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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs \linebreak[2]  Partie g\'eom\'etrique}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
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\setcounter{NumLecon}{5}

\TITRE{vecteurs.eps}{0.5} 						% Image 1ere page + ratio
\begin{abstract}
Lorsque René Descartes étudie la réflexion et la réfraction de la lumière, il invente la géométrie analytique, la géométrie des coordonnées. On parle d'ailleurs de \og coordonnées cartésiennes \fg. La nécessité de mettre au point des techniques de calcul utilisant plus la géométrie conduit Leibniz à inventer le calcul vectoriel, qui sera approfondi par Gauss. La notion de vecteur est donc présente dès le XVI ème siècle mais aucune définition précise n'est proposée, au XIX ème siècle l'anglais Hamilton donne la définition mathématique actuelle du mot vecteur.\\
L'objectif de ce chapitre est d'utiliser un nouvel outil que sont les vecteurs et le calcul vectoriel dans la résolution de problème géométrique.
\end{abstract} 


\section*{Problème d'introduction}
Soit deux points distincts $A$ et $B$. $C$ est un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $B$. $P$ est un point du cercle $\mathscr C$ de diamètre $[AC]$. Soit $N$ le point du plan tel que $APBN$ soit un parallélogramme, et $M$ tel que $APMB$ soit un parallélogramme.

\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.96,0.4)(3.86,3.52)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ccqqqq,opacity=0.1](-2.3,2.02)(-1.2,2.87)(2.06,2.1)(0.96,1.25)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=qqqqcc,opacity=0.1](-2.3,2.02)(2.06,2.1)(3.16,2.95)(-1.2,2.87)
\psline(-2.3,2.02)(2.06,2.1)
\pscircle(-1.43,2.04){0.87}
\psline(-2.3,2.02)(-1.2,2.87)
\psline(-1.2,2.87)(3.16,2.95)
\psline(3.16,2.95)(2.06,2.1)
\psline(-1.2,2.87)(2.06,2.1)
\psplot{-2.96}{3.86}{(--0.56--0.85*x)/1.1}
\psplot{-2.96}{3.86}{(--4.8-0.77*x)/3.26}
\psline[linecolor=ccqqqq](-2.3,2.02)(-1.2,2.87)
\psline[linecolor=ccqqqq](-1.2,2.87)(2.06,2.1)
\psline[linecolor=ccqqqq](2.06,2.1)(0.96,1.25)
\psline[linecolor=ccqqqq](0.96,1.25)(-2.3,2.02)
\psline[linecolor=qqqqcc](-2.3,2.02)(2.06,2.1)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.06,2.1)(3.16,2.95)
\psline[linecolor=qqqqcc](3.16,2.95)(-1.2,2.87)
\psline[linecolor=qqqqcc](-1.2,2.87)(-2.3,2.02)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.3,2.02)
\rput[bl](-2.58,2.2){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.06,2.1)
\rput[bl](2.26,1.84){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.56,2.05)
\rput[bl](-0.46,1.76){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.2,2.87)
\rput[bl](-1.12,2.92){$P$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.16,2.95)
\rput[bl](3.32,2.8){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.96,1.25)
\rput[bl](0.96,0.94){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Question{Construire la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique puis conjecturer la position des points $M$, $N$, et $B$. Enfin on démontrera cette conjecture.}

\pagebreak

\section{Translation de vecteur $\vec u$}

\subsection{Définition}

\Defc{La translation qui transforme $A$ en $B$, associe à tout point $M$ du plan l'unique point $N$ tels que $ABNM$ soit un parallélogramme.}

\begin{center}

\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0,0}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.8,-0.92) rectangle (4.44,4.16);
\draw [->,color=ccqqqq] (3.3,-0.62) -- (-0.28,1.4);
\draw [->] (2.86,1.56) -- (-0.72,3.58);
\draw (-0.72,3.58)-- (-0.28,1.4);
\draw (2.86,1.56)-- (3.3,-0.62);
\draw [dotted] (-0.72,3.58)-- (1.29,1.48);
\draw [dotted] (0.35,2.59) -- (0.22,2.47);
\draw [dotted] (1.29,1.48)-- (2.86,1.56);
\draw [dotted] (2.04,1.61) -- (2.04,1.43);
\draw [dotted] (2.11,1.61) -- (2.11,1.43);
\draw [dotted] (1.29,1.48)-- (3.3,-0.62);
\draw [dotted] (2.36,0.49) -- (2.23,0.37);
\draw [dotted] (-0.28,1.4)-- (1.29,1.48);
\draw [dotted] (0.47,1.53) -- (0.47,1.35);
\draw [dotted] (0.54,1.53) -- (0.54,1.35);
\fill [color=black] (3.3,-0.62) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (3.46,-0.34) node {$A$};
\fill [color=black] (-0.28,1.4) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (-0.14,1.68) node {$B$};
\fill [color=black] (2.86,1.56) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (3.04,1.84) node {$M$};
\fill [color=black] (-0.72,3.58) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (-0.5,3.86) node {$M'$};
\fill [color=qqqqff] (6.94,-1.68) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (7.12,-1.4) node {$Q$};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\Rqs{\item La translation qui transforme le point $A$ en $B$, associe à tout point $M$ l'unique point $N$ tel que les segments $[AN]$ et $[BM]$ ont le même milieu.
\item Si $A=B$, tout point $M$ est confondu avec son image $M'$ par la translation ; on dit aussi que tout point $M$ est invariant, et que la translation est l'identité du plan.}


