\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 3 : G\'eom\'etrie dans l'espace }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
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\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie \linebreak[2] dans l'espace}	
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune


\setcounter{NumLecon}{3}

\debutdwicky{swim.eps}{Swim}{Caribou}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Depuis ses débuts sous le nom de Manitoba, le canadien Dan Snaith n’en finit plus de sonder en profondeur l’électro-pop. Passé l’expérience Manitoba, Dan s’est accaparé les commandes du groupe Caribou, déjà auteur de deux albums remarquables et dont le dernier exercice, Andorra, avait permis au groupe de véritablement exploser par la force d’un single trompeur, Melody Day. En effet, Caribou n’a jamais cherché à écrire la pop-song parfaite, celle que l’on se prend à fredonner dans la rue, le groupe préférant questionner en permanence la structure lacunaire couplet/refrain d’une chanson pop et montée/descente d’une piste électro.
 La démarche pop et la dimension psychédélique se font moins évidente que sur Andorra pour davantage se concentrer sur la structure chirurgicale des morceaux. Il y a cette impression tenace de tenir ici l’album ayant réussi l’alchimie parfaite entre les expérimentations audacieuses d’Animal Collective et les comptines électronica de Four Tet.
 Caribou atteint avec Swim un niveau insoupçonné d’homogénéité et semble parvenir à une sorte de plénitude. Swim se révèle plus sombre, mais jamais plombant, que ses prédécesseurs notamment sur l’électro 80’s d'un Leave House chancelant et sur le fantastique Found Out dont les trois minutes d’électro-pop risquent fortement de parasiter durablement vos pensées par la force d'un thème d'une simplicité désarmante.\\
Avec Swim, Caribou signe un brillant album de pop électronique ingénieuse et démontre une fois de plus tout le génie de Dan Snaith. Il n’en reste pas moins que Caribou est un groupe prenant toute sa mesure en live où ses prestations psychédéliques révèlent tout leur pouvoir hypnotique et il y a fort à parier qu'avec ce nouvel album, les prochains concerts vont être sublimés. }{0.4}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{espace.eps}{0.15}

\begin{abstract}
Nous allons tenter \`a travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l'on appelle la dimension $3$ : l'espace.\newline
Une des plus grandes difficult\'es sera de parvenir \`a voir des figures spatiales, alors qu'elles sont trac\'ees sur une feuille (donc dans un plan), c'est-\`a-dire  en dimension $2$.\newline
Nous rappellerons quelques r\`egles de perspective cavali\`ere, ainsi que les pi\`eges qu'il faudra \'eviter.\newline
L'\'el\`eve curieux peut se demander si on peut aller plus loin dans les dimensions... En effet, durant la scolarit\'e, on ne cesse d'augmenter le nombre de dimension, $1$ avec les droites, $2$ avec la g\'eom\'etrie plane et $3$ avec l'espace. Et bien oui ! On peut d\'efinir des espaces de dimension $4$, le plus connu \'etant l'espace-temps. Il devient difficile par contre de repr\'esenter de telles g\'eom\'etries...\newline
On peut aussi se demander si la perspective cavali\`ere est la seule mani\`ere de repr\'esenter l'espace. La r\'eponse est non, en peinture il n'est pas rare de voir une autre mani\`ere de repr\'esenter l'espace : la perspective parall\`ele.
\end{abstract}


\section*{Problème d'introduction}

\textbf{Construction d'un tétraèdre régulier en origamie}

Visionner le film de la construction d'un solide en origamie, sur le site de 
\href{http://bidouillesetmathscollege.blogspot.com/2009/11/activite-geometrie-dans-lespace.html}{Bricomath}.
\\
Ou alors reproduiser les pliages qu'indique la suite de figures suivantes :


 \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.000,23.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.35,20.2635)(10.7000,16.7635)
\pspolygon(0.000,23.7635)(5.35,20.2635)(10.700,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(10.7,0)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(6.5,7.2)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0)(10.70000,29.7)(0.0000,29.7000)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(10.7000,4.7635)(0,10.7635)(10.7,16.7635)(0,23.7635)(10.7,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}


Après avoir effectué cette construction on obtient une pyramide où chacune des $4$ faces est un triangle. On dit qu'il s'agit d'un tétraèdre. On remarque même que toutes les faces sont des triangles équilatéraux, on parle alors de tétraèdre régulier.\\

En voici une représentation en perspective :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.18,0.75)(3.6,6.19)
\psline(0.94,5.79)(-1.66,1.64)
\psline(-1.66,1.64)(1.42,0.98)
\psline(1.42,0.98)(3.16,1.64)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3.16,1.64)(-1.66,1.64)
\psline(0.94,5.79)(1.42,0.98)
\psline(0.94,5.79)(3.16,1.64)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.66,1.64)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.16,1.64)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.42,0.98)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.94,5.79)
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{Objectif} : Démontrons que le tétraèdre construit est régulier i.e que chacune de ses faces est un triangle équilatéral.
\\
\textbf{Rappels de la construction par des schémas : }\\

 \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\uput{0.1000}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\uput{0.1000}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,0){B}
\uput{0.1000}[-90.0000](10.7000,0){E}
\uput{0.1000}[130.0000](10.7000,6.9365){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des points $B$ et $B'$ ? En déduire que $(AC)$ est la médiatrice de $[BB']$, et par conséquent que $$ DB'=DB\quad \text{, }\quad B'C=CB\quad \text{et}\quad AB'=AB$$
\item Utiliser le théorème des milieux pour montrer que $D$ est le milieu de $[AC]$. \\
En déduire que $DC=DB$.
%\item Expliquer pourquoi $(AC)$ est une hauteur et une médiane dans $ABB'$.\\
\item Montrer que $\widehat{B'DC}=\widehat{BCD}=\widehat{BDC}$.\\
En déduire la nature du triangle $BCD$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Généralités et représentations de l'espace}
\subsection{Représentation d'un plan}

La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère 
ces notions comme des notions premières, c'est-à-dire suffisamment 
familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera nécessaire 
d'admettre un certain nombre de propriétés de base.\\
Un point désigne un endroit précis. On le représente par un 
point ($.$) ou une croix $(\times)$, et on lui donne un nom. Mais 
il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de 
l'objet théorique, "point", qui n'a pas d'étendue.\\
Une droite est un ensemble de points, qu'on représente par un 
"segment", et auquel on donne un nom. il faut bien comprendre qu'il ne 
s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, "droite", 
qui n'a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens.\\
Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne 
représentation d'un plan. Lorsque l'on veut représenter plusieurs 
plans de l'espace, on représente chacun d'entre eux par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans tous les sens.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1}		
\end{center}


