\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $2^{\text{nde}}$  }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 0}
\newcommand{\Ch}{Exercices de d\'ebut de seconde}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

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\newcommand{\arbre}[8]{\unitlength 1cm
\begin{picture}(11.4,7.5)(-0.5,-7)
\put(2.8,-1.75){\makebox(0,0){\small #2}}
\thinlines \path(2.2667,-2.0047)(2.4,-2)(2.3374,-2.1177)
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}
\begin{document}
\debutAiDav
\Cr{Feuille d'exercices-les bases}

\Exoi{\hfill \textit{Problème de Luc Chatel}\\
$10$ objets identiques coûtent ensemble $22$ $\euro$. Combien coûtent $15$ de ces objets ?}


\Exoi{\hfill \textit{Comprendre un énoncé}\\
Un berger a 27 brebis. Toutes meurent sauf 9. Combien en reste-t-il ?
}

\Exoi{\hfill \textit{Somme et différence}\\
Trouver deux nombres entiers dont la somme vaut 281 et dont la diff\'erence vaut 111.
}

\Exoi{\hfill \textit{Division euclidienne}\\
La somme de deux entiers naturels $x$ et $y$ est 157. Dans la division euclidienne de $x$ par $y$, le quotient vaut 6 et le reste 17. D\'eterminer $x$ et $y$.
}
\Exoi{\hfill \textit{Equations triviales}\\
Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $2x=0$
\item $x+2=1$
\item $5x-\dfrac{8}{2}=3$
\item $-7x+1=3$
\item $\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
\item $- \dfrac{5}{6}x-\dfrac{1}{2}=-1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{
Développer les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(x-1)(x+2)$
\item $(5x+1)(3x+1)$
\item $x(x+4)$
\item $(3x^2-4x+1)(x+1)$
\item $(2x-1)(x+3)(x+1)$
\item $(2y-1)^2(y+2)$
\item $(3(2t-1))^2$
\item $(x \sqrt{2}-4)^2$  
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{\begin{enumerate}
\item Développer $(x+y)^2-(x-y)^2$
\item Sans calculatrice, calculer $10001^2-9999^2$
\end{enumerate}}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Montrer que $-t^2+6t-6=3-(t-3)^2$
\item Pour quelle valeur de $t$ l'expression précédente admet-elle sa valeur maximale ?
\footnote{On remarquera que quelque soit la valeur de $t$ l'expression $(t-3)^2$ est positive ou nulle.}
\end{enumerate}}

\Exoi{Factoriser les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x(x-1)+3x$
\item $x^2-6x$
\item $(x+1)(x+2)+5(x+2)+(x+2)(2x-1)$
\item $xy+4xz$
\item $25-(x+1)^2$
\item $2x(x+3)+4x+12$
\item $x^2-20x+100$
\item $(9x^2-25)+(6x+10)$
\item $x^2-4x+4-(x-2)(7-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction irréductible : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} }$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{3} }-\dfrac{1}{\dfrac{1}{5} }$
\item $ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+2} } }$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item La somme des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la somme de ces deux nombres ? 
\item La différence des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la différence de ces deux nombres ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{Ecrire sous la forme d'un quotient sans radical au dénominateur les nombres :
$$ r=\dfrac{4}{3-\sqrt{3} }\qquad u=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2} }{\sqrt{3}+\sqrt{2} } $$ 
}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Calculer $(3 \sqrt{5}-4)^2$ et $(2 \sqrt{6}-5)^2$
\item En déduire une autre écriture de $ \sqrt{61-24 \sqrt{5} } $ et $ \sqrt{49-20 \sqrt{6} }$ 
\end{enumerate}}

\Exoi{Simplifier l'écriture des nombres suivants :
$$ y=\sqrt{243}+3 \sqrt{48}-2 \sqrt{432} \qquad z=\dfrac{9^2\times 4^{-3}}{2^{-5}\times 3^3}$$}

\Exoi{R\'esoudre les syst\`emes d'\'equations suivants par substitution ou combinaison lin\'eaire :
$$\left\{\begin{array}{l}
          4x-3y=7 \\ 6x+y=-6
         \end{array}\right.
\quad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          x-3y=31 \\ 4x+5y=5
         \end{array}\right.
\quad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          6x+2y=4 \\ -2x-y=1
         \end{array}\right.
\quad ; \qquad 
\left\{\begin{array}{l}
          -2x-y=-6 \\ 100x-20y=-240
         \end{array}\right.
$$
}


\Exoi{Il faut nettoyer les all\'ees d'un espace vert. La remorque tract\'ee du jardinier p\`ese \`a vide 50kg. Quand elle est remplie de feuilles, elle p\`ese 55kg, mais quand elle est remplie de glands, elle p\`ese 80kg.\newline
Le jardinier a rempli et vid\'e 10 remorques, ce qui repr\'esente une masse totale de $112.5$kg de d\'echets verts.\newline
Quelles sont les masses respectives, exprim\'ees en kg, de feuilles et de glands qu'il a ramass\'es ?
}

\Exoi{
Un rectangle a un p\'erim\`etre de 176 m. En augmentant la longueur de 3 m, l'aire augmente de 105 m$^2$. Quelles \'etaient les dimensions du rectangle initial ?
}

\Exoi{Charlie est un enfant tr\`es gourmand. Pour son anniversaire, il a re\c cu une bo\^ite de 28 caramels. Chaque jour, il en mange le double de la veille. En trois jours, il a tout mang\'e.\\ Combien de caramels Charlie a-t-il mang\'e le premier jour ?
}



\end{document}