\subsection{Translation et vecteur associé}

\Defc{On considère la translation qui transforme $A$ en $B$ et $M$ en $M'$, à cette translation on associe le vecteur $ \overrightarrow{u}$ qui symbolise le déplacement de $A$ vers $B$ ou de $M$ vers $N$. On le représente par une flèche allant de $A$ jusqu'à $B$.}

\Rqs{\item Le vecteur $ \overrightarrow{AA}$ symbolise une absence de déplacement, on l'appelle le vecteur nul et on note $$ \overrightarrow{AA}=\vec{0}$$
\item Les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{MM'}$ symbolisent le même déplacement puisqu'ils sont associés à la même translation $t$, on dit que ce sont deux représentants d'un même vecteur $\vec u$. On parle alors de translation de vecteur $\vec u$, il s'agit de la translation associé au déplacement symbolisé par le vecteur $ \vec{u}$.
\item D'après la remarque précédente on peut représenter un même vecteur à partir de n'importe quel point du plan si l'on respecte le même déplacement. }

\pagebreak
\subsection{Propriétés}
\Ptec{ Par une translation l'image de trois points align\'es est trois points align\'es}
\Dem{Soit $A$, $B$ et $C$ trois points align\'es et $\vec u$ un vecteur. Notons $t_{\vec u}(A)=A'$, $t_{\vec u}(B)=B'$ et $t_{\vec u}(C)=C'$ les images de $A$, $B$ et $C$ par la translation de vecteur $\vec u$. \newline
\underline{But} : Montrer que $A'$, $B'$ et $C'$ sont align\'es.
Comme $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ on a : $$ \overrightarrow{AA'}=\vec u \qquad\text{ et }\qquad \overrightarrow{BB'}=\vec u $$
Au final $ \overrightarrow{AA'}= \overrightarrow{BB'}$ et donc $AA'B'B$ est un parall\'elogramme.\newline
Pour des raisons identiques, $AA'C'C$ est un parall\'elogramme. \newline
Par cons\'equent $(AC)//(A'C')$ et $(AB)//(A'B')$ et donc puisque $(AB)=(AC)$ on a $(A'B')//(A'C')$, ce qui prouve que $A'$, $B'$ et $C'$ sont align\'es.}
\Ptec{ Par une translation les distances sont conserv\'es}
\Dem{Soit $A$ et $B$ deux points quelconques du plan, $\vec u$ un vecteur, et $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ les images par la translation de vecteurs $\vec u$ de ces deux points.\newline
 Montrons que $A'B'=AB$\newline
Comme $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ on a : $$ \overrightarrow{AA'}=\vec u \qquad\text{ et }\qquad \overrightarrow{BB'}=\vec u $$
Au final $ \overrightarrow{AA'}= \overrightarrow{BB'}$ et donc $AA'B'B$ est un parall\'elogramme.\newline
Par cons\'equent $AB=A'B'$
}
\Ptec{ L'image par une translation d'une droite est une droite parall\`ele (\'eventuellement confondue).}
\Dem{Soit une droite $(AB)$. Montrons que l'image de cette droite par la translation de vecteur $\vec u$ est une droite parall\`ele \`a $(AB)$. 
\newline
Notons $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ les images par la translation de vecteurs $\vec u$ de $A$ et $B$.
Soit un point $C$ sur $(AB)$, puisque la translation conserve l'alignement $C'\in (A'B')$. \newline
De plus on a $AA'B'B$ qui est un parall\'elogramme, et donc $(AB)//(A'B')$.\newline
On vient de montrer que : 
\begin{itemize}
\item $(AB)//(A'B')$
\item Tout point de la droite $(AB)$ a son image par la translation de vecteur $\vec u$ sur $(A'B')$
\end{itemize}
Pour conclure il faut encore montrer que tout point de la droite $(A'B')$ est l'image d'un point de la droite $(AB)$. \newline
Soit $D'\in (A'B')$ et $D$ le point du plan tel que $ \overrightarrow{DD'}=\vec u$.\newline
Comme $ \overrightarrow{DD'}=\vec u$ on a : $t_{\vec u}(D)=D'$ et $ \overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}$, donc $AA'D'D$ est un parall\'elogramme.
De la m\^eme mani\`ere $BB'D'D$ est un parall\'elogramme.
\newline
Par cons\'equent $(AD)//(A'D')$ et $(BD)//(B'D')$. Or $(B'D')$ et $(A'D')$ sont les m\^emes droites ce qui prouvent donc que $(AD)//(BD)$ i.e que $A$ $B$ et $D$ sont align\'es i.e :
$$ D\in (AB) $$  }

\Ptec{ L'image par une translation d'un segment est un segment de m\^eme longueur et parall\`ele.}
\Dem{On consid\`ere un segment $[AB]$ ainsi qu'un vecteur $\vec u$. Notons $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ les images par la translation de vecteurs $\vec u$ de $A$ et $B$.\newline
Montrons que $t_{\vec u}([AB])=[A'B']$ puis que $[AB]//[A'B']$.\newline
Comme $t_{\vec u}(A)=A'$ et $t_{\vec u}(B)=B'$ on a $ \overrightarrow{AA'}=\vec u=\overrightarrow{BB'}$ donc $AA'B'B$ est un parall\'elogramme, ce qui prouve en particulier que $[AB]//[A'B']$.\newline
Il ne reste plus qu'\`a prouver que l'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$. \newline
Consid\'erons un point $C\in [AB]$ et $C'=t_{\vec u}(C)$ son image par la translation de vecteur $\vec u$. De nouveau $AA'C'C$ est un parall\'elogramme contenu dans le parall\'elogramme $AA'B'B$ donc $C' \in [A'B']$. \newline
R\'eciproquement si $D\in [A'B']$ montrons alors que $D\in [AB]$ o\`u $D$ v\'erifie $t_{\vec u}(D)=D' \Longleftrightarrow \overrightarrow{DD'}=\vec u$. De nouveau, $AA'D'D$ est un parall\'elogramme contenu dans le parall\'elogramme $AA'B'B$ et donc $D\in[AB]$}

%\pagebreak
\Ptec{ L'image par une translation d'un cercle est un cercle de m\^eme rayon.}
\Dem{Soit $\mathscr C$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. Soit $O'=t_{\vec u}(O)$.\newline
Montrons que l'image de $\mathscr C$ est un cercle de centre $O'$ et de rayon $r$. \newline
Soit $C\in \mathscr C$ et $C'=t_{\vec u}(C)$, comme la translation conserve les distance on a $OC=O'C'=r$ et donc $C'\in \mathscr C'$ o\`u $\mathscr C'$ est le cercle de centre $O'$ et de rayon $r$, autrement dit on vient de montrer que tout point du cercle $\mathscr C$ a son image sur le cercle $\mathscr C'$. Montrons enfin que tout point du cercle $\mathscr C'$ \og provient \fg bien d'un point du cercle $\mathscr C$\newline
Dans ce cas, consid\'erons $A'\in \mathscr C'$ alors $O'A'=r$, soit $A$ le point v\'erifiant $t_{\vec u}(A)=A'\Longleftrightarrow\overrightarrow{AA'}=\vec u$. Le quadrilat\`ere $OO'A'A$ est un parall\'elogramme et donc $OA=O'A'=r$ ce qui prouve que $A\in\C$ 
}
\Ptec{ Par une translation, on conserve les angles.}
\Dem{On consid\'ere un triangle $ABC$ et un vecteur $\vec u$. On note $t_{\vec u}(A)=A'$, $t_{\vec u}(B)=B'$ et $t_{\vec u}(C)=C'$ les images par la translation de vecteur $\vec u$ des points $A$, $B$ et $C$.
\newline
Comme la translation conserve les longueurs et comme l'image d'un segment est un segment parall\`ele, l'image du triangle $ABC$ est le triangle $A'B'C'$ et les deux triangles sont superposables et chacun des angles des deux triangles sont identiques.}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Construire l'image du triangle $ABC$ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{BI}$
\item $G$ est le centre de gravit\'e du triangle $ABC$. Construire l'image de ce triangle par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AG}$. 
\end{enumerate}}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,5.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)(2.2500,3.6742)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[270.0000](0.0000,0.0000){A}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](6.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[270.0000](6.0000,0.0000){B}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.2500,3.6742)
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\psline(1.5000,0.1500)(1.5000,-0.1500)
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 \pcline[linewidth=1pt]{->}(6.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,5.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
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\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
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\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
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\psline(0.4502,1.0225)(0.7061,0.8658)
\psline(1.5439,2.8084)(1.7998,2.6518)
\psline(1.5752,2.8596)(1.8311,2.7029)
\psline(5.0004,0.7694)(5.2103,0.9837)
\psline(4.9575,0.8114)(5.1675,1.0257)
\psline(4.9147,0.8534)(5.1246,1.0677)
\psline(3.1254,2.6065)(3.3353,2.8208)
\psline(3.0825,2.6485)(3.2925,2.8628)
\psline(3.0397,2.6905)(3.2496,2.9048)
\psline(6.0000,0.0000)(1.1250,1.8371)
\psline(0.0000,0.0000)(4.1250,1.8371)
\psline(2.2500,3.6742)(3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.7500,1.2247)
\uput{0.3000}[70.0000](2.7500,1.2247){G}
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(0.0000,0.0000)(2.7500,1.2247)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Exoi{$ABCD$ est un parall\'elogramme de centre $O$, $B'$ et $D'$ sont les images de $B$ et $D$ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AC} $.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $B'$ et $D'$
\item D\'emontrer que le quadrilat\`ere $BDD'B'$ est un parall\'elogramme
\item D\'emontrer que $\mathscr A(BDD'B')=2\mathscr A(ABCD)$
\end{enumerate}}

