquad ; \qquad (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$
}

\begin{Att}{
 Ne pas confondre $(-a)^n$, $-a^n$, $-a^{-n}$ et $(-a)^{-n}$
$$(-2)^4=\dots\dots  \qquad ; \qquad -2^4=\dots\dots  \qquad ;\qquad -2^{-4} = \dots\dots  \qquad \textrm{et}  \qquad (-2)^{-4}=\dots\dots$$}
\end{Att}
\Ptec{
Quels que soient les réels $a$ et $b$, et les entiers relatifs $n$ et $m$, on a les \'egalit\'es suivantes (si elles sont d\'efinies) :
	$$a^n \times a^m = \dots\dots\dots\dots \qquad ;\qquad \left(a^n\right)^m =\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \dfrac{a^n}{a^m} = \dots\dots\dots\dots$$
	$$\left( ab\right) ^n = \dots\dots\dots\dots  \qquad ;\qquad \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n = \dots\dots\dots\dots $$
\vspace{-5mm}}


\Exop{
Simplifier au maximum : $\left(3^7 \times 2^{-6}\right)^5\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{33} \qquad\qquad\qquad \dfrac{4^{-2}}{4\times 49^{-3}}\times\left(-\dfrac{4}{7}\right)^5  \qquad\qquad\qquad  \dfrac{4^{n+1}}{4^n} \text{ où n désigne un entier }$
}


\Exop{Quelle est la somme des chiffres du nombre $N = 10^{2011} – 2011$ ? }


\Exop{Le but de cet exercice est de calculer le nombre suivant : 
$x = 838756834702 – 83875683469 \times 83875683471 $
\begin{enumerate}
\item Que donne ce calcul avec la calculatrice ? 
\item On pose $a = 83875683470$. Exprimer $x$ en fonction de $a$, puis en simplifiant déterminer $x$. 
\end{enumerate}
}

\Applic[Algorithme de dichotomie]{Ecrire un algorithme permettant de déterminer à $10^{-2}$ près le nombre dont le cube vaut $7$}
\end{document}