\subsection{La perspective cavalière}
Dans un repr\'esentation en perspective cavali\`ere : 
\begin{enumerate}
\item Les segments visibles sont dessin\'es en traits pleins ; les autres sont dessin\'es en pointill\'es.
\item Des points align\'es sont repr\'esent\'es par des points align\'es.
\item Deux droites de l'espaces parall\`eles (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par deux droites parall\`eles. 
\item Des droites concourantes (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par des droites concourantes.
\item \textbf{Attention !} Des droites qui ne sont pas concourantes peuvent aussi \^etre repr\'esent\'ees par des droites concourantes.
\item Le milieu d'un segment est repr\'esent\'e par le milieu du segment dessin\'e. 
\item Dans un plan de face, une figure est repr\'esent\'ee \`a l'\'echelle, dans les autres plans, les tailles sont r\'eduites proportionnellement.                                           
\end{enumerate}

\Expl{Les segments $[AD]$ est $[DC]$ n'étant pas visibles ont été représentés en pointillés au contraire du segment $[AB]$.\\
Les droites $(AB)$ est $(DC)$ sont parallèles et sont représentées comme deux droites parallèles. \\
Notons que deux droites perpendiculaires de l'espace ne sont pas nécessairement représentées comme deux droites perpendiculaires. Mais observez plutôt la figure : }

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{cavalier.eps}		
\end{center}

\Expl{Dans ce deuxième exemple on peut observer que les droites non sécantes $(EC)$ et $(AH)$ se coupent sur le dessin suivant :}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{cavalier2.eps}		
\end{center}

\Exop{Représenter une pyramide à base carrée dans l'espace.}
\section{Axiomes}
\Rq{
En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique ou théorie axiomatique. Cette axiomatique doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non-contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique.}

%\subsection{Axiomes d'incidences}
Les axiomes d'incidence de la géométrie dans l'espace sont des 
axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites 
et les plans de cette géométrie. 

\begin{enumerate}
	\item  Par deux points distincts de l'espace il passe une et une 
	seule droite. Cette droite peut-être notée $(AB)$.
	
	\item  Par trois points non alignés, $A,B$ et $C$ passe un et un seul plan. 
	Ce plan peut-être noté $(ABC)$.\\

	\item  Si $A$ et $B$ sont deux points d'un plan $P$, tous les points 
	de la droite $(AB)$ appartiennent au plan.
\end{enumerate}
Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions 
suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\
\end{tabular}
\newpage
%\section{La géométrie plane utile dans l'espace}
\section{Eléments coplanaires}
\Ptec{Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans 
chaque plan de l'espace.}

\Defc{Quand des \'el\'ements de l'espace appartiennent \`a un m\^eme plan, on dit que ces \'el\'ements sont \textbf{coplanaires}.}

\Rq{ Deux ou trois points de l'espace sont toujours coplanaires.}

\Rq{Dans un probl\`eme de g\'eom\'etrie dans l'espace, on essaiera donc toujours de se placer dans un plan (que l'on prendra la peine de pr\'eciser) pour raisonner.}

\Expl{On a représenté un cube $ABCDEFGH$ en perspective cavalière. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $J$ le point d'intersection entre les droites $(AI)$ et $(CD)$. Comme les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés ils forment un plan, le plan $(ABC)$. $D$ est aussi un point de ce plan, on note alors $$ D\in (ABC)$$
De plus comme le point $I$ est le milieu de $[BC]$, $I\in (ABC)$ et comme $J\in(AI)$, alors $J\in (ABC)$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $J$ sont coplanaires. En revanche le point $H$ ne fait pas partie de ce plan.\\
Observons le plan $(AFG)$. Comme $(FG)$ et $(AD)$ sont deux droites parallèles, $D$ est aussi un point de ce plan.\\
Comme les points $D$ et $G$ appartiennent au plan $(AFG)$ il en va de même de tous les points de la droite $(DG)$. On note dans ce cas :
$$ (DG)\subset (AFG)$$}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8.5,7)
\psline(0,4.5)(2,5.5)
\psline(4,0)(6,1)
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(2,1.5)
\psplot{-1}{8}{(--2-0.5*x)/4}
\psline(4,4)(6,5)
\psline(0,4.5)(4,4)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(0,0.5)(4,0)
\psline(0,0.5)(0,4.5)
\psline(6,5)(2,5.5)
\psline(6,5)(6,1)
\psline[linestyle=dotted](2,1.5)(2,5.5)
\psline[linestyle=dotted](2,1.5)(6,1)
\psplot{-1}{8}{(--18-2.5*x)/4}
\rput[bl](3.74,4.14){$B$}
\rput[bl](3.96,-0.34){$C$}
\rput[bl](1.66,5.66){$E$}
\rput[bl](5.82,5.14){$F$}
\rput[bl](6.24,0.9){$G$}
\rput[bl](1.56,1.42){$H$}
\rput[bl](-0.24,4.68){$A$}
\rput[bl](-0.34,0.2){$D$}
\rput[bl](4.08,2.12){$I$}
\rput[bl](8.08,-0.38){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}



 
% 
 \newpage


\section{Positions relatives de droites et plans}
\subsection{Positions relatives}
\begin{enumerate}
	\item $d$ et $d'$ sont deux droites de l'espace. Il n'existe que 
	deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	   \item  il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles 
	   sont dites non coplanaires,
	   \begin{center}
	    \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.7}		
	   \end{center}
	   
	   \item  il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont 
	   dites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles dans ce 
	   plan).\\
	   \begin{center}
	 \begin{tabular}{cc}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.6}	 	 	
	       \\
	        deux droites sécantes & deux droites parallèles\\
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
	
	\item $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que 
	trois possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\item la droite et le plan n'ont qu'un point commun,
		la droite et le plan sont dits sécants (voir la figure précédente),
		
		\item la droite est incluse dans le plan,
		
		\item la droite et le plan n'ont aucun point commun.
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.20}	 
			\end{center}
	\end{enumerate}
    
	\item $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois 
	possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\item les plans ont un point commun et sont distincts, alors ils sont sécants 
	suivant une droite passant par ce point, (ainsi deux plans distincts 
	qui ont deux points communs sont sécants suivant la droite définie 
	par ces deux points)
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.2}		
	\end{center}
	\newpage
	\item les plans sont confondus,
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.19}		
	\end{center}
	\item ils n'ont aucun point commun.
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.21}	 
			\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
$ABCD$ est un tétraèdre et $I$ est le milieu du segment $[AB]$. \\
Compléter les phrases mathématiques suivantes à l'aide des symboles $$\subset,\quad\in,\quad\notin,\quad\not\subset $$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I\dots (AB)$
\item $B\dots (CDI)$
\item $(CI)\dots (ABC)$
\item $D\dots (BI)$
\item $(AB)\dots (CBA)$
\item $(DI)\dots (BCI)$
\item $B\dots (ADI)$
\item $B\dots (IA)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-2)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.5,-1.4)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.5,-1.4)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.5,-1.4)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\rput[bl](2.1,-1.6){$A$}
\rput[bl](6.9,-2){$B$}
\rput[bl](7.9,0.6){$C$}
\rput[bl](4.3,4){$D$}
\rput[bl](4.7,-1.4){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Exop{$ABCD$ est un tétraèdre. Démontrer que $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires en raisonnant par l'absurde.
\footnote{On supposera que $(AB)$ et $(CD)$ sont coplanaires afin d'aboutir à une contradiction.
}
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
PRISME est un prisme droit à base triangulaire. Déterminer les positions relatives :
\begin{enumerate}
\item des droites $(RE)$ et $(MI)$.
\item des droites $(PI)$ et $(EM)$.
\item de la droite $(EM)$ et du plan $(IPS)$.
\item de la droite $(SR)$ et du plan $(PMR)$.
\item du plan $(IRP)$ et du plan $(IEM)$.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,0.3)(8.3,3.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(0.7,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,0.7)(6.2,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,3.2)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,0.7)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.2,1.9)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,3.2)(7.7,1.9)
\rput[bl](0.3,3.2){$R$}
\rput[bl](6.3,3.3){$M$}
\rput[bl](0.3,0.4){$P$}
\rput[bl](6.5,0.6){$S$}
\rput[bl](1.8,1.7){$I$}
\rput[bl](7.9,1.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}
\pagebreak
\subsection{Application : section d'un solide par un plan}
\Exop{Soit $ABCD$ un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AD]$. Le point $J$ est sur la face $ACD$ tel que $(IJ)$ ne soit pas parallèle à $(AC)$. \\
Tracer la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.1,-2.1)(8.3,4.2)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{Pour tracer la section d'un solide par un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide.}

\Sol{
\begin{multicols}{2}
$I$ et $J$ sont deux points du plan $(ACD)$, par conséquent :
$$(IJ)\subset (ACD) $$. Comme $B\notin(ACD)$ les plans $(IJB)$ et $(ACD)$ ne sont pas confondus, comme $I$ est commun aux deux plans, leur intersection est une droite : il s'agit de la droite $$(IJ)$$
La trace du plan $(IJB)$ sur la face $ACD$ est donc le segment $[IE]$ (où $E$ est le point d'intersection des droites $(IJ)$ et $(AC)$, tracée ci-dessous en rouge.\\
On démontre de la même manière que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BE]$, puis que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BI]$. \\
Ainsi la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$ est le triangle $BIE$, en rouge sur le schéma suivant :
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.2,-2.3)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.4,-0.9)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(6.4,-0.9)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.4,-0.9)
\rput[bl](6.4,-0.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols} }



\newpage
\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.
\subsection{Définitions}
\Defc{
\begin{itemize}
	\item  Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires  et 
	non sécantes. Il en est ainsi de deux droites confondues ou bien 
	coplanaires et sans point commun.
	\item  Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Il 
	en est ainsi de deux plans confondus ou sans point commun.
	\item Une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils ne pas 
	sécants. Il en est ainsi d'une droite incluse dans un plan ou d'une 
	droite et d'un plan sans point commun. 
\end{itemize}
}

\Rq{
\begin{itemize}
	\item  Le fait que deux droites n'aient aucun point 
commun ne suffit pas pour conclure, dans l'espace, qu'elles sont parallèles. 
	\item  Deux droites strictement parallèles définissent un plan.
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.6}
	\end{center}
\end{itemize}
}

\subsection{Parallélisme entre droites}
\Thc{
	Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}\end{center}}\\

\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.}

\Sol{\begin{multicols}{2}
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$, qui contiennent les faces $ABCD$ et $AFGH$ du pavé, sont parallèles.\\
$I\in(ACI)$, mais $I\notin(ABC)$, donc les plans $(ACI)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus. Comme $A$ et $C$ sont deux points communs aux plans $(ACI)$ et $(ABC)$, on peut conclure que les plans $(ABC)$ et $(ACI)$ sont sécants selon la droite $(AC)$.\\
On a donc $(ABC)//(EFG)$ et $(ACI)\cap (ABC)=(AC)$. On en déduit que le plan $(ACI)$ coupe également le plan $(EFG)$, selon une droite parallèle à $(AC)$. \\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite parallèle à $(AC)$ passant par $I$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1)(8.9,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.3,-0.6)(2.9,2.7)(7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](1.3,-0.6)(8.1,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{0.8}{8.9}{(--13.8--1.6*x)/6.8}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,-0.6)(2.9,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(7.7,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](8.1,0.9)(1.3,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](3,2.8){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Rq{L'intersection se note à l'aide du symbole $\cap$. Ainsi si la droite $d$ est l'intersection des plans $P$ et $Q$, on note :
$$ d=P\cap Q$$}

\parbox[]{10cm}{
\Thc[\textit{Théorème du toit}]{
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center}}\\


\Exop{Soit $SABCD$ une pyramide régulière de sommet $S$ à base carrée. Soit $I$ le milieu de l'arête $[SA]$. Le plan $(CDI)$ coupe le plan $(SAB)$ selon une droite $d$. \\
Démontrer que $d$ est parallèle à $(AB)$.}

\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.16,0.46)(5.8,7.74)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)(1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](-1.74,2.98)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](1.54,3.02)(2.62,1.58)
\psline(2.62,1.58)(-0.66,1.54)
\psline(-0.66,1.54)(-1.74,2.98)
\psline(-1.74,2.98)(0.26,6.84)
\psline(1.54,3.02)(0.26,6.84)
\psline(0.26,6.84)(-0.66,1.54)
\psline(0.26,6.84)(2.62,1.58)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-13.75-0.04*x)/-3.28}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-5.08-0.04*x)/-3.28}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.2,4.19)(1.44,4.21)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.54,3.02)(-1.74,2.98)
\rput[bl](-0.9,1.26){$A$}
\rput[bl](2.4,1.24){$B$}
\rput[bl](1.4,2.66){$C$}
\rput[bl](-2.04,2.72){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](0.34,6.96){$S$}
\rput[bl](-0.12,4.3){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](-2.46,3.76){\ccqqqq{$d$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{Les plans $(CDI)$ et $(SAB)$ sont sécants selon la droite $d$. Or le plan $(CDI)$ contient la droite $(CD)$ et le plan $(SAB)$ contient la droite $(AB)$, et les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (comme supports des côtés du carré de base de la pyramide). D'après le théorème du toit, la droite $d$ est donc parallèle à la droite $(AB)$.}

\parbox[]{10cm}{
\Corc{
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9}\end{center}}\\


\subsection{Parallélisme entre plans}
\Thc{
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}\end{center}}\\

\Exop{Soit $ABCD$ un tétraèdre. Soit $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BC]$ et $[BD]$. \\
Démontrer que $(IJK)//(ACD)$.}
\subsection{Parallélisme entre droites et plans}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12}\end{center}}\\


\Exop{
\begin{multicols}{2}
$SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze.\\
Démontrer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.
\Sol{Le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze : les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles. Or les points $A$ et $B$ appartiennent au plan $(SAB)$ : on a donc $(AB)\subset (SAB)$. Puisque la droite $(CD)$ est parallèle à une droite du plan $(SAB)$, on peut affirmer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-1.5)(8.5,5.7)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.4,-1.1)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](8,0.9)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.4,1.1)(4.9,5.2)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(3,-1)
\rput[bl](2.5,-1.2){$A$}
\rput[bl](6.6,-1.4){$B$}
\rput[bl](0.9,1){$D$}
\rput[bl](8.1,1){$C$}
\rput[bl](4.8,5.4){$S$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\section{Quelques exercices d'applications}
\subsection{Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan}
\Exop{Dans un pavé droit $ABCDEFGH$, on place les points $I$, $J$ et $K$ respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[CD]$ et $[GH]$ tels que :
$$ BC=CJ=HK$$
\begin{enumerate}
\item De quelle nature est le quadrilatère $IBKH$ ?
\item Que peut-on dire des droites $(BK)$ et $(IH)$ ?
\item En déduire que la droite $(BK)$ est parallèle au plan $(HIJ)$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.6,-1.3)(8.8,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.05](1.3,2.7)(2.7,4.3)(6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.7,4.3)(6.3,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](4.9,-0.7)(1.3,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](4.5,4.3)(6.7,-0.7)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{6.7}{8.8}{(--18.5-2.9*x)/1.3}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{0.6}{4.5}{(-10.3--1.6*x)/-0.7}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.9,-0.7)
\rput[bl](5,-0.6){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.5,4.3)
\rput[bl](4.6,4.4){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.3,0.9)
\rput[bl](6.4,1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{\begin{enumerate}
\item Comme $HK=IB$ et comme $(HK)//(IB)$ le quadrilatère $IBKH$ a deux côtés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
\item $IBKH$ est un parallélogramme, donc $(KB)//(IH)$.
\item $(KB)$ est parallèle à une droite du plan $(HIJ)$, elle est donc parallèle au plan $(HIJ)$. 
\end{enumerate}}

\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soit $I$ et $J$ les points situés respectivement sur $[AB]$ et sur $[AH]$ tels que :
$$AI=\dfrac{1}{4}AB\qquad \text{et}\qquad AJ=\dfrac{1}{4}AH $$
Démontrer que $(IJ)//(BFH)$$}

\subsection{Démontrer que des plans sont parallèles.}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube.\\
Soit $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ les centres respectifs des face du cube (voir ci-dessous). Le solide $IJKLMN$ est un octaèdre régulier (toutes ses faces sont des triangles équilatéraux). On veut démontrer que les faces opposées de l'octaèdre sont parallèles.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(HC)$.
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(MN)$.
\item Démontrer que les plans $(IKL)$ et $JMN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.12,-1.96)(8.88,4.74)
\psline(1.62,-1.04)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(7.06,3.08)
\psline(7.06,3.08)(2.28,3.74)
\psline(2.28,3.74)(1.62,-1.04)
\psline(1.62,-1.04)(3.06,-0.3)
\psline(2.28,3.74)(3.72,4.48)
\psline(3.72,4.48)(8.5,3.82)
\psline(8.5,3.82)(7.06,3.08)
\psline(8.5,3.82)(7.84,-0.96)
\psline(7.84,-0.96)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.96)
\psline(3.72,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](7.45,1.06)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.73,-1)(4.34,1.02)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(2.67,1.72)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.67,1.72)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(5.39,3.78)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(2.67,1.72)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(5.78,1.76)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(7.45,1.06)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(4.73,-1)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(2.67,1.72)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.62,-1.04)
\rput[bl](1.24,-1.22){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.4,-1.7)
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.28,3.74)
\rput[bl](1.98,3.76){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.06,3.08)
\rput[bl](6.9,3.24){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.06,-0.3)
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.84,-0.96)
\rput[bl](7.92,-0.92){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.5,3.82)
\rput[bl](8.58,3.86){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.72,4.48)
\rput[bl](3.8,4.52){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.34,1.02)
\rput[bl](4.18,0.74){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.39,3.78)
\rput[bl](5.48,3.82){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.45,1.06)
\rput[bl](7.54,1.1){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.78,1.76)
\rput[bl](5.86,1.8){$L$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.67,1.72)
\rput[bl](2.46,1.84){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.73,-1)
\rput[bl](4.82,-1.2){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $HFC$ : $I$ est le milieu de $[HF]$ et $K$ celui de $[FC]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(IK)//(HC)$.
\item Dans le triangle $AHC$ : $N$ est le milieu de $[AC]$ et $M$ celui de $[AH]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(MN)//(HC)$. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc $(IK)//(MN)$.
\item De la même manière, on démontre que $(JN)$ et $(IL)$ sont parallèles. Ainsi, dans le plan $(IKL)$, se trouvent deux droites sécantes, qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan $(JMN)$ : on en déduit que les plans $(IJK)$ et $(JMN)$ sont parallèles.\\
Ce résultat reste vrai pour toute paire de faces opposées de l'octaèdre.
\end{enumerate}}

\subsection{Déterminer l'intersection de deux plans}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de l'arête $[BF]$. \\
Déterminer et tracer l'intersection des plans $(AFC)$ et $(DIG)$.}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.88,-2.06)(8.36,4.9)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.64,3.1)(7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline(1.62,-1.68)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(6.42,3.08)
\psline(6.42,3.08)(1.64,3.1)
\psline(1.64,3.1)(1.62,-1.68)
\psline(1.62,-1.68)(3.06,-0.3)
\psline(1.64,3.1)(3.08,4.48)
\psline(3.08,4.48)(7.86,4.46)
\psline(7.86,4.46)(6.42,3.08)
\psline(7.86,4.46)(7.84,-0.32)
\psline(7.84,-0.32)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.32)
\psline(3.08,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)
\psline[linecolor=zzttqq](7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\psline[linecolor=zzttqq](6.42,3.08)(1.62,-1.68)
\psline[linecolor=zzttqq](1.64,3.1)(7.86,4.46)
\psline[linecolor=zzttqq](7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](7.12,-1.01)(1.64,3.1)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{0.88}{8.36}{(-51--13.99*x)/63.96}
\rput[bl](1.32,-1.84){$A$}
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\rput[bl](1.34,3.12){$D$}
\rput[bl](6.26,3.24){$C$}
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\rput[bl](7.92,-0.28){$F$}
\rput[bl](7.94,4.5){$G$}
\rput[bl](3.16,4.52){$H$}
\rput[bl](7.2,-0.98){$I$}
\rput[bl](7.44,0.86){$M$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On commence par chercher un point commun aux deux plans.\\
La droite $(GI)$ est contenu dans les plans $(DIG)$ et $(BFG)$. De même la droite $(CF)$ est contenu dans les plans $(AFC)$ et $(BFG)$. Par conséquent $(CF)$ et $(GI)$ sont sécantes, en un point que l'on appelera $M$ (elles ne peuvent en aucun cas être parallèles).\\
Il est difficile, ici, de trouver un deuxième point commun. En revanche on remarque que $(DG)//(AF)$ car ses droites portent les diagonales de deux faces opposées du cube.\\
Or $(DG)\subset (DIG)$ et $(AF)\subset (AFC)$, d'après le théorème du toit, on en conclut que la droite d'intersection des plans $(DIG)$ et $(AFC)$ est parallèle aux deux droites $(DG)$ et $(AF)$.
\\
On peut ainsi tracer la droite recherchée : c'est la droite passant par le point $M$ et parallèle aux droites $(DG)$ et $(AF)$. 
}

\Exop{Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze avec $(AB)//(CD)$. Déterminer l'intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$, puis des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.}
\subsection{Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan}
\Exop{Soit $aBCD$ un tétraèdre. $I$ est un point de l'arête $[AB]$. $J$ est un point de la face $ACD$ tel que la droite $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$.\\
Construire l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(5.8,-2.6)(14.7,5.1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](6.7,-1.7)(12.2,-0)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](7.1,1.9)(10.4,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{10.4}{14.7}{(--7.9-0.6*x)/2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{5.8}{7.1}{(-9.1--0.7*x)/-2.2}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(--40.1-3.6*x)/3}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(-15.8--1*x)/5.1}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.4,4.5)
\rput[bl](7.3,4.6){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.4,-1.7){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](11.1,-2)
\rput[bl](11.1,-2.4){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.2,-0)
\rput[bl](12.2,0){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.1,1.9)
\rput[bl](7.2,2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](10.4,0.9)
\rput[bl](10.5,1){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11.8,-0.7)
\rput[bl](11.9,-0.8){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](14.2,-0.2)
\rput[bl](14.2,-0.1){$L$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On cherche un plan auxiliaire, contenant la droite $(IJ)$ et coupant le plan $(BCD)$ ; ici le plan $(AIJ)$ convient.\\
La droite $(IJ)$ n'est pas contenu dans le plan $(BCD)$ et n'est pas parallèle au plan $(BCD)$ donc elle est sécante au plan $(BCD)$.\\
La droite $(AJ)$ coupe la droite $(CD)$ en un point qu'on appelle $E$ (on observe ici la face $ACD$). \\
Les droites $(IJ)$ et $(BE)$ sont toute entière contenu dans le plan $(AIJ)$ et comme $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$, la droite $(IJ)$ est sécante avec la droite $(BE)$. Notons $L$ l'intersection de $(BE)$ et $(IJ)$. $L$ est alors le point cherché.}
\pagebreak
\section{Informatique}
\subsection{TP : Géogébra}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.}
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\item \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}



\subsection{Algorithme}
\Exop{}
On a écrit un algorithme à l'aide du logiciel Algobox. Voici ce qui a été saisi :
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     Rayon EST_DU_TYPE NOMBRE
3     Hauteur EST_DU_TYPE NOMBRE
4     Volume EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     AFFICHER "Entrer le rayon"
7     LIRE Rayon
8     AFFICHER "Entrer la hauteur"
9     LIRE Hauteur
10    Volume PREND_LA_VALEUR Math.PI*pow(Rayon,2)*Hauteur/3
11    AFFICHER "Le Volume est égal à "
12    AFFICHER Volume
13  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\begin{enumerate}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Quelles sont les variables en entrée ?
\item Quelles sont les variables en sortie ?
\end{enumerate}

\Exop{En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme affiachant :
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une boule lorsque l'on saisit le rayon ;
\item L'aire latérale totale d'un cylindre de révolution lorsque l'on saisit le rayon du disque de base et la hauteur.
\end{enumerate}}

\Exop[L'éponge de Menger]{
\begin{enumerate}
\item L'éponge de Menger est un objet mathématique que l'on fabrique en suivant la recette ci-dessous :
\begin{enumerate}
\item On part d'un cube de $1$ m d'arête.
\\ On découpe ce cube en $27$ petits cubes identiques, puis on enlève le cube central et les cubes situés au centre de chacune des faces (soit $7$ cubes au total). Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette première étape ?
\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette deuxième étape ?
\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette troisième étape ?
\\
On peut continuer ainsi sur un nombre quelconque d'étapes $\dots$ Voici les représentations du cube de départ et de l'éponge de Menger après les $(a)$, $(b)$ et $(c)$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{eponge.eps}	 	
\end{center}
\end{enumerate}
\item Voici un algorithme. Que fait-il ?
\end{enumerate}}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     N EST_DU_TYPE NOMBRE
3     C EST_DU_TYPE NOMBRE
4     A EST_DU_TYPE NOMBRE
5     V EST_DU_TYPE NOMBRE
6     K EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     C PREND_LA_VALEUR 1
9     A PREND_LA_VALEUR 1
10    AFFICHER "Nombres d'étapes :"
11    LIRE N
12    POUR K ALLANT_DE 1 A N
13      DEBUT_POUR
14      C PREND_LA_VALEUR 20*C
15      A PREND_LA_VALEUR A/3
16      V PREND_LA_VALEUR C*pow(A,3)
17      FIN_POUR
18    AFFICHER V
19  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\begin{enumerate}
\item[3.] Programmer cet algorithme et déterminer le volume de l'éponge de Menger après $5$, $10$ et $20$ étapes. Que pensez-vous des résultats obtenus ?
\end{enumerate}
\newpage
\section{Orthogonalité dans l'espace (Hors-Programme)}

\noindent \parbox[]{10cm}{
\Defc{
Deux droites $d$ et $\Delta$ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales 
si les parallèles à ces 
deux droites menées par un point $I$ quelconque sont 
perpendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles à $d$ et 
$\Delta$ passant par n'importe quel autre  point sont également 
perpendiculaires)
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.13}\end{center}}\\
\Expl{ $ABCDEFGH$ est un cube alors $(AD) \perp (HG)$.}

\Rqs{
	\item  Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement 
perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En 
revanche la réciproque est vraie par définition de droites 
orthogonales.
	\item  Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas 
	nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube)
}
\Defc{
Une droite $d$ est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale 
à toutes les droites de ce plan.
}
\subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Pour qu'une droite $\Delta$ soit orthogonale à un plan $P$ il suffit que 
	$\Delta$ soit orthogonale à deux droites sécantes de $P$.
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.14}\end{center}}\\
\noindent \parbox[]{10cm}{
\Thc{
\begin{itemize} 
	\item  Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

	\item  Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à 
	l'un est orthogonale à l'autre.
\end{itemize}
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.15}\end{center}}\\
\noindent \parbox[]{10cm}{
\Thc{
\begin{itemize}
	\item  Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une 
	est orthogonal à l'autre.
	\item  Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
\end{itemize}
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.16}\end{center}}\\
\subsection{Orthogonalité de deux droites de l'espace}
\Thc{
	Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est 
	orthogonale à l'autre.
}

\subsection{Plans perpendiculaires}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\Defc{
	Un plan $Q$ est perpendiculaire à un plan $P$  ($Q \perp P$), si il 
	existe une droite de $Q$ orthogonale à $P$. (Dans ce cas on a 
	aussi $P \perp Q$). %preuve dans le Durande lycee 1981
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.17}\end{center}}\\
\noindent Remarques~:
\begin{itemize}
	\item l'exemple qu'il faut avoir en tête est celui d'un cube~: deux 
	faces quelconques non parallèles sont perpendiculaires.
	
	\item  Si $P \perp Q$ alors toute droite de l'un n'est pas 
	orthogonale à l'autre, c'est vrai pour l'une d'entre elles.( Dans un 
	cube $ABCDEFGH$ les faces $ABFE$ et $ABCD$ sont perpendiculaires 
	mais la droite $(AF)$ n'est pas orthogonale à la face $ABCD$ car elle 
	n'est pas orthogonale à (AB))
	
	\item  Si $P \perp Q$ et $P' \perp Q$ alors $P$ et $P'$ ne sont pas 
	nécessairement parallèles (facile à voir dans un cube avec les 
	faces). Cette relation de perpendicularité de plans est donc moins 
	souple que celle de perpendicularité de droites.
\end{itemize}
\noindent \parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si $P$ et $P'$, deux plans sécants, sont perpendiculaires à un même 
	plan $Q$, alors leur intersection est orthogonale à $Q$.
}
                       }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} 
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.18}\end{center}}\\
\Thc{
Si $P \perp Q$, toute droite de l'un, qui est orthogonale à leur 
	intersection, est orthogonale à l'autre. (voir la figure de la 
	définition précédente)
}
\section{Vecteurs de l'espace (Hors Programme)}
La notion de vecteur (sens, direction, longueur) vue en géométrie plane se 
généralise sans difficultés à l'espace. Les notions suivantes aussi~:
\begin{enumerate}
	\item  Pour tout point $O$ de l'espace et tout vecteur $\vect{u}$, il 
	existe un point $A$ et un seul tel que $ \overrightarrow{OA}=\vect{u}$.
    \item  Égalité de deux vecteurs à l'aide de la définition (sens, 
	direction, longueur) ou caractérisation à l'aide d'un parallélogramme.
	\item  Les règles de calculs (Relation de Chasles, règle du 
	parallèlogramme, multiplication d'un vecteur par un réel)
	\item  La colinéarité de deux vecteurs et son application au parallélisme 
	ou bien à l'alignement de trois points.
\end{enumerate} 



 

  
 
\section{Rappel de quelques propriétés apprises au collège}
\subsection{Formulaire de géométrie plane}
\subsubsection{Droites remarquables du triangles}
\Defc{
   La \underline{hauteur} issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé $(BC)$.}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé \underline{l'orthocentre} du triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true, PointSymbol=none,RightAngleSize=0.2}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=blue]{B}{A}{C}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=vert]{A}{C}{B}
      \pstProjection[PointName=none,CodeFigColor=red]{C}{B}{A}
      \rput(1.8,1.2){$H$}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\smallskip

\Defc{
   La \underline{médiane} issue du sommet $A$ est la droite passant par $A$ et par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$.
}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois médianes sont concourantes en un point $G$ qui est le \underline{centre de gravité} du triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true, PointSymbol=none}
      \pstTriangle[CodeFigColor=white]{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstMiddleAB[PosAngle=-90,SegmentSymbol=pstslash, PointName=none,CodeFigColor=blue]{A}{B}{K}
      \pstMiddleAB[PosAngle=20,SegmentSymbol=pstslashh, CodeFigColor=red]{B}{C}{I}
      \pstMiddleAB[PosAngle=150,SegmentSymbol=MarkCros, PointName=none,CodeFigColor=vert]{C}{A}{J}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A}{I}
      \pstLineAB[linecolor=vert]{B}{J}
      \pstLineAB[linecolor=blue]{C}{K}
      \rput(2,0.6){$G$}
   \end{pspicture}
\end{center}                                                            
\end{minipage}

\Rq{
   $G$ se trouve aux deux tiers de la médiane $[AI]$ en partant de $A$ : $AG=\dfrac{2}{3}AI$.
}



\Defc{
   La \underline{médiatrice} du segment $[AB]$ est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.
}

\begin{minipage}{7cm}
   C'est aussi l'ensemble des points du plan équidistants de $A$ et de $B$. \\
   Les trois médiatrices sont concourantes en un point $O$ qui est le \underline{centre du cercle circonscrit} à ce triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-2.5)(5,3.5)
      \psset{CodeFig=true,PointSymbol=none,linecolor=red}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstCircleABC[RightAngleSize=0.2,CodeFigColor=blue]{A}{B}{C}{O}
   \end{pspicture}
\end{center}  
\end{minipage}

\Defc{ 
   La \underline{bissectrice} d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
}

\begin{minipage}{7cm}
   Les trois bissectrices sont concourantes en un point $I$ qui est le \underline{centre du cercle inscrit} dans le triangle.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-0.7)(5,3.5)
      \psset{PointSymbol=none}
      \pstTriangle{A}(5,0){B}(1.5,3){C}
      \pstBissectBAC[linecolor=red, PointName=none]{B}{A}{C}{A'}
      \pstBissectBAC[linecolor=green, PointName=none]{A}{C}{B}{C'}
      \pstBissectBAC[linecolor=blue, PointName=none]{C}{B}{A}{B'}
      \pstMarkAngle[linecolor=red, Mark=MarkHash, MarkAngleRadius=0.8]{B}{A}{A'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=red, Mark=MarkHash, MarkAngleRadius=0.7]{A'}{A}{C}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=vert, MarkAngleRadius=0.8]{C}{B}{B'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=vert, MarkAngleRadius=0.9]{B'}{B}{A}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=blue, Mark=MarkCros, MarkAngleRadius=0.7]{A}{C}{C'}{}
      \pstMarkAngle[linecolor=blue, Mark=MarkCros, MarkAngleRadius=0.6]{C'}{C}{B}{}
      \pstInterLL{C}{C'}{A}{A'}{I}
      \pstProjection[PointName=none]{A}{B}{I}[I']
      \pstCircleOA[linestyle=dashed]{I}{I'}
   \end{pspicture}
\end{center}  
\end{minipage}

\subsubsection{Les grands théorèmes}
\Thc[de Thalès : $-627$ et $-547$]{
   $O$, $A$, $B$ sont trois points du plan, $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux droites $(OA)$ et $(OB)$.
   \begin{dinglist}{227}
      \item Si les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles  alors $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}=\dfrac{AB}{MN}$.
      \item Si  $\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{OB}{ON}$ et si les points $O$, $A$, $M$ et  $O$, $B$, $N$ sont alignés dans le même ordre alors\\ \hspace*{0.3cm}les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles.
   \end{dinglist}
} 	

\begin{minipage}{8.5cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
         \pstGeonode[PosAngle={-160,-40,85}]{O}(3,0){A}(2,2){B}
         \pstHomO[HomCoef=1.5, PosAngle={-40, 85}]{0}{A,B}[M,N]
         \psset{nodesep=-1}
         \pstLineAB{O}{M}
         \pstLineAB{O}{N}
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{A}{B}
         \pstLineAB{M}{N}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8.5cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,4)
         \pstGeonode[PosAngle={-50,-40,80}](2,1){O}(5,1){A}(4,3){B}
         \pstHomO[HomCoef=-0.5, PosAngle={140,-115}]{O}{A,B}[M,N]
         \psset{nodesep=-1}
         \pstLineAB{A}{M}
         \pstLineAB{B}{N}
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{A}{B}
         \pstLineAB{M}{N}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

\Thc[des milieux]{
   On se place dans un triangle quelconque.
   \begin{dinglist}{227}
      \item La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté 
      \item Si une droite passe par le milieu d'un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
   \end{dinglist}
}

\begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}
      \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
         \pstTriangle[PosAngle={-150,-20,80}]{A}(5,0){B}(3,3){C}
         \pstHomO[HomCoef=0.5, PosAngle={-100, 85}]{0}{B,C}[D,E]
         \psset{linecolor=red, nodesep=-0.5}
         \pstLineAB{B}{C}
         \pstLineAB{D}{E}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   on a : $D$ milieu de $[AB]$\\
   \hspace*{1cm} $E$ milieu de $[AC]$\\

   alors : $(DE) \parallel (BC)$\\
   et \hspace*{0.7cm} $DE=\frac{1}{2}BC$
\end{minipage}

\Thc[de Pythagore : $-580$, $-500$]{
   Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan :\\ 
   le triangle $ABC$ est rectangle en $A$  équivaut à dire que $AC^2+AB^2=BC^2$.	 
}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.35cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(7.5,8.5)
\pspolygon(-0.36,4.2)(-0.36,1.28)(4.54,1.28)
\pspolygon(0.55,1.28)(0.55,2.19)(-0.36,2.19)(-0.36,1.28)
\rput(-0.5,5){$B$}
\psdots[linecolor=blue](-0.36,1.28)
\rput(0,1.7){$A$}
\psdots[linecolor=blue](4.54,1.28)
\rput(5,2){$C$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.54,1.28)(-0.36,1.28)(-0.36,-3.62)(4.54,-3.62)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-0.36,1.28)(-0.36,4.2)(-3.28,4.2)(-3.28,1.28)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](-0.36,4.2)(4.54,1.28)(7.46,6.18)(2.56,9.1)
\end{pspicture*}
\end{center}
\Thc{
   Soient $A$ et $B$ deux points d'un cercle de centre $O$.\\
   Pour tout point $M$ de ce cercle, la mesure de l'angle géométrique $\widehat{AMB}$ est égale à la moitié de celle de l'angle au centre $\widehat{AOB}$.
}

\begin{minipage}{9cm}
   \begin{center}
   \psset{unit=0.6}
      \begin{pspicture}(0,-1)(5,5.5)
         \pstGeonode[PosAngle={-90,0}](2.5,2.5){O}(5,2.5){A}
         \pstCircleOA{O}{A}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{B}{\pstDistVal{3}}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{N}{\pstDistVal{6}}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{M}{\pstDistVal{10}}
         \pstLineAB[linecolor=vert]{O}{A}
         \pstLineAB[linecolor=vert]{O}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=vert]{A}{O}{B}{\textcolor{vert}{$\theta$}}
         \pstLineAB[linecolor=red]{M}{A}
         \pstLineAB[linecolor=red]{M}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=red]{A}{M}{B}{\textcolor{red}{$\frac{\theta}{2}$}}
         \pstLineAB[linecolor=blue]{N}{A}
         \pstLineAB[linecolor=blue]{N}{B}
         \pstMarkAngle[linecolor=blue]{A}{N}{B}{\textcolor{blue}{$\frac{\theta}{2}$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
   \begin{center}
    \psset{unit=0.8}
      \begin{pspicture}(5,5)
         \pstGeonode[PosAngle={-90,0,180}](2,2.5){O}(4,2.5){A}(0,2.5){B}
         \pstCircleOA{O}{A}
         \pstCurvAbsNode{O}{A}{C}{\pstDistVal{2}}
         \pstLineAB[linecolor=red]{A}{B}
         \pstLineAB[linecolor=red]{B}{C}
         \pstLineAB[linecolor=red]{C}{A}
         \pstRightAngle[linecolor=red]{A}{C}{B}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}


\textbf{Conséquences :}
\begin{itemize}
   \item Si $M$ et $N$ sont deux points du cercle de centre $O$ alors $\widehat{AMB}=\widehat{ANB}$,
   \item Si le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ alors il est inscrit dans le cercle de diamètre $[AB]$
   \item Si le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[BC]$ alors il est rectangle en $A$?
\end{itemize}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\subsubsection{Transformations}
\Defc{
   $M'$ est l'image du point $M$ par la \underline{symétrie de centre $O$} signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$.
}
 \medskip
\begin{minipage}{7cm}
   La symétrie centrale conserve les longueurs, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques et orientés, les formes et les figures.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3)
      \pstGeonode[PosAngle=-90](0,1.5){O}
      \pstTriangle(1,0){A}(4,0){B}(2,2){C}
      \pstSymO[CodeFig=true, CodeFigColor=blue, PosAngle={40,170,-90}]{O}{A, B, C}[A', B', C']
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{C'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\Defc{
   $M'$ est l'image du point $M$ par la \underline{symétrie d'axe $\Delta$} signifie que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
}
\medskip
\begin{minipage}{7cm}
   La symétrie axiale conserve les longueurs, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques, les formes et les figures. \\
   Par contre, elle inverse les angles orientés.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.9}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3.2)
      \pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-0.5){O}(0,3.5){O'}
      \pstLineAB{O}{O'}
      \pstTriangle[PosAngleA=115](1,1){A}(4,0){B}(2,3){C}
      \psset{CodeFig=true, CodeFigColor=blue, linecolor=red, RightAngleSize=0.2}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslash, PosAngle=50]{O}{O'}{A}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashh, PosAngle=-135]{O}{O'}{B}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashhh, PosAngle=90]{O}{O'}{C}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{B'}{C'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{A'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{Trigonométrie}
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonom\'etriques suivantes :
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-1.2)(5,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(-1.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)(-1.0000,2.0000)
\psline(-0.7000,0.0000)(-0.7000,0.3000)(-1.0000,0.3000)
\uput{0.2000}[180.0000](-1.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[0.0000](3.0000,0.0000){B}
\uput{0.2000}[180.0000](-1.0000,2.0000){C}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\vspace*{2mm}
\begin{itemize}
\item $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} $ \\

\vspace*{6mm}
\item $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l'hypoténuse}} $ \\

\vspace*{6mm}
\item $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{longueur du côté opposé}}{\text{longueur du côté adjacent}} $ 
\end{itemize}
\end{center}
\end{multicols}


\Expls{ $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC} \qquad \qquad \cos(\widehat{ABC})=
\dfrac{AB}{BC} \qquad \qquad  \tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}$
}

\textit{Utilisations : }
\begin{itemize}
\item Pour calculer la longueur d'un côté.
\item Pour calculer la mesure d'un angle.
\end{itemize}

\pagebreak

\subsection{Volumes de l'espace}

\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{center}
      Parallélpipède rectangle : $V =L\times$l$\times$ h. \\
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      Sphère : V= $\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$ \\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      Cylindre de révolution : $V =\pi\times r^2\times h$. \\
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{center}
   pyramide : $V =\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{h}}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      Cône de révolution : $V =\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\begin{multicols}{2}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $4$ cm. Soit $I$, $J$ et $M$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[AB]$ et $[BF]$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $IJM$ ? Le représenter en vraie grandeur.
\item Calculer le volume du tétraèdre $BIJM$.
\item On enlève les huit \og coins \fg du cube pour obtenir le solide représenté ci-contre, appelé \og cuboctaèdre \fg.
\begin{enumerate}
\item Combien de faces ce solide comporte-t-il ? Quelle est la nature de ces faces ?
\item Calculer le volume exact de ce cuboctaèdre, puis en donner une valeur approchée au centimètre cube près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ffzzzz}{1 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.34,-0.36)(7.54,7.54)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffzzzz,opacity=0.1](4,2)(2,0.25)(5,0.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffzzzz,opacity=0.1](2,4.25)(4,2)(5,4.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffzzzz,opacity=0.1](2,4.25)(0,2.5)(1,5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffzzzz,opacity=0.1](0,2.5)(2,0.25)(1,1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffzzzz,opacity=0.1](1,5)(2,3.5)(4,5.25)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.9](0,2.5)(2,4.25)(4,2)(2,0.25)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.9](2,4.25)(1,5)(4,5.25)(5,4.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.9](5,4.5)(4,2)(5,0.5)(6,3)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,2.5)(1,5)(2,3.5)(1,1)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1,1)(2,0.25)(5,0.5)(4,1.25)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,3.5)(4,5.25)(6,3)(4,1.25)
\psline(0,4.5)(2,5.5)
\psline(4,0)(6,1)
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(2,1.5)
\psline(4,4)(6,5)
\psline(0,4.5)(4,4)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(0,0.5)(4,0)
\psline(0,0.5)(0,4.5)
\psline(6,5)(2,5.5)
\psline(6,5)(6,1)
\psline[linestyle=dotted](2,1.5)(2,5.5)
\psline[linestyle=dotted](2,1.5)(6,1)
\psline[linecolor=ffzzzz](4,2)(2,0.25)
\psline[linecolor=ffzzzz](2,0.25)(5,0.5)
\psline[linecolor=ffzzzz](5,0.5)(4,2)
\psline[linecolor=ffzzzz](2,4.25)(4,2)
\psline[linecolor=ffzzzz](4,2)(5,4.5)
\psline[linecolor=ffzzzz](5,4.5)(2,4.25)
\psline[linecolor=ffzzzz](2,4.25)(0,2.5)
\psline[linecolor=ffzzzz](0,2.5)(1,5)
\psline[linecolor=ffzzzz](1,5)(2,4.25)
\psline[linecolor=ffzzzz](0,2.5)(2,0.25)
\psline[linecolor=ffzzzz](2,0.25)(1,1)
\psline[linecolor=ffzzzz](1,1)(0,2.5)
\psline[linecolor=ffzzzz](1,5)(2,3.5)
\psline[linecolor=ffzzzz](2,3.5)(4,5.25)
\psline[linecolor=ffzzzz](4,5.25)(1,5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2.5)(2,4.25)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4.25)(4,2)
\psline[linecolor=zzttqq](4,2)(2,0.25)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0.25)(0,2.5)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4.25)(1,5)
\psline[linecolor=zzttqq](1,5)(4,5.25)
\psline[linecolor=zzttqq](4,5.25)(5,4.5)
\psline[linecolor=zzttqq](5,4.5)(2,4.25)
\psline[linecolor=zzttqq](5,4.5)(4,2)
\psline[linecolor=zzttqq](4,2)(5,0.5)
\psline[linecolor=zzttqq](5,0.5)(6,3)
\psline[linecolor=zzttqq](6,3)(5,4.5)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2.5)(1,5)
\psline[linecolor=zzttqq](1,5)(2,3.5)
\psline[linecolor=zzttqq](2,3.5)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(0,2.5)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,0.25)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0.25)(5,0.5)
\psline[linecolor=zzttqq](5,0.5)(4,1.25)
\psline[linecolor=zzttqq](4,1.25)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](2,3.5)(4,5.25)
\psline[linecolor=zzttqq](4,5.25)(6,3)
\psline[linecolor=zzttqq](6,3)(4,1.25)
\psline[linecolor=zzttqq](4,1.25)(2,3.5)
\rput[bl](3.74,4.14){$B$}
\rput[bl](3.96,-0.34){$C$}
\rput[bl](1.66,5.66){$E$}
\rput[bl](5.82,5.14){$F$}
\rput[bl](6.24,0.9){$G$}
\rput[bl](1.56,1.42){$H$}
\rput[bl](-0.24,4.68){$A$}
\rput[bl](-0.34,0.2){$D$}
\rput[bl](4.08,2.12){$I$}
\rput[bl](2.08,4.36){$J$}
%\rput[bl](4.08,5.36){\darkgray{$K$}}
%\rput[bl](1.08,5.12){\darkgray{$L$}}
\rput[bl](5.08,4.62){$M$}
%\rput[bl](6.08,3.12){\darkgray{$N$}}
%\rput[bl](5.08,0.62){\darkgray{$O$}}
%\rput[bl](2.08,0.36){\darkgray{$P$}}
%\rput[bl](1.08,1.12){\darkgray{$Q$}}
%\rput[bl](4.08,1.36){\darkgray{$R$}}
%\rput[bl](2.08,3.62){\darkgray{$S$}}
%\rput[bl](0.08,2.62){\darkgray{$T$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\pagebreak
  % \section*{Licence Creative Commons 3.0}
    
    %	\subsection*{Vous êtes libres :}
    	
    	%\begin{itemize}
    	
    	%\item de reproduire, distribuer et communiquer cette création au public
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    	%\end{itemize}
    	
    
    	
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    %	\begin{itemize}
    	
    %	\item \emph{Paternité} : vous devez citer le nom de l'auteur original de la manière indiquée par l'auteur de l'\oe uvre ou le titulaire des droits qui vous confère cette autorisation (mais pas d'une manière qui suggérerait qu'ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l'\oe uvre).
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\end{document}