\pagebreak
\section{Les vecteurs du plan}

\subsection{Caractérisation}

\Defc{Un vecteur est repr\'esent\'e par un segment orient\'e (une fl\`eche) ayant pour extr\'emit\'es un point de d\'epart et un point d'arriv\'ee. L'emplacement dans le plan ou l'espace n'a pas d'importance, deux d\'eplacements de deux points d'originie distincts peuvent correspondre au m\^eme vecteur, seuls comptent \underline{sa longueur}, \underline{sa direction} et \underline{son sens}. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parall\`element \`a lui-m\^eme.}

\begin{multicols}{2}
Ci-contre sont repr\'esent\'es dans le plan $\mathscr P$ quatre vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ et $\vec k$. Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont diff\'erents car leur direction est diff\'erente (elle est port\'ee par deux droites s\'ecantes), les vecteurs $\vec v$ et $\vec k$ sont diff\'erents car leur sens n'est pas le m\^eme. Les vecteurs $\vec v$ et $\vec w$ sont identiques car ils ont en commun sens, longueur et direction. On dit qu'ils repr\'esentent le m\^eme vecteur et on peut \'ecrire $\vec v=\vec w$ 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(3.2,2.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{3} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(3.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,1) \uput[d](1,1.2){\small $\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-1,-1)(0,1) \uput[l](-0.5,0){\small $\vec v$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(1,0)(3,1) \uput[l](2.5,0.3){\small $\vec w$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-1,1)(-3,0)\uput[l](-1.5,0.3){\small $\vec k$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Cadre{
\textbf{Caract\'erisation d'un vecteur :} Un vecteur non nul du plan est caract\'eris\'e par :
\begin{itemize}
 \item Sa direction \item Son sens \item Sa longueur
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Un vecteur d\'esigne un d\'eplacement rectiligne, il est ind\'ependant de son point de d\'epart (de son origine)
\item Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ son \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, par exemple $\vec u$. On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du vecteur $\vec u$
\item Le vecteur nul n'a ni sens, ni direction mais a pour longueur $0$.}


\Defc{
La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee norme. C'est un donc nombre positif ou nul. On le note $||\vec u||$. En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$
}
\begin{multicols}{2}
\Exoi{
Ci-contre sont repr\'esent\'es deux vecteurs.\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du vecteur $ \overrightarrow{AD}$
\item Calculer la longeur du vecteur  $ \overrightarrow{CB}$
\item Placer le point $F$ tel que $ \overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}$
\item Comparer le vecteur $ \overrightarrow{AD}$ et le vecteur $ \overrightarrow{DA}$
\item Comparer $\vec i$ et $\vec j$
\end{enumerate}}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-1.0000,3.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-2.0000,-3.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,1.0000)
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](-1.0000,3.0000){B}
\uput{0.3000}[0.0000](-2.0000,-3.0000){C}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,1.0000){D}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,-3)(-1,3) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(3,-1)(1,1) 
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\subsection{Egalité de deux vecteurs et opposés}

\Ptec{
Soient A, B, C et D quatre points avec A et B distincts. \newline
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux si et seulement si $ABDC$ est un parall\'logramme.
}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-2.2)(4.2,2.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,1.0000){B}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,-1.0000){C}
\uput{0.3000}[180.0000](-3.0000,1.0000){D}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(3,-1)(1,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-1,-1)(-3,1)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Att{On a $$ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\Longleftrightarrow ABDC \text{ est un parallélogramme}$$ parallélogramme qu'il ne faut pas confondre avec $ABCD$. }


\Ptec{Le point $K$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $$ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB} $$}

\Exoi{$ABCD$ et $ABDE$ sont deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}
\item Donner deux vecteurs 
\end{enumerate}}
\Defc{
Deux vecteurs sont dits oppos\'es lorsqu'ils ont :
\begin{itemize}
 \item La m\^eme direction
 \item La m\^eme norme
 \item Mais des sens oppos\'es
\end{itemize}
On note $-\vec u $ l'oppos\'e du vecteur $\vec u$. Ainsi l'oppos\'e de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
}
\begin{center}
\psset{xunit=01cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-2.2)(4.2,2.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](1.5000,0.0000){-$\vec u$}
\uput{0.3000}[180.0000](-2.5000,-0.0000){$\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(3,-1)(1,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,1)(-1,-1)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak
\Expl{Sur le dessin on a repr\'esent\'e six vecteurs.}
\vspace{-0.8cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-3.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-3.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-2,-3)(8,6)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,1.0000){B}
\uput{0.3000}[100.0000](0.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,5.0000){D}
\uput{0.3000}[180.0000](2.0000,-2.0000){E}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){F}
\uput{0.3000}[70.0000](5.0000,1.0000){G}
\uput{0.3000}[90.0000](4.0000,4.0000){H}
\psline{->}(2.0000,-2.0000)(0.0000,0.0000)
\psline{->}(5.0000,1.0000)(4.0000,4.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\psline{->}(3.0000,-2.0000)(6.0000,1.0000)
\psline{->}(0.0000,2.0000)(3.0000,5.0000)
\psline{->}(5.0000,1.0000)(2.0000,-2.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Donner les vecteurs \'egaux, puis les vecteurs oppos\'es.
 \item Reproduire chacun des vecteurs avec pour origine le point F
\end{enumerate}

\pagebreak
\section{Opérations sur les vecteurs}
\subsection{Somme de deux vecteurs}

\Ptec{Appliquer successivement la translation $t_1$ qui transforme $A$ en $B$, puis la translation $t_2$, qui transforme $B$ en $C$, revient à appliquer la translation $t$ qui transforme $A$ en $C$. }
\Dem{
On a représenté sur la figure ci-dessous l'image du point $A$ et du point $M$ par deux translations successives $t_1$ et $t_2$ associé aux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on constate que cela revient à effectuer une translation de vecteur $\vec w$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.62,-2.74)(5.98,5.12)
\psline{->}(-1.16,0.58)(2.9,1.18)
\psline{->}(2.9,1.18)(5.18,-0.4)
\psline{->}(-1.16,0.58)(5.18,-0.4)
\psline{->}(-3.14,4.2)(0.92,4.8)
\psline{->}(3.24,4.38)(5.52,2.8)
\psline{->}(-2.8,-1.36)(1.26,-0.76)
\psline{->}(1.26,-0.76)(3.54,-2.34)
\psline{->}(-2.8,-1.36)(3.54,-2.34)
\psline{->}(-2.84,2.88)(3.5,1.9)
\psline[linestyle=dotted](-2.8,-1.36)(-1.16,0.58)
\psline[linestyle=dotted](5.18,-0.4)(3.54,-2.34)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.16,0.58)
\rput[bl](-1.46,0.56){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.9,1.18)
\rput[bl](2.98,1.22){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.18,-0.4)
\rput[bl](5.26,-0.36){$C$}
\rput[bl](-1.14,4.58){$\vec u$}
\rput[bl](4.4,3.66){$\vec v$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.8,-1.36)
\rput[bl](-3.12,-1.54){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.26,-0.76)
\rput[bl](1.34,-0.72){$M'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.54,-2.34)
\rput[bl](3.62,-2.54){$M''$}
\rput[bl](0.34,2.46){$\vec w$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Prouvons le i.e prouvons que le quadrilatère $ACM''M$ est un parallélogramme.\\
Comme $B$ et $M'$ sont les images de $A$ et $M$ par la translation $t_1$ alors $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MM'}=\vec u$, ainsi le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme. De même, à l'aide de la translation $t_2$ on prouve que $BCM''M'$ est un parallélogramme. On a alors : $$ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{BM'}=\overrightarrow{CM''}$$
ce qui prouve que le quadrilatère $AMM''C$ est un parallélogramme.
}

\Rq{On vient de démontrer que deux translations successives de vecteur $ \vec u$ et $\vec v$ revient à effectuer une translation de vecteur $ \vec w$, cela pousse à écrire les égalités suivantes :}

\begin{center}
\begin{multicols}{2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.54,-2.78)(5.58,1.64)
\psline{->}(-1.16,0.58)(2.9,1.18)
\psline{->}(2.9,1.18)(5.18,-0.4)
\psline{->}(-1.16,0.58)(5.18,-0.4)
\psline{->}(-2.8,-1.36)(1.26,-0.76)
\psline{->}(1.26,-0.76)(3.54,-2.34)
\psline{->}(-2.8,-1.36)(3.54,-2.34)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.16,0.58)
\rput[bl](-1.46,0.56){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.9,1.18)
\rput[bl](2.98,1.22){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.18,-0.4)
\rput[bl](5.26,-0.36){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.8,-1.36)
\rput[bl](-3.12,-1.54){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.26,-0.76)
\rput[bl](1.34,-0.72){$M'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.54,-2.34)
\rput[bl](3.62,-2.54){$M''$}
\end{pspicture*}
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\text{ et } \overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{M'M''}=\overrightarrow{MM''}$$
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.54,-2.78)(5.58,1.64)
\psline{->}(-1.16,0.58)(2.9,1.18)
\psline{->}(2.9,1.18)(5.18,-0.4)
\psline{->}(-1.16,0.58)(5.18,-0.4)
\rput[bl](0.84,0.96){$\vec u$}
\rput[bl](4.06,0.46){$\vec v$}
\rput[bl](2.02,0.16){$\vec w$}
\end{pspicture*}
$$ \vec u+\vec v=\vec w$$
\end{multicols}

\end{center}

\Defc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. \\
Le vecteur $ \vec w=\overrightarrow{AC}$ de la translation $t$ obtenue en appliquant successivement la translation $t_1$ de vecteur $\vec u=\overrightarrow{AB}$ puis la translation $t_2$ de vecteur $ \vec v= \overrightarrow{BC}$ est appelé le vecteur somme des vecteurs $\vec u+\vec v= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}$. On note alors :
$$ \vec u+\vec v=\vec w$$ 
$$ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$
Cette égalité s'appelle la relation de Chasles. }

\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $\vec w$ tel que $\vec w = \vec u + \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,-1.0000){$\vec u$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,2.0000){$\vec v$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\item Montrer que pour tous points A, B, C et D on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{DB})=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ \newline
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{8} \def\ymin{-4} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,1.5000){B}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,-3.0000){D}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,1.5000)
\psline{->}(-1.0000,-2.0000)(2.0000,-3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Rq{Soit $A$, $B$ et $I$ trois points quelconques du plan, on a alors toujours :
$$ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$$}

\Exoi{Simplifier au maximum les relations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\vec u=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}$
\item $\vec v=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{ED}$
\end{enumerate}}

\pagebreak
\subsection{Différences de deux vecteurs}


\Defc{
La diff\'erence de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur not\'e $\vec u -\vec v =\vec u +(-\vec v) $. On l'obtient en ajoutant \`a $\vec u$ l'oppos\'e de $\vec v$.
}

\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $\vec w$ tel que $\vec w = \vec u - \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,-1.0000){$\vec u$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,2.0000){$\vec v$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\item Montrer que pour tous points A, B, C et D on a : $-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{8} \def\ymin{-4} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,1.5000){B}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,-3.0000){D}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,1.5000)
\psline{->}(-1.0000,-2.0000)(2.0000,-3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\subsection{Multiplication d'un vecteur par un nombre réel}
\subsubsection{D\'efinition}







\Defc{
Soit $\vec u $ un vecteur non nul et $k$ un r\'eel non nul. \newline
Le \textbf{produit} du vecteur $\vec u$ par le nombre $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$ d\'efini ainsi :
\begin{itemize}
 \item $k\vec u$ et $\vec u$ ont la m\^eme direction.
 \item Si $k > 0$ alors $k\vec u$ et $\vec u$ ont le m\^eme sens; 
       si $k<0$ alors $k\vec u$ et $\vec u$ sont de sens oppos\'es
 \item Si $k>0$ alors $||k\vec u|| = k||\vec u||$;
       si $k<0$ alors $||k\vec u|| = - k||\vec u||$, autrement dit $||k\vec u|| = |k| \times ||\vec u||$
\end{itemize}
Par convention : $0\vec u = \vec 0$ et $k\vec 0 = \vec 0$.
}

\Rq{
Soient A et B deux points distincts et $k$ un r\'eel donn\'e. Il existe un unique point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}$ qui se situe sur la droite $(AB)$. Plus pr\'ecis\'ement : 
(si $k<0$ ; si $0<k<1$ ; si $k>1$)
}

\vspace{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-2.2)(9.2,1.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{9} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-2.2)(9.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,0.0000){B}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](-1.0000,0.0000){M si k<0}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,0.0000){M si 0<k<1}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.5000,0.0000){M si k>0}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{-1cm}
\Expls{
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-1.2)(8.2,1.2)
\def\xmin{-5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-5.2,-1.2)(8.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-1)(8,1)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](6.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-2.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](4.0000,0.0000){E}
\psline(-5.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Compl\'eter les \'egalit\'e vectoriels suivantes :
$$\overrightarrow{CD}=\dots \overrightarrow{AB}\qquad;\qquad \overrightarrow{BA}=\dots\overrightarrow{CA} \dots\dots$$
 \item Placer les points $M$, $N$ et $K$ v\'erifiant $\overrightarrow{AM}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{ED}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
\end{enumerate}
}



\subsubsection{R\`egles de calcul}






\Ptec{
Pour tous vecteurs $\vec u $ et $\vec v$, pour tous nombres r\'eels $a$ et $b$, on a :
\begin{itemize}
 \item $a(b\vec u)=ab\vec u$
 \item $(a+b) \vec u = a\vec u + b\vec u$
 \item $a(\vec u + \vec v) = a\vec u + a\vec v$
 \item $a.\vec u = \vec 0 \Leftrightarrow a=0 \textrm{ ou } \vec u = \vec 0$
\end{itemize}
}

\Expls{
$\vec u + 5.1 \vec u = 6.1 \vec u \qquad 3(\vec u + \vec v)=3\vec u + 3 \vec v \qquad 2(5\vec u)=10\vec u \qquad -(4\vec u)=(-4)\vec u=-4\vec u \qquad \vec v = 4 \vec u \Leftrightarrow \vec u = \dfrac{1}{4}\vec v$
}

\Applic{Le centre de gravit\'e d'un triangle est situ\'e aux deux tiers de la m\'ediane en partant du sommet. \\
D\'emontrer la propri\'et\'e suivante :
}

\Ptec{Soit $ABC$ un triangle. Alors le centre de gravit\'e $G$ de ce triangle est l'unique point tel que :
$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$$}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Existence : On a $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AA'}$ o\`u $A'$ est le milieu du c\^ot\'e $[BC]$. Alors $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$
 Soit $D$ le point tel que $ABDC$ soit un parall\`elogramme. Alors $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AA'}$. Donc $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\times \dfrac{-2}{3}\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{AA'}+2\overrightarrow{AA'}=\vec 0$$
Donc le point $G$ v\'erifie bien la relation.
\item Unicit\'e : Soit $M$ un autre point tel que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec 0$\\
Alors on a $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG} +\vec 0$$ car $G$ est le centre de gravit\'e du triangle. \\
De plus on sait que $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec 0$, donc on a $3\overrightarrow{MG}=\vec 0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{MG}=\vec 0 \Longleftrightarrow M=G$. Donc le point $G$ est unique.
\end{itemize}}

\pagebreak
\section{Vecteurs et repérages}

\subsection{Coordonnées d'un vecteurs}
Dans tous le paragraphe on considère un repère $(O;I,J)$. 

\Rq{Il existe trois types de repère :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Rep\`ere quelconque & Rep\`ere orthogonal & Rep\`ere orthonormal \\ \hline
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-3.7)(4.2,3.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-3.7)(4.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(3.0000,-2.0000)
\uput{1.0000}[-45.0000](0.0000,0.0000){$\vec i$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,0.5000)
\uput{0.5000}[40.0000](0.0000,0.0000){$\vec j$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){O}
\psline(3.0000,-2.0000)(-2.0000,1.3333)
\psline(-2.0000,-0.5000)(8.0000,2.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=1.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.1)(2.1,5.1)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{2} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.6,-1.1)(2.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-1.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*} \\ \hline
$\vec i$ et $\vec j$ n'ont pas la & $\vec i$ et $\vec j$ sont  & $\vec i$ et $\vec j$ sont  orthogonaux\\
m\^eme direction & orthogonaux & et de m\^eme norme \\\hline
\end{tabular}
\end{center}}

\Defc{On considère un vecteur $\vec u$, alors les coordonnées du vecteur $\vec u$ sont celles du point $M$ défini par $ \overrightarrow{OM}=\vec u $. Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$.}

\Ptec{
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.72)(4.72,3.62)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.1,-1.72)(4.72,3.62)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.1,-1.72)(4.72,3.62)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1,2)(2,2)(2,1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(3,0)(3,-1)
\psline{->}(0,0)(3,-1)
\psline{->}(-1,2)(2,1)
\psline{->}(1,3)(4,2)
\psline[linestyle=dotted](-1,2)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](2,1)(3,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(2,2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,2)(2,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(3,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](3,-1)(0,0)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1,2)
\rput[bl](-1.34,1.94){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](2.08,1.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-1)
\rput[bl](3.08,-0.96){$M(3;-1)$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.24,-0.34){$O$}
\rput[bl](2.52,2.58){$w(3;-1)$}
\rput[bl](0.5,1.68){\zzttqq{$3$}}
\rput[bl](1.68,1.5){\zzttqq{$-1$}}
\rput[bl](1.5,-0.32){\zzttqq{$3$}}
\rput[bl](2.68,-0.5){\zzttqq{$-1$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Ptec{Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.}

\Rq{On admet ce théorème.}

\Exoi{Dans le plan muni d'un repère $(O;I,J)$ on considère les points $A(-3;-1)$, $B(5;-2)$, $C(7;3)$. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.}

\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment et distance $AB$}

\Ptec{Soit $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ et $I(x_I;y_I)$ trois points du plan. \\
$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $$\left\{ \begin{array}{l} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} \\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}  \end{array} \right.$$
}

\Preuve{$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $ \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.\\
Par conséquent ces deux vecteurs ont mêmes coordonnées, ainsi :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x_I-x_A=x_B-x_I \\ y_I-y_A=y_B-y_I  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2} \\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}  \end{array} \right.$$} 


\Exoi{Si $A(-2;3)$ et $B(4;-2)$, déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$.}

\Ptec{
Soit $\vec u(x;y)$ un vecteur dans le rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. Alors $$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
}

\Rq{La démonstration repose sur le théorème de Pythagore, pour pouvoir l'appliquer il est par conséquent indispensable que le repère soit orthonormal.}
\Corc{
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$
}

\Exoi{Soit $A(1;-2)$, $B(4;2)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. Démontrer que $B$ appartient au cercle $\mathscr C$ de centre $A$ et de rayon $r=5$. Contrôler le résultat sur une figure.}

\subsection{Opérations et coordonnées}

\Ptec{
Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et $k$ un nombre r\'eel. Si $\vec u \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} x' \\ y'  \end{array} \right)$ alors :
\begin{center}$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array} \right)$
 \hspace{2cm} $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} kx \\ ky  \end{array} \right)$.
\end{center}
}
\Expl{
Dans un rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$, on donne les points $A(-3;1)$, $B(5;2)$ et $C(0;-1)$.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees des vecteurs $\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{OB}$ et $\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{OC} \right)$
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees du point $M$ d\'efini par $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$
\end{enumerate}
}
\section{Colin\'earit\'e}



\Defc{
Deux vecteurs non nuls sont dits colin\'eaires lorsqu'ils ont la m\^eme direction.
Par convention, le vecteur nul est colin\'eaire \`a tout vecteur.
}
\Thc{
$\vec u$ et $\vec v$ sont colin\'eaires ssi il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$
}
\Dem{
$\Leftarrow$ Trivial de par la d\'efinition de la multiplication d'un vecteur par un r\'eel.\\
$\Rightarrow$ Admis 
}

\Expl{
Citer des vecteurs colin\'eaires de la figure ci-dessous et traduire par une relation vectorielle :} 
\begin{center}
 \psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{9} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-3)(9,6)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,4.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,4.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[110.0000](5.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](4.5000,-2.0000){F}
\psline{->}(1.0000,4.0000)(0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(6.0000,4.0000)
\psline{->}(6.0000,4.0000)(4.5000,-2.0000)
\psline{->}(4.5000,-2.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{Conditions de colin\'earit\'e}


\Rq{
Rappelons que nous avons dit que deux vecteurs sont colin\'eaires ssi ils ont la m\^eme direction. Nous avons aussi vu que les vecteurs $\vec u$ et $k\vec u$ sont colin\'eaires. Nous admettons la r\'eciproque.\newline
La conjecture suivante peut \^etre \'enonc\'ee : Si deux vecteurs non nuls sont colin\'eaires alors leurs coordonn\'ees sont proportionnels et l'un est \'egal au produit de l'autre par un r\'eel. La d\'emonstration n'est pas exigible et l'on peut admettre le r\'esultat.\newline
On pourra cependant montrer que si les coordonn\'ees de $\vec u$ et $\vec v$ non nuls sont proportionnels alors il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u=k\vec v$.
}

\Thc{
Dans le plan muni d'un rep\`ere $(O;\vec i; \vec j) $, \newline
les vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$ sont colin\'eaires ssi  il existe un r\'eel $k$ tel que 
$$x=kx' \qquad \textrm{et} \qquad y=ky' $$
}

\Dem{
$\vec u$ et $\vec v$ sont colin\'eaires ssi il existe un nombre $k$ tel que $\vec u =k \vec v$. Or le vecteur $k\vec v$ a pour coordonn\'ees a pour coordonn\'ees $(kx';ky')$. D'o\`u $\vec u =k \vec v \Longleftrightarrow  x=kx' \quad ; \quad y=ky'\quad $
}

\Expls{
$\vec u \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} 4.5 \\ 6  \end{array} \right)$ sont-ils colin\'eaires ? \newline
M\^eme question pour $\vec s \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec g \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2  \end{array} \right)$
}

\subsection{Alignement}


\Thc{
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parall\`eles ssi $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colin\'eaires.
}
\Corc{
Trois points distincts sont align\'es ssi deux des vecteurs form\'es par ces trois points sont colin\'eaires.}


\Dem{
Deux droites parall\`eles avec un point commun sont confondues.
}

\Cadre[M\'ethode : ]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Expl{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que A, M et N sont align\'es.
}


\pagebreak
\Cj{Activit\'e 3}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.45cm , yunit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-6.7,-2.2)(8.7,4.2)
\def\xmin{-6.5} \def\xmax{8.5} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-6.7,-2.2)(8.7,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.45cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6.5,-2)(8.5,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){B}
\psline(-6.50000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace{-3mm}
Soient deux points $A$ et $B$ distincts. On pose $\overrightarrow{AB}=\vec i$.
\begin{enumerate}
 \item Placer $C$ le sym\'etrique de $A$ par rapport \`a $B$ et $D$ le sym\'etrique de $C$ par rapport \`a $A$. 
\newline Proposer une expression du vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\vec i$
\newline Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AD}$ en fonction du vecteur $\vec i$.
\item Placer les points $M_1$ et $M_2$ de la droite $(AB)$ v\'erifiant $AM_1=AM_2=\dfrac{1}{2}AB$ 
 \newline Proposer une expression des vecteurs $\overrightarrow{AM_1}$ et $\overrightarrow{AM_2}$ en fonction du vecteur $\vec i$.
 \item Placer le point $E$ tel que le triangle $ABE$ soit rectangle isoc\`ele en $B$.
 \newline Exprimer la distance $AE$ en fonction de la distance $AB$
 \item Placer $F$ et $G$ les points distincts de la droite $(AB)$ tels que $AF=AG=AE$ et $F\in [AB)$.
 \newline \'Ecrire les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\vec i$. \newline
Peut-on faire de m\^eme avec le vecteur $\overrightarrow{AE}$
 \item Placer les points $H$ et $K$ tels que $\overrightarrow{EH}=2\vec i$ et $\overrightarrow{EK}=-\dfrac{3}{2}\vec i$
\end{enumerate}

\Cj{Activit\'e 4}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.45cm , yunit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-5.2)(9.2,5.2)
\def\xmin{-5} \def\xmax{9} \def\ymin{-5} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-5.2,-5.2)(9.2,5.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.45cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-5)(9,5)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(3.0000,2.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,-1.0000)
\uput{1.000}[45.0000](0.0000,0.0000){$\vec u$}
\uput{0.5000}[-50.0000](0.0000,0.0000){$\vec v$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){O}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Construire les points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{OA}=\dfrac{1}{3}\vec u$,  $\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{3}\vec u+2\vec v$ et $\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{3}\vec u-2\vec v$
\item \begin{enumerate}
 \item Construire les points $X$, $Y$ et $Z$ tels que $\overrightarrow{OX}=-\vec u-2\vec v$, $\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OX}$ et $\overrightarrow{OZ}=-\dfrac{2}{3}\vec u$\newline Que constate-t-on ?
\item Construire les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{OE}=2.5(\vec u+\vec v)$ et $\overrightarrow{OF}=2.5\vec u+2.5\vec v$\newline
Que constate-t-on ?
\item Construire les points $G$ et $H$ tels que $\overrightarrow{OG}=-2(3\vec v)$ et $\overrightarrow{OH}=-6\vec v$\newline
Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

