\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 3 : G\'enéralités sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}
\usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{G\'en\'eralit\'es sur \linebreak[2] les fonctions}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{3}

\debutdwicky{hs.eps}{Krazy Kat}{George Herriman}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Krazy Kat est un comic strip américain créé par George Herriman et publié dans les journaux du pays, en semaine et le week-end, entre 1913 et 1944. La première publication se fit dans le New York Evening Journal de William Randolph Hearst. La série mêle surréalisme, poésie insouciance enjouée, ce qui en a fait l'une des BD préférées des passionnés et des critiques depuis plus de 80 ans.
Les strips sont centrés sur une relation triangulaire entre son personnage éponyme, un chat innocent et désinvolte de sexe indéterminé (mais le plus souvent considéré comme une femelle), son antagoniste Ignatz Mouse, et le sergent Pupp (Officer Pupp), officier de police. Krazy est transi d'amour pour Ignatz mais celui-ci le méprise, et passe son temps à chercher à lui lancer une brique à la tête. Ce que Krazy interprète comme une preuve d'amour… Pupp, en tant que garant de l'ordre de la région de Coconino, fait tout pour empêcher Ignatz d'arriver à son but et enferme bien souvent la souris en prison.
En dépit de la simplicité de l'intrigue, la peinture des caractères détaillée, à laquelle s'ajoute la créativité verbale et visuelle d'Herriman, font de Krazy Kat l'une des premières bandes dessinées à avoir été considérée comme de l'art par les intellectuels. Gilbert Seldes, célèbre critique d'art de l'époque, écrivit en 1924 un long panégyrique du strip, le qualifiant alors de « travail artistique le plus amusant, fantastique et satisfaisant de l'Amérique contemporaine ». Le poète renommé E. E. Cummings, autre admirateur de George Herriman, écrivit l'introduction du premier album de Krazy Kat. Plus récemment, beaucoup de scénaristes et dessinateurs constatent que le strip a eu une influence majeure sur leurs œuvres.}{0.5}{0.15}
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{fonctions.eps}{0.5}
\begin{Intro}{Au fil du temps}{
\noindent Le concept de fonction a mis des siècles à s'établir en math\'ematiques. 
La notion intuitive comme relation entre plusieurs quantités est assez ancienne, mais il faut attendre le $XVII^e$ siècle pour
qu'elle soit formalisée. Découvrir les fonctions, apprendre à les représenter et à étudier certaines de leurs propriétés
représente une partie importante du programme de seconde.
\begin{itemize}
\item C'est le français Pierre de Fermat (16010-1665) qui met en place la notion fondamentale d'équation d'une courbe, 
associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s'intéresse aux extrema de fonctions.\\
\textit{Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, 
qu'il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut trouvée qu'en 1994.}
 \item En 1673, l'allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et math\'ematicien, utilise 
pour la première fois le mot \og fonction \fg \, et introduit le vocabulaire.\\
\textit{Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir d\'ecouvert conjointement avec Newton le calcul infinit\'esimal,
c'est-\`a-dire dans l'infiniment petit.}
\item En $1698$, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. 
Il proposa alors la notation $f(x)$.\\
\textit{Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités.}
\item Euler, math\'ematicien form\'e par Bernoulli, adopte cette notation en $1734$ et d\'efinit en $1748$ une fonction
d'une variable comme combinaison d'opérations à partir de cette variable et de nombres  constants. \\
\textit{Euler travailla essentiellement sur le calcul infinit\'esimal lui aussi et sur la th\'eorie des graphes (utiliser pour les GPS)
}
\end{itemize} 
En fait, le lien entre l'expression algébrique d'une fonction et sa courbe représentative en permet une étude 
plus approfondie. Le concept de fonction et l'étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique.
jusqu'\`a aujourd'hui.\\
Compte tenu du nombre incroyable d'applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, 
l'étude des fonctions est l'un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. \\

Dans ce chapitre, nous allons essentiellement découvrir le vocabulaire, travailler les calculs
 et l'approche graphique. Cependant, tout cela nous permettra également de réutiliser les différents ensembles de nombres, et d'introduire un autre enjeux de la classe de seconde, la notion d'algorithme }
\end{Intro}
%\pagebreak

\section*{Problème d'introduction}
\begin{multicols}{2}
\noindent Rom\'eo souhaite au plus vite offrir une rose fraîchement cueillie \`a Juliette. \\\\
La situation est sch\'ematis\'ee 
de la façon ci-contre.\\\\
\Question{Quel chemin doit prendre Roméo pour rejoindre Juliette le plus tôt possible ?}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.7)(7,3.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{3.6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{<->}(0.0000,-1.0000)(5.0000,-1.0000)
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
%\uput{0.3000}[-90.0000](5.0000,0.0000){K}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.90000,0.0000){Allée des roses}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.000,-0.4000){$10$ m}
\uput{1.0000}[100.0000](-0.50000,0.0000){5 m}
\psline{<->}(0.0000,0.0000)(0.0000,2.0000)
\psline{<->}(5.0000,3.0000)(5.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,-1.0000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.0000,0.0000)(5.0000,-1.0000)
\uput{1.0000}[80.0000](5.5000,0.0000){7 m}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){Romeo}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,3.0000){Juliette}
\uput{0.3000}[100.0000](3.5000,0.0000){?}
\psline(0.0000,2.0000)(3.5000,0.0000)
\psline(3.5000,0.0000)(5.0000,3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
%\Question{Quel chemin doit prendre Roméo pour rejoindre Juliette le plus tôt possible ?}
\section{Notion de fonction}
\subsection{Définition et vocabulaire}
\Defc{
Une fonction est un proc\'ed\'e qui fait correspondre \`a un \'el\'ement d'un ensemble de d\'epart \textbf{au plus} un \'el\'ement
 d'un ensemble d'arriv\'ee.\newline
Fabriquer une fonction sur un ensemble $D$ c'est donner un algorithme (une proc\'edure ici calculatoire) qui \`a chaque \'el\'ement $x\in D$ associe 
\textbf{au plus} un nombre, souvent not\'e $f(x)$.
}

\textbf{Illustration graphique}

\begin{center}
\scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.225182)(15.809301,3.200182)
\psbezier[linewidth=0.04](1.8037467,1.4698179)(2.771089,1.7232912)(5.510614,-0.37842974)(5.203747,-1.3301821)(4.8968797,-2.2819345)(1.1955498,-2.4362645)(0.6037467,-1.6301821)(0.011943579,-0.82409954)(0.8364043,1.2163446)(1.8037467,1.4698179)
\psbezier[linewidth=0.04](12.003747,2.669818)(11.143788,2.1594536)(10.146678,-0.4997159)(10.703747,-1.3301821)(11.260816,-2.1606483)(13.926682,-2.2596028)(14.703747,-1.6301821)(15.480811,-1.0007614)(15.789301,1.2591846)(15.203747,2.069818)(14.618193,2.8804512)(12.863705,3.180182)(12.003747,2.669818)
\psdots[dotsize=0.12](1.5037467,0.0698179)
\uput{0.20000}[150.0000](1.5037467,0.0698179){$d$}
\psdots[dotsize=0.12](12.503747,2.069818)
\uput{0.3000}[0.0000](12.503747,2.069818){$c$}
\psdots[dotsize=0.12](14.203747,0.0698179)
\uput{0.3000}[100.0000](14.203747,0.0698179){$y=f(x)$}
\psdots[dotsize=0.12](14.803747,1.1698179)
\uput{0.3000}[0.0000](14.803747,1.1698179){$e$}
\psdots[dotsize=0.12](11.503747,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.503747,-0.6301821){$e$}
\psdots[dotsize=0.12](12.903747,-1.3301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](12.903747,-1.3301821){$f$}
\psdots[dotsize=0.12](11.803747,0.8698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.803747,0.8698179){$g$}
\psdots[dotsize=0.12](11.503747,0.4698179)
%\uput{0.5000}[0.0000](11.503747,0.4698179){$h$}
\psdots[dotsize=0.12](2.2037468,0.7698179)
\uput{0.3000}[160.0000](2.2037468,0.7698179){$a$}
\psdots[dotsize=0.12](4.103747,-0.7301821)
\uput{0.3000}[-10.0000](4.103747,-0.7301821){$b$}
\psdots[dotsize=0.12](1.9037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](1.9037467,-1.730182){$k$}
\psdots[dotsize=0.12](2.6037467,-0.5301821)
%\uput{0.3000}[-90.0000](2.6037467,-0.5301821){$l$}
\psdots[dotsize=0.12](3.4037466,-1.230182)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.4037466,-1.230182){$m$}
\psdots[dotsize=0.12](3.0037467,0.4698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,0.4698179){$n$}
\psdots[dotsize=0.12](1.0037467,-0.9301821)
\uput{0.2000}[-120.0000](1.0037467,-0.9301821){$x$}
\psdots[dotsize=0.12](2.2037468,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](2.2037468,-0.6301821){$p$}
\psdots[dotsize=0.12](4.9037466,-1.3301821)
%\uput{0.3000}[0.0000](4.9037466,-1.3301821){$q$}
\psdots[dotsize=0.12](3.0037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,-1.730182){$r$}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.2037468,0.7698179)
\lineto(4.103747,1.3198179)
\curveto(5.0537467,1.5948179)(6.4037466,1.9198179)(6.8037467,1.9698179)
\curveto(7.203747,2.0198178)(8.203747,2.1448178)(8.803747,2.2198179)
\curveto(9.403747,2.294818)(10.453747,2.369818)(10.903747,2.369818)
\curveto(11.353746,2.369818)(11.978746,2.294818)(12.153747,2.2198179)
\curveto(12.328747,2.1448178)(12.503747,2.069818)(12.503747,2.069818)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(4.103747,-0.7301821)
\lineto(5.0537467,-0.2301821)
\curveto(5.5287466,0.019817904)(6.7537465,0.4948179)(7.5037465,0.7198179)
\curveto(8.253747,0.9448179)(9.553747,1.2948179)(10.103746,1.4198179)
\curveto(10.653747,1.5448179)(11.503747,1.7448179)(11.803747,1.8198179)
\curveto(12.103746,1.894818)(12.428747,1.9948179)(12.503747,2.069818)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.6037467,-0.5301821)
\lineto(3.3037467,-0.2301821)
\curveto(3.6537466,-0.0801821)(4.203747,0.1448179)(4.4037466,0.2198179)
\curveto(4.603747,0.2948179)(5.0537467,0.4448179)(5.3037467,0.5198179)
\curveto(5.5537467,0.5948179)(6.0287466,0.6948179)(6.2537465,0.7198179)
\curveto(6.478747,0.7448179)(6.8787465,0.7698179)(7.0537467,0.7698179)
\curveto(7.228747,0.7698179)(7.603747,0.7448179)(7.8037467,0.7198179)
\curveto(8.003747,0.6948179)(8.353746,0.6698179)(8.503747,0.6698179)
\curveto(8.653747,0.6698179)(8.953747,0.6198179)(9.103746,0.5698179)
\curveto(9.253747,0.5198179)(9.553747,0.3948179)(9.703747,0.3198179)
\curveto(9.853746,0.2448179)(10.128747,0.09481791)(10.253747,0.019817904)
\curveto(10.378747,-0.055182096)(10.603746,-0.1801821)(10.703747,-0.2301821)
\curveto(10.803747,-0.2801821)(11.003747,-0.3801821)(11.103746,-0.4301821)
\curveto(11.203747,-0.4801821)(11.353746,-0.5551821)(11.503747,-0.6301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(3.4037466,-1.230182)
\lineto(5.6537466,-1.5301821)
\curveto(6.7787466,-1.6801821)(8.853746,-1.8051821)(9.803747,-1.7801821)
\curveto(10.753747,-1.7551821)(12.028747,-1.6301821)(12.353746,-1.5301821)
\curveto(12.678747,-1.4301821)(12.978746,-1.3301821)(12.903747,-1.3301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0.97467,-0.9301821)
\lineto(2.1537466,-1.6801821)
\curveto(2.7787466,-2.055182)(4.4037466,-2.630182)(5.4037466,-2.830182)
\curveto(6.4037466,-3.0301821)(7.853747,-3.205182)(8.303747,-3.180182)
\curveto(8.753747,-3.1551821)(9.678747,-3.1051822)(10.153747,-3.080182)
\curveto(10.628747,-3.055182)(11.653747,-2.9051821)(12.203747,-2.7801821)
\curveto(12.753747,-2.6551821)(13.478746,-2.330182)(13.653747,-2.130182)
\curveto(13.828747,-1.9301821)(14.028747,-1.5551821)(14.053747,-1.3801821)
\curveto(14.078747,-1.2051821)(14.103746,-0.8801821)(14.103746,-0.7301821)
\curveto(14.103746,-0.5801821)(14.128747,-0.3051821)(14.153747,-0.1801821)
\curveto(14.178747,-0.055182096)(14.203747,0.09481791)(14.203747,0.16981791)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(4.8237467,-1.3301821)
\lineto(6.6537466,-0.9801821)
\curveto(7.578747,-0.8051821)(9.203747,-0.3551821)(9.903747,-0.0801821)
\curveto(10.603746,0.1948179)(11.353746,0.4698179)(11.503747,0.4698179)
}
\psline[linewidth=0.04cm](14.003747,-0.030182097)(14.203747,0.16981791)
\psline[linewidth=0.04cm](14.203747,0.16981791)(14.303747,-0.030182097)
\psline[linewidth=0.04cm](12.703747,-1.20182)(12.903747,-1.3301821)
\psline[linewidth=0.04cm](12.903747,-1.3301821)(12.703747,-1.5801821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.403747,-0.4301821)(11.503747,-0.6301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,-0.6301821)(11.303747,-0.7301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.303747,0.5698179)(11.503747,0.4698179)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,0.4698179)(11.403747,0.2698179)
\psline[linewidth=0.04cm](12.403747,2.369818)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.103746,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.103746,1.9698179)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.303747,1.8698179)
\uput{1.50000}[-90.0000](2.5000,-2.0000){\textbf{Ensemble de d\'epart $E$}}
\uput{1.5000}[-90.0000](13.0000,-2.0000){\textbf{Ensemble d'arriv\'ee $F$}}
\uput{1.5000}[-90.0000](8.30000,4.50000){\textbf{Fonction $f$}}
\end{pspicture} 
}

\end{center}

\vspace{5mm}
\Rqs{
\item On note souvent une fonction $f$ (mais on peut les appeler comme on veut).
\item Un élément de $E$ n'est pas forcément associé à un élément de $F$. On l'appelle alors 
\textbf{valeur interdite} de la fonction. \\
 Ici, $d$ est une valeur interdite de $f$ (mais pas $e$ !).
\item Un élément de $E$ ne peut pas être associé à plusieurs éléments de $F$.\\
Ici, il ne peut pas y avoir une deuxième flèche partant de $x$.
\item Plusieurs éléments de $E$ peuvent étre associés au même élément de $F$. \\
Ici $a$ et $b$ sont tous les deux reliés à $c$.
}

\Expl{Vous connaissez d\'ej\`a quelques fonctions en g\'eom\'etrie : 
\begin{itemize}
 \item Le p\'erim\`etre d'un cercle est la fonction qui \`a tout r\'eel positif $R$ associe le r\'eel $P(R)=2\pi R$
 \item L'aire d'un cercle est la fonction qui \`a tout r\'eel positif $R$ associe le r\'eel $A(R)=\pi R^2$
 \item Le p\'erim\`etre d'un rectangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positifs $(l;L)$ associe le r\'eel $\mathscr P(l;L)=2(l+L)$
 \item L'aire d'un rectangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positis $(l;L)$ associe le r\'eel $mathscr A(l;L)=l\times L$
 \item L'aire d'un triangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positifs $(b;h)$ associe le r\'eel $\mathscr A(b;h)=\dfrac{b\times h}{2}$
 \item Le volume d'un parall\'el\'epip\`ede rectangle est la fonction qui \`a tout triplet de r\'eels positifs $(a;b;c)$ associe le r\'eel $\mathscr V(a;b;c)=abc$
\end{itemize}
}

\Rq{En classe de seconde nous intéresserons qu'aux fonctions dont l'ensemble de départ est contenu dans $\R$.}

\Cadre[Vocabulaire]{
On note par exemple $f$ la fonction qui \`a tout r\'eel $x$ positif associe le r\'eel $5+3x\sqrt{x+2}$
 de la mani\`ere suivante :
\begin{eqnarray*}
f:&\R^+ &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto 5+3x\sqrt{x+2}
 \end{eqnarray*}
On dit que $5+3x\sqrt{x+2}$, not\'e bien souvent $f(x)$ est l'\textbf{image} de $x$ par la fonction $f$. \newline
De la m\^eme mani\`ere, on dit que $x$ est l'\textbf{ant\'ec\'edent} de $f(x)$.
}

\Rq{
Un nombre peut ne pas avoir d'ant\'ec\'edent comme en avoir plusieurs. Par contre l'image d'un nombre, losrqu'elle existe, est unique.}

\Att{Il n'est pas rare de confondre, et pendant des années, l'image du réel $x$ par la fonction $f$, à savoir $f(x)$ qui désigne un nombre réel, avec la fonction $f$ elle-même qui désigne une fonction...}

\Exop{Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2-\dfrac{6}{x}$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(-3)$, $f(2)$ et $f(-1)$.
 \item Pourquoi l'image de $0$ par $f$ n'existe-t-elle pas ?
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :$$f(x)=x^2-2x+3$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'image des réels $0$ ; $-\dfrac{3}{2}$ et $ \sqrt{2}$ par $f$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $f$.
\item Montrer que, $\forall x\in\R$ on a $f(x)=(x-1)^2+2$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $2$ et de $-4$ par $f$.
\end{enumerate}}
%\subsection{Algorithme}

%Le lien entre les algorithmes et le calcul de l'image d'une fonction et/ou de la recherche de l'antécédent d'un réel est direct. En effet on calcule des images ou on recherche des antécédents toujours de la même manière.

%\Exop{On choisit un nombre $x$, on lui ajoute 4, on \'el\`eve le r\'esultat au carr\'e, on retranche 16 
%et on divise le tout par le nombre de d\'epart. Quelle est l'expression alg\'ebrique de l'image $f(x)$ de $x$ ? Quelle est l'image de 4 ? de 0 ?
%}

%\Exop{Soit la fonction 
%\begin{eqnarray*}
%g:&\R &\rightarrow \R  \\
%&x& \mapsto x^2-3
 %\end{eqnarray*}
%D\'ecrire l'algorithme correspondant \`a la fonction $g$.\newline
%D\'eterminer l'image de 3, puis celle de $-1$ par la fonction $g$. \newline
%D\'eterminer les ant\'ec\'edents \'eventuels de $6$, de $-3$ et de $-4$ par la fonction $g$.
%}

%\Exop{
%\begin{enumerate}
%\item Que fais l'algorithme ci-dessous ?
%\item Décrire, à l'aide du vocabulaire définit précédemment la fonction mise en valeur par l'algorithme ci-dessous :
%\end{enumerate}
%}
%\begin{cadrecode}
%\begin{small}
%\begin{verbatim}
%%1   VARIABLES
%2     x EST_DU_TYPE NOMBRE
%3     fx EST_DU_TYPE NOMBRE
%4   DEBUT_ALGORITHME
%5     LIRE x
%6     fx PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5
%7     AFFICHER fx
%8   FIN_ALGORITHME
%\end{verbatim}
%\end{small}
%\end{cadrecode}

%\Exop{Ecrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n'importe quel nombre réel $y$ par la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%$$ f(x)=3x+1$$}
\subsection{Ensemble de définition}


\subsubsection{Valeurs interdites}
\Exop{
Soit $f$ la fonction telle que $f(x)=\dfrac{4}{x-3}$. Calculer l'image de 2, de 4 et de 3.}
\Defc{Par d\'efinition d'une fonction, un \'el\'ement de d\'epart peut ne pas avoir d'image, on dit alors que c'est une \textbf{valeur interdite}.}

\noindent On trouve les valeurs interdites en appliquant les deux r\`egles suivantes : 
\begin{itemize}
 \item On ne divise pas par z\'ero 
 \item On ne prend pas racine d'un nombre strictement n\'egatif\\
\end{itemize}

\noindent Il faudra donc toujours se poser les questions suivantes : \\
Dans l'expression de l'image,
\begin{itemize}
 \item Y a-t-il un quotient ? Si oui, le d\'enominateur peut-il \^etre nul ?
 \item Y a-t-il une racine ? Si oui, la quantit\'e dont on prend la racine peut-elle \^etre strictement n\'egative ?\\
\end{itemize}

\Expl{
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2-3x+1$. Déterminer les valeurs interdites.
 \item Soit $g$ la fonction d\'efinie par $g(x)=\dfrac{3x-1}{4-5x}$. Déterminer les valeurs interdites.
 \item Soit $h$ la fonction d\'efinie par $h(x)=\sqrt{-x+1}$. Déterminer les valeurs interdites.
\end{enumerate}
}

\Rq{On peut alors \'ecrire : \vspace{-5mm}
\begin{multicols}{3}
\begin{eqnarray*}
f:&\R & \rightarrow \R \\
&x& \mapsto x^2-3x+1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
g:&\R\setminus\{\frac{4}{5}\}& \rightarrow \R \\
&x& \mapsto \dfrac{3x-1}{4-5x}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
h:&]-\infty;1]& \rightarrow \R \\
&x& \mapsto \sqrt{-x+1}
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
}
\subsubsection{Ensemble de définition}

\Defc{
L'ensemble des r\'eels poss\'edant exactement une image par une fonction $f$ est appel\'e \textbf{ensemble de d\'efinition} de la fonction. On le note $D_f$.}

\Rq{Pour trouver l'ensemble de définition il suffit de trouver l'ensemble des valeurs interdites.}

\Expl{$$ f(x)=\dfrac{2}{x-1}$$
$f$ a une valeur interdite $1$, par conséquent l'ensemble de définition de $f$ est :
$$ D_f=\R\backslash\{1\}$$}

\Exop{Soient les fonctions $D$, $T$ et $L$ d\'efinie par $D(x)=4x^2-x+3$, $T(x)=\dfrac{x^2-2}{(x-1)(2x+3)}$ et $L(x)=\sqrt{5x-9}$.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer les ensembles de d\'efinition de chacune des trois fonctions.
\item D\'eterminer l'image de $-1$ par $D$, de $0$, de $-2$ par $T$ et de $2$ par $L$.
\item D\'eterminer les ant\'ec\'edents de $3$ par $D$, de $0$ par $T$, de $4$ par $L$, puis de $\dfrac{47}{16}$ par $D$, de $-5$ par $L$.
\end{enumerate}
}

\subsection{En résumé}

\Cadre[Méthodes]{
 \begin{enumerate}      
 \item Pour trouver l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, on remplace $x$ par sa valeur
dans l'expression algébrique de $f$ et on compte.
\item On trouve les éventuels antécédents d'un nombre $y$ par une fonction $f$ en résolvant l'équation $f(x)=y$.
 \item On trouve l'ensemble de définition d'une fonction $f$ en cherchant les valeurs interdites. Pour cela, on applique
les deux r\`egles suivantes : 
\begin{enumerate}
 \item On ne divise pas par z\'ero. 
 \item On ne prend pas la racine d'un nombre strictement n\'egatif.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}



\Expls{
\begin{itemize}
 \item Soit $g$ la fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $g(x)=5-3x$.\\
L'image de $0$ est $g(0)=5-3 \times 0 = 5$.\\
Chercher de même l'image de $\dfrac{4}{9}$ et celle de $-2$.\\

En fait, on peut toujours calculer l'image d'un nombre par la fonction $g$. Il n'y a donc pas de valeurs interdites.\\
L'ensemble de définition de $g$ est donc l'ensemble des nombres que vous connaissez i.e $\R$.
On a donc $ D_g=\R$.\\ 

On peut également chercher les éventuels antécédents de nombres de l'ensemble d'arrivée. \\
Pour cela, on résout toujours une équation.\\
L'éventuel antécédent de $0$ est le nombre $x$ tel que $g(x)=0$. On doit donc résoudre :
\begin{eqnarray*}
&& 5-3x=0 \\ 
&\stackrel{-5}{\iff} & -3x=-5 \\
& \stackrel{\times (-1)}{\iff} & 3x = 5 \\
& \stackrel{/3}{\iff} & x = \dfrac{5}{3}
\end{eqnarray*}
L'antécédent de $0$ est $\dfrac53$.\\
Chercher de même les éventuels antécédents de $4$ et de $-2$.\\

\item Soit $l$ la fonction qui \`a un nombre $x$ associe le nombre $l(x)=\dfrac{3}{6-2x}$. \\
L'image de $1$ par $l$ est le nombre $l(1)=\dfrac{3}{6-2 \times 1 }= \dfrac{3}{4} $. \\
Quelle est l'image de $0$ ? de $-4$ ? \\

En fait, on peut toujours calculer $l(x)$ sauf si l'on est amené à diviser par $0$, i.e si et seulement si 
 $6-2x = 0 \Longleftrightarrow x = 3$. \\
La seule valeur interdite est donc $3$. \\
L'ensemble de définition de $l$ est donc tous les nombres sauf $3$. On le note $ D_l=\R \setminus \{3\}$\\

L'éventuel antécédent de $1$ est le nombre tel que $l(x)=1$. On doit donc résoudre 
\begin{eqnarray*}
&& \dfrac{3}{6-2x}=1 \\
& \iff & 3=6-2x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{-6}{\iff} & -3 = -2 x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{\times (-1)}{\iff} & 3 = 2 x \quad \text{ et } x \neq 3 \\
& \stackrel{/2}{\iff} & x = \dfrac32 
\end{eqnarray*}
L'antécédent de $1$ est donc $\dfrac32$.\\
Quels sont les éventuels antécédents de $0$ ?
\end{itemize}
}

\Expl{ 
Soit la fonction $f$ qui \`a tout r\'eel $x$ associe le r\'eel $f(x)=3\sqrt{x+2}+\sqrt{11-x} \,$ 
quand il existe. \\
L'image de $7$ par $f$ est le nombre $f(7)=3 \sqrt{7+2}+\sqrt{11-7}=3\sqrt{9}+\sqrt{4}=3 \times 3 + 2 = 11$.\\
Calculer l'image de $4.5$, puis celle de $16$.\\

En fait, on peut toujours calculer $f(x)$ à partir du moment où les valeurs sous les racines sont 
des quantités positives. On doit donc avoir $x \geq -2$ \textbf{et} $x\leq 11$, ie $-2 \leq x \leq 11$.\\
On note $[-2;11]$ l'ensemble des nombres compris entre $-2$ et $11$ inclus et on appelle 
cet ensemble un intervalle. \\
On a donc $ D_f=[-2;11]$.\\

On sait que $7$ est un antécédent de $11$ par $f$, mais il en existe en fait un deuxième proche de $10.97$. Pour trouver le
trouver exactement, on doit résoudre l'équation $3\sqrt{x+2}+\sqrt{11-x}=11$, qui est trop compliquée en seconde.\\
}

\pagebreak
\section{Algorithmie}

\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}\\


\Defc{
Un \textbf{algorithme} est une suite d'instructions, qui, une fois ex\'ecut\'ee correctement, conduit \`a un unique résultat.
}


\Expls{Indiquer un itinéraire allant d'un lieu à un autre, une recette de cuisine, télécharger un ficher, compresser des données, les jeux vidéos,
les feux tricolores, les lumières de la tour Eifel, le pilote automatique des avions, la cryptographie (codage de messages) ...\\
En mathématiques, vous connaissez déjà l'algorithme d'Euclide qui  permet de trouver le pgcd de deux nombres entiers positifs. \\
Les Babyloniens suivaient un algorithme très performant pour trouver une valeur approchée de la racine carré d'un nombre.\\
Dans ce chapitre, nous allons écrire un algorithme pour calculer les images d'une fonction donnée.}

\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
 Dans certains magasins, en période de soldes, le prix figurant sur un article correspond au prix sans la remise et une étiquette précise 
$-20\%$, $-30\%$ ...\\
On voudrait écrire un algorithme, puis un programme sur Algobox, qui détermine le montant de la remise ainsi que le prix à payer. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Détermination des variables : analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Que doit-on calculer ?\\
% \item Que doit-on obtenir à la fin ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item \textbf{Rédaction du processus français : l'algorithme}\\
On commence toujours un algorithme en énonçant les variables mise en jeu (désignées par des lettres), et en précisant leur nature (nombre, mots ...)\\
\textit{Saisir} une donnée permet à l'utilisateur d'attribuer une valeur à une variable (ce sont les entrées).\\
\textit{Affecter} une donnée permet à l'algorithme d'attribuer une valeur à une variable (on peut aussi utiliser le 
symbole $\to$ )\\
\textit{Afficher} permet à l'utilisateur de voir un texte (entre guillemets) ou la valeur d'une variable à l'écran.
 Compléter l'algorithme suivant  :
\Algo[Calcul d'une remise et d'un nouveau montant]{12cm}{
\Var{ ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir  ...\\
 Saisir  ...\\
 Affecter à  ...  la valeur  .........\\
 ......  $\to$  ...\\
 Afficher " Le montant de la remise est "  ...\\
 Afficher " Le prix à payer est "  ...\\
}
}

\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice.\\
\end{enumerate}



\Rqs{
\item 
Pour fonctionner, un algorithme doit contenir uniquement des instructions compr\'ehensibles par celui qui devra 
l'ex\'ecuter %(sinon il suffirait de dire pour indiquer un chemin d'aller de l\`a o\`u l'on est \`a l'endroit d\'esir\'e !).\\
\item En math\'ematiques, les algorithmes consistent par exemple en des suites d'op\'erations \`a effectuer (pour les 
fonctions notamment), 
ou des suites de manipulations \`a faire (pour construire une figure g\'eom\'etrique). \\
On consid\`ere pour acquises les connaissances du coll\`ege, et l'on pourra donc les utiliser comme instructions.
\item On peut alors voir une fonction numérique comme une machine, dans laquelle on introduit un nombre 
et en ressort un nombre transform\'e ou modifi\'e, suivant un algorithme de calcul donné. 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(11.9,1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{12} \def\ymin{-4} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.2,-3.2)(12.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(3.0000,1.0000)(3.0000,-1.0000)(5.0000,-1.0000)(5.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(5.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.30000}[-180.0000](0.0000,0.0000){Nombre}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,0.0000){Machine}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){Nombre transform\'e}
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.5000,-0.50000){$x$}
\uput{0.300}[0.0000](3.5000,-0.5000){$f$}
\uput{0.300}[0.0000](8.5000,-0.50000){$f(x)$}
\uput{2.0000}[-122.0000](1.0000,0.5000){Ant\'ec\'edent}
\uput{2.0000}[-70.0000](3.0000,0.5000){Fonction}
\uput{2.2000}[-57.0000](8.0000,0.50000){Image}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{
Consid\'erons la machine $f$ qui retranche 3 et \'el\`eve au carr\'e.
\begin{itemize}
  \item Si on rentre le nombre 0, il en ressort 9, ou encore l'image de 0  par $f$ est $9$, ou encore $f(0)=9$
\item Si on rentre 3, il en ressort 0, ie l'image de $3$ par $f$ vaut $0$, ie $f(3)=0$.
 \item Si on rentre le nombre $-4$, il en ressort 49, ou encore l'image de $-4$  par $f$ est $49$, ou encore $f(-4)=49$
 \item Si on rentre $\sqrt{2}$, il en ressort $(\sqrt{2}-3)^2$, ie $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}-3)^2$.
 \item Si on rentre $x$, il en ressort $(x-3)^2$, ie $f(x)=(x-3)^2$.
\end{itemize}
Ici, on a décrit la fonction numérique $f: x \longmapsto   (x-3)^2 $ dont l'ensemble de définition est $\R$,
par l'algorithme calculatoire : $$x \longmapsto x-3 \longmapsto(x-3)^2$$
L'algorithme détaillant les étapes de calcul et donnant en sortie l'image d'un nombre est le suivant :}
\begin{center}
%\begin{multicols}{2}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\Algo[Fonction]{6.5cm}{
\Var{$x$, $y$, $a$ sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir $x$\\
 Affecter à $a$ la valeur $x-3$\\
 $a^2 \to  y$ \\
 Afficher $y$
}
}
\end{minipage}
\qquad ou encore \qquad
\begin{minipage}[c]{7cm}
\Algo[Fonction]{6.5cm}{
\Var{$x$, $y$ sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir $x$\\
 Affecter à $y$ la valeur $x-3$\\
 $y^2 \to  y$ \\
 Afficher $y$
}
}
\end{minipage}
%\end{multicols}
\end{center}



On aimerait désormais écrire un algorithme donnant les éventuels antécédent d'un nombre par la fonction $f$.\\
Par exemple, un antécédent de $9$  par $f$ est $0$, car on a vu précédemment que $f(0)=9$. Mais il en existe peut-être d'autres.\\
Pour tous les trouver, on doit résoudre $f(x)=9$. Or 
\begin{eqnarray*}
(x-3)^2=9 & \Longleftrightarrow &  x-3 = 3 \textrm{ ou } x-3 = -3\\
 & \Longleftrightarrow & x = 6 \textrm{ ou } x = 0 
\end{eqnarray*}
Donc les antécédents de $9$ par $f$ sont $0$ et $6$.\\
Un antécédent de $0$ par $f$ est $3$. On peut vérifier que c'est le seul en résolvant l'équation $(x-3)^2 = 0$.\\
Par contre, $-1$ n'a pas d'antécédent par $f$, car l'équation $(x-3)^2=-1$ n'a pas de solutions.\\
L'algorithme cherché est : 

\Algo[Antécédents]{12cm}{
\Var{$x_1$, $x_2$, $y$, $a$, $b$ sont des nombres réels
}
\Deb{
  Saisir $y$\\
  \IfThenElse{$y < 0$}
    {Afficher $y$ "n'a pas d'antécédent par $f$"}
    {Affecter à $a$ la valeur $\sqrt{y}$\\
    Affecter à $b$ la valeur $-\sqrt{y}$\\
    Affecter à $x_1$ la valeur $a+3$\\
    Affecteur à $x_2$ la valeur $b+3$\\
    Afficher "Les antécédents de" $y$ "sont" $x_1$ "et" $x_2$
}
}
}

\Exop{
On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on \'el\`eve le r\'esultat au carr\'e, on retranche 16 
et on divise le tout par le nombre de d\'epart. \\
Quelle est la fonction $blop$ décrite par cet algorithme ? 
Quelle est l'image de 4 ? Que vaut $blop(0)$ ?
}


\begin{multicols}{2}
\Exop{
Décrire la fonction associée à l'algorithme ci-contre et donner son ensemble de définition.}
\Algo{8cm}{
\Var{$x$ et $y$ sont des nombres réels}
\Deb{
Saisir $x$\\
Affecter à $y$ la valeur $\sqrt{2x}+5$\\
Afficher $y$
}
}
\end{multicols}

\Exop{Ecrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n'importe quel nombre réel $y$ par 
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=3x+1$
}
\pagebreak

\section{Représentation graphique d'une fonction}
\subsection{Définition}

On peut associer \`a une fonction un tableau de valeurs (que l'on trouve à la calculatrice). 
Il comporte deux lignes, la premi\`ere regroupe les ant\'ec\'edents $x$ et la seconde les images $f(x)$ correspondantes.\\
On peut alors placer les points de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère $(O; I ; J )$ du plan.\\


\Defc{
La \textbf{courbe représentative} $\mathscr C_f$ (ou encore \textbf{représentation graphique}) d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ 
est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.\\
Autrement dit : $M(x;y) \in \mathscr C_f $ si et seulement si $\left\{\begin{array}{cc}
                                                                       x\in D_f \\ f(x)=y.
                                                                      \end{array} \right.$\\
On dit que la courbe $\mathscr C_f$ a pour équation $y=f(x)$ dans le repère choisi.
}

\Expl{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^2-1$. Compléter le tableau de valeurs suivant grâce à la calculatrice:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -2 & -1 & $-0.5$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline
 $f(x)$ & & & & & & &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e les points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$. \\
Imaginer alors l'allure de la courbe repr\'esentative  $\mathscr C_f$ de la fonction $f$.\\
Le point $A(1.5;1.25)$ appartient-il à $\mathscr C_f$ ? Et le point $B(0.5;-0.7)$?
}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(3.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.25cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-15,-10)(15,30)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[u](0.9,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\noindent \Rq{
Pour tracer la courbe repr\'esentative  d'une fonction, on relie les points du tableau de valeurs avec le plus 
de coh\'erence possible.  On prendra toujours un tableau  avec \textbf{\textit{au moins 10 valeurs}} et on consultera
le trac\'e de la courbe sur la calculatrice pour s'aider.\\
N\'eanmoins, on ne sait pas exactement comment varie la fonction entre deux points de la courbe, ni en dehors du graphique.\\
Pour \^etre plus pr\'ecis, il suffit d'agrandir le tableau de valeurs en diminuant le pas. \\
Cependant, pour pr\'evoir l'allure d'une courbe, nous allons \'etudier ses variations.  Il est utile de consulter le trac\'e de la courbe sur la calculatrice avant d'effectuer son propre trac\'e.\\
Observons la représentation graphique suivante d'une fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,4,0,0)(-4,-2,0,0)(-3.7,3,0,0)(-3,0,-1,0)(-1,-2,-0.2,0)(0,2,1,0)(2,4,0,0)(4,0,0,0)(6,2,0,0)(9,2,0,0)(10,-1,0,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
Sans connaître à l'avance son allure i.e ses variations (savoir quand elle est croissante (quand elle monte) et savoir quand elle est décroissante (quand elle descend) il aurait été facile de tracer une courbe à l'allure bien différente...
}

\pagebreak
\Cadre[Utilisation de la calculatrice]{Pour obtenir un tableau de valeurs (et la courbe repr\'esentative d'une fonction) \`a la calculatrice graphique :
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans \fbox{Y=} \textbf{ou} dans \fbox{f(x)} \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{Graph}.
 \item On r\`egle les param\`etres du tableau de valeurs (premi\`ere, derni\`ere valeur de $x$ et pas) dans 
le menu \fbox{Table} + \fbox{Tblset} (jaune + F4) \textbf{ou} dans \fbox{Déf table} (jaune + F2) \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{Table} + \fbox{F5} :
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
 \textbf{CASIO}\\
Start=... \\
End=... \\
Pitch=... \\

\textbf{TI}\\
TblStart=... \\
$\Delta$Tbl=... \\
\end{multicols}
\end{center}
\item On règle les param\`etres de la fenêtre graphique (début et fin du $x$, début et fin du $y$, échelle) dans 
le menu \fbox{Graphe} