\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $2^\text{nde}$ }
\author{D. Zancanaro}
\date{2011-2012}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Polyn\^omes de degr\'e 2}	
\newcommand{\Cl}{$2^\text{nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{11}


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\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
\setcounter{NumLecon}{8}
\debutdwicky{ep31_omar_bunk-1.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et co-écrite avec Ed Burns, diffusée sur HBO du 2 juin 2002 au 9 mars 2008.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de Baltimore, etc.\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique.\\
Curiosité, elle est aussi la série préférée de Barack Obama, le président des USA déclare être fasciné par le personnage d'Omar$\dots$}{1}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{8}
\TITRE{chap.eps}{0.3}

\begin{abstract}
Les fonctions permettent de modéliser de nombreuses situations. Par exemple, les trajectoires de balles ou d'objets dans l'air et dans le vide semble décrirent des arcs de paraboles. L'étude des polynômes de degré $2$ nous permettra d'appliquer toutes les notions entrevues en début d'année sur les fonctions.
\end{abstract}

\Pbl{On connait l'aire  $\mathscr A=10 $ cm$^2$ et le périmètre $\mathscr P=16$ cm d'un rectangle. Peut-on déterminer les longueurs des côtés de ce rectangle. }

\Sol{Si on note $x$ et $y$ les longueurs des deux côtés cherchés alors :
$$ xy=10\qquad \text{et}\qquad x+y=8\Longleftrightarrow y=8-x$$
Ainsi $x(8-x)=10\Longleftrightarrow 8x-x^2=10\Longleftrightarrow x^2-8x+10=0$.\\
En posant $P(x)=x^2-8x+10$. On est amené à rechercher les éventuels antécédents de $0$. A l'aide de la calculatrice et de la représentation graphique de la fonction $P$ on peut déjà avoir une idée de la réponse :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.83,-6.37)(10.04,8.08)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.83,-6.37)(10.04,8.08)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-3.825000000000001}{10.035000000000002}{x^2-8*x+10}
\rput[tl](1.08,7.45){$\qqqqzz{\mathscr C_p : y=x^2-8x+10}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
$0$ a deux antécédents par $P$, qui sont approximativement $1,5$ et $6,5$.\\
Si $x=1,5$ et $y=6,5$, on obtient $xy=9,75$ et $x+y=8$, ce qui semble être une bonne approximation.
}

\pagebreak

\section{Cas particulier : La fonction carré}
\subsection{D\'efinition}
\Defc{On appelle fonction carr\'ee la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2$.}

\Ptec{La fonction carr\'ee ne poss\`ede ni quotient, ni racine, elle est d\'efinie sur $\R$.}

\Exop{$f$ est la fonction carré. Calculer les images par $f$ des réels :
\begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
 \item $-4$  \item $\dfrac{2}{3}$ \item $-\dfrac{11}{5}$ \item $3\sqrt{56}$ 
\item $-2\sqrt{13}$ \item $10^{41}$ \item $8\times 10^{-4}$  \item $2+\sqrt{5}$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\subsection{Sens de variation et tableau de variations}
\Ptec{La fonction carr\'ee est strictement d\'ecroissante sur $]-\infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.}

\Dem{
Considérons deux réels $a$ et $b$ tels que $0\leq a<b$
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b)<0\Longleftrightarrow a^2<b^2$$
Par conséquent les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre et la fonction carrée est strictement croissante sur $\R^{+}$\\
Considérons deux réels $a$ et $b$ tels que $0\leq a<b$
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0\Longleftrightarrow a^2>b^2$$
Par conséquent les images et les antécédents sont rangés dans l'ordre inverse et la fonction carrée est strictement décroissante sur $\R^{-}$
}

On peut alors dresser le tableau de variations de la fonction carr\'ee :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2}&&\fd&\txb{0}&\fm&\cr
}$$
D'apr\`es le tableau de variations, la fonction carr\'ee admet 0 comme minumum sur $\R$, atteint en 0.\newline

\Exop{ Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer : 
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item $(2.3)^2$ et $(2.15)^2$
 \item $(-1.002)^2$ et $(-0.999)^2$
 \item $\pi^2$ et $(\pi-1)^2$
 \item $(2-\sqrt{7})^2$ et $(2-\sqrt{5})^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Soit $x$ un r\'eel tels que $2\leq x \leq 4$. Donner un encadrement de $-3x^2$.
 \item Soit $y$ un r\'eel tels que $-9\leq y \leq -2$. Donner un encadrement de de $\dfrac{y^2}{5}$.
  \item Soit $z$ un r\'eel tels que $-9\leq z \leq 1$. Donner un encadrement de de $z^2$.
 \item Soit $t$ un r\'eel tels que $0\leq \sqrt{-5t-1} \leq 2$. Donner un encadrement de $t$.
\end{enumerate}
}


\subsection{Courbe repr\'esentative}

\Defc{Dans un rep\`ere orthogonal du plan, la courbe repr\'esentative de la fonction carr\'ee est appel\'ee \textbf{parabole} de sommet l'origine du rep\`ere.}

On esquisse la courbe repr\'esentative $\mathcal C_f$ de la fonction carr\'ee sur $\R^+$ en s'appuyant sur un tableau de valeurs :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
  $x$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & $\frac{3}{2}$ & 2 & $\frac{5}{2}$ &  $-\frac{1}{2}$ & -1 & $\dots$ \\\hline
 $f(x)$ & 0 & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\frac{9}{4}$ & 4 & $\frac{25}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\dots$\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1.1)(3,8)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-1)(3,8.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.5,-1)(4.5,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
 \uput[ur](1.5,7){$y=x^2$}
\psdot(2.3,5.29) \uput[ur](2.3,5.29){$M$} \uput[d](2.3,0){$x$} \uput[dr](0.2,5.29){$x^2$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](2.3,0)(2.3,5.29)(0,5.29)
\psdot(-2.3,5.29) \uput[ur](-2.3,5.29){$M'$} \uput[d](-2.3,0){$-x$} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-2.3,0)(-2.3,5.29)(0,5.29)
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linecolor=green](1.0300,5.1500)(1.2300,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.9700,5.1500)(1.1700,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.2300,5.1500)(-1.0300,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.1700,5.1500)(-0.9700,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.0000,5.6000)(0.3000,5.6000)(0.3000,5.3000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\Ptec{La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On dit que la fonction est \textit{paire}.}

\Dem{
Pour tout nombre réel $x$ le point $M(x;x^2)$ est sur la parabole $\mathscr P $ représentative de la fonction carré.\\
Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est $M'(-x;x^2)$.\\
Or ce point $M'$ est lui aussi sur $\mathscr P$ car $(-x)^2=x^2$.
}

\Rq{On sait qu'un carré est toujours positif.}


\Exop{Résoudre chaque inéquation en s'aidant de la courbe de la fonction carré :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $x^2 \leq 5$ \item $x^2 \leq -3$ \item  $x^2 > 2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exop{Tracer sur l'écran d'une calculatrice graphique les courbes de la fonction carré et de la fonction affine définie par $f(x)=x$.\\
Comparer alors un réel et son carré. Justifier les réponses.}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction carré sur l'intervalle $[-3;3]$, 
puis celle de la fonction affine $x \mapsto -x+2$.
\item Par lecture graphique, déterminer les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.
\item Développer $(x+2)(x-1)$.
\item Retrouver les solutions de la première question par le calcul.\\
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\section{Cas général : Les fonctions polynômes de degré $2$}

\subsection{Forme développée}
\Defc{Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$ est un réel non nul et $b$ et $c$ sont deux réels quelconques.}

\Expl{La fonction $P$ définie par $P(x)=x^2-8x+10$ est une fonction polynôme de degré $2$.\\
Les fonctions affines ne sont pas des fonctions polynômes. Elles sont obtenues pour $a=0$, on parle de fonction polynôme de degré $1$.}

\Rq{$f(x)=ax^2+bx+c$ est la forme développée de la fonction polynôme $f$. Elle est pratique pour :
\begin{itemize}
\item déterminer l'image de $0$ : $f(0)=c$.
\item déterminer les antécédents éventuels de $c$ : $f(x)=c\Longleftrightarrow ax^2+bx=0\Longleftrightarrow x(ax+b)=0\Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou}\quad x=-\dfrac{b}{a}$
\end{itemize}}

\Exop{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)(x+2)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.
\item Calculer l'image de $0$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-2$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
\end{enumerate}}
\subsection{Forme canonique}
\subsubsection{Définition}
\Thc{Toute fonction polynôme de degré $2$ peut s'écrire sous la forme (dite canonique) $f(x)=\alpha \left(x-\beta\right)^2+\gamma$ où $\alpha$ est un réel non nul et $\beta$ et $\gamma$ sont deux réels quelconques.}

\Dem{Si $f$ est une fonction polynôme de degré $2$ alors il existe $a\neq 0$ et deux réels $b$ et $c$ tels que :
$$ \forall x\in\R\qquad f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c$$
Remarquons que $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+2\times \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x$
\\
Ainsi, $\forall x\in\R$ on a :
$$ f(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}\right)+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$$
En posant $\alpha=a$, $\beta=-\dfrac{b}{2a}$ et $\gamma=-\dfrac{b^2}{4a}+c$, on obtient le résultat désiré.
}

\Rq{Le premier intérêt de la forme canonique est de déduire un extremum de la fonction $f$.\\
En effet, si $a>0$ alors :
$$ \left(x-\beta\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow \alpha\left(x-\beta\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow \alpha\left(x-\beta\right)^2+\gamma\geq \gamma$$
De pus $f(\beta)=\alpha(\beta-\beta)+\gamma=\gamma$. Ce qui prouve que $\gamma$ est le minimum de $f$ atteint pour $x=\beta$.\\
Si $a<0$ alors :
$$ \left(x-\beta\right)^2\geq 0\Longleftrightarrow \alpha\left(x-\beta\right)^2\leq 0\Longleftrightarrow \alpha\left(x-\beta\right)^2+\gamma\leq \gamma$$
De pus $f(\beta)=\alpha(\beta-\beta)+\gamma=\gamma$. Ce qui prouve que $\gamma$ est le maximum de $f$ atteint pour $x=\beta$.}

\Thc{Soit $f$ une fonction polnôme de degré $2$ telle que $f(x)=\alpha \left(x-\beta\right)^2+\gamma$, alors $f$ admet $\gamma$ pour extremum atteint en $\beta$.}

\Rq{Si $f(x)=ax^2+bx+c$ alors l'extremum vaut $c-\dfrac{b^2}{4a}$ atteint lorsque $x=-\dfrac{b}{2a}$.}

\Exop{Dans chacun des cas suivants, déterminer l'extremum de $f$, on précisera s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum et pour quelle valeur de $x$ il est atteint.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-3(x-1)^2+2$
\item $f(x)=4(x+2)^2-5$
\item $f(x)=-2x^2+1$
\item $f(x)=7\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$
\item $f(x)=9(x+\pi)^2-1$
\item $f(x)=-(x+1-\sqrt{2})^2+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\subsubsection{Variations et représentation graphique}
On étudie les variations de la fonction $f$ définie pour  $x\in \R$ par :
$$f(x)=\alpha(x-\beta)^2+\gamma $$
\begin{itemize}
\item \textit{Cas 1} : $\alpha>0$\\
\textbf{Montrons que $f$ est strictement croissante sur $\left[\beta;+\infty\right[$.}\\
Considérons deux antécédents $x$ et $y$ de $\left[\beta;+\infty\right[$ avec $\beta\leq x<y$ et montrons que $f(x)<f(y)$.\\
Pour cela étudions le signe de $f(x)-f(y)$.\\
$$ f(x)-f(y)=\alpha(x-\beta)^2+\gamma-\left(\alpha(y-\beta)^2+\gamma\right)=\alpha(x-\beta)^2+\gamma-\alpha(y-\beta)^2-\gamma$$
$$f(x)-f(y)=\alpha(x-\beta)^2-\alpha(y-\beta)^2=a\left((x-\beta)^2-(y-\beta)^2\right)=a(x-\beta+y-\beta)(x-\beta-y+\beta)=a(x-\beta+y-\beta)(x-y)$$
Comme $x<y$ alors $x-y<0$. Comme $x\geq \beta\Longleftrightarrow x-\beta\geq 0$ et enfin comme $y\geq \beta\Longleftrightarrow y-\beta\geq 0$. Ainsi $x-\beta+y-\beta\geq 0$ et donc $(x-\beta+y-\beta)(x-y)<0\Longrightarrow \alpha(x-\beta+y-\beta)(x-y)<0\Longrightarrow f(x)-f(y)<0\Longrightarrow f(x)<f(y)$.\\
On vient de montrer que images et antécédents sont rangés dans le même ordre sur $\left[\beta;+\infty\right[$.
\\
\textbf{Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[\beta;+\infty\right[$.}\\
\textbf{Montrons que $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;\beta\right]$.}\\
Considérons deux antécédents $x$ et $y$ de $\left]-\infty;\beta\right]$ avec $x<y\leq \beta$ et montrons que $f(x)>f(y)$.\\
Pour cela étudions le signe de $f(x)-f(y)=\alpha(x-\beta+y-\beta)(x-y)$.\\
$x-y<0$ et $x-\beta+y-\beta\leq 0$, par conséquent $(x-\beta+y-\beta)(x-y)>0\Longrightarrow \alpha(x-\beta+y-\beta)(x-y)>0\Longrightarrow f(x)>f(y)$\\
On vient de montrer que images et antécédents sont rangés dans l'ordre inverse sur $\left]-\infty;\beta\right]$.
\\
\textbf{Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;\beta\right]$.}\\
\item \textit{Cas 2} : $\alpha<0$
\\
La démonstration est identique, cependant comme $\alpha<0$, on obtient des résultats opposés i.e \textbf{$f$ est strictement décroissante sur $\left[\beta;+\infty\right[$.} et \textbf{$f$ est strictement croissante sur  $\left]-\infty;\beta\right]$.}
\end{itemize}
On retiendra donc que lorsque $\alpha>0$ on a :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\beta$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$\gamma$}; 
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Et lorsque $\aplha<0$ on a :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\beta$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$\gamma$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Observons sur deux exemples les représentations graphiques de fonction polynôme de degré $2$.\\
Considérons les fonctions $f_1(x)=3(x-4)^2-2$ et $f_2(x)=-(x+1)^2+1$.\\
D'après le résultat précédent on connait leur tableau de variation que voici :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$4$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f_1(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-2$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}

puis %:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f_2(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$1$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "f'(x)", "f(x)"],
%	["-\\infty", "", "+", ""],
%	["-1", "0", "-", "1"],
%	["+\\infty", "", "?", ""]
%]

On trace comme à l'habitude les représentations graphiques des deux fonctions $f_1$ et $f_2$

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.37,-8.01)(14.29,8.15)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.37,-8.01)(14.29,8.15)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-5.372222222222227}{14.292777777777788}{3*(x-4)^2-2}
\rput[tl](5.92,4.37){$\qqqqzz{\mathscr C_{f_1} : y=3 (x - 4)^2 - 2}$}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-5.372222222222227}{14.292777777777788}{-(x+1)^2+1}
\rput[tl](2.46,-4.99){$\zzqqqq{\mathscr C_{f_2} : y=-(x+1)^2+1}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Defc{La représentation graphique d'une fonction polynôme $f$ de degré $2$ est appelée parabole et a pour équation $y=f(x)$.}

\Exop{Dans chacun des cas suivants, construire le tableau variation de $f$, puis tracer la courbe réprésentative de $f$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-3(x-1)^2+2$
\item $f(x)=4(x+2)^2-5$
\item $f(x)=-2x^2+1$
\item $f(x)=7\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2$
\item $f(x)=9(x+\pi)^2-1$
\item $f(x)=-(x+1-\sqrt{2})^2+1$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\subsubsection{Retrouver la forme canonique d'une fonction polynôme de degré $2$}
\Thc[admis]{Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$ et $f(x)=\alpha \left(x-\beta\right)^2+\gamma$ sa forme canonique. La représentation graphique de $f$ admet la droite verticale d'équation $x=\beta$ comme axe de symétrie.}

\Expl{On donne $f(x)=2x^2+6x-5$. Retrouvons la forme canonique de $f$.\\
Déterminons les antécédents éventuels de $-5$ :
$$ 2x^2+6x-5=-5\Longleftrightarrow 2x^2+6x=0\Longleftrightarrow x(2x+6)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 2x+6=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{6}{2}=-3$$
Ainsi on a $f\left(-3\right)=-5=f(0)$. 
Graphiquement on a une situation du type :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.14,-9.76)(8.71,1.98)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.14,-9.76)(8.71,1.98)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-6.137222222222228}{8.712777777777783}{2*x^2+6*x-5}
\rput[tl](0.88,-5.85){$\qqqqzz{\mathscr C_{f} : y=2x^2+x-5}$}
\psplot[linecolor=qqzzqq]{-6.14}{8.71}{(-5-0*x)/1}
\psline[linecolor=zzqqqq](-1.5,-9.76)(-1.5,1.98)
\end{pspicture*}
\end{center}
Clairement $\beta=\dfrac{-3+0}{2}=-1,5$, $\alpha=2$ et $\gamma$ est le minimum de $f$ atteint lorsque $x=-1,5$.\\
Calculons $f(-1,5)=2\times (-1,5)^2-6\times 1,5-5=\dfrac{9}{4}-9-5=\dfrac{9}{4}-14=\dfrac{9}{4}-\dfrac{56}{4}=-\dfrac{47}{4}$.
\\
En conclusion on obtient :
$$ f(x)=2(x+1,5)^2-\dfrac{47}{4}$$}

\Exop{Dans chacun des cas suivants, retrouver la forme canonique de la fonction $f$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+2x-2$
\item $f(x)=3x^2-5x+1$
\item $f(x)=3x^2-12x-1$
\item $f(x)=-3x^2+12+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
}
\pagebreak

\subsection{Forme factorisée}


\Exop{Dans chacun des cas suivants, montrer que $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(x-1)(x-2)$
\item $f(x)=(2x-1)(4-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Thc{Toute fonction $f$ pouvant s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-r)(x-r')$ avec $a\neq 0$ et $r$ et $r'$ deux réels quelconques est une fonction polynôme de degré $2$ écrite sous sa forme factorisée.}

\Rq{La forme factorisée d'un polynôme est utile pour déterminer les antécédents de $0$ (que l'on appelle les racines) ou encore pour dresser le tableau de signe d'un polynôme.}

\Dem{$f(x)=a(x-r)(x-r')=a(x^2+(-r-r')x+rr')=ax^2+a(-r-r')x+arr'$ est donc bien une fonction polynôme de degré $2$.}


\Exop{On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x)=x^2-8x+10$ (il s'agit de la fonction issue du problème d'introduction).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme canonique de $P$.
\item En déduire la forme factorisée.
\item En déduire les solutions aux problèmes d'introduction.
\item Déterminer le signe de $P$ en fonction des valeurs de $x$.
\end{enumerate}}


\Exop{Dans chacun des cas suivants, déterminer le signe tableau de signe des fonctions $f$ en fonction des valeurs de $x$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(2x+1)(-x+5)$
\item $f(x)=(5x-1)(3x+1)$
\item $f(x)=(1-x)(1+x)$
\item $f(x)=x^2-5$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exop{Reprendre les fonctions de l'exercice précédent et résoudre successivement chacune des inéquations ou équations suivantes $f(x)=0$ puis $f(x)<0$ puis $f(x)\geq 0$ puis $f(x)\leq 0$ et enfin $f(x)>0$.}

\end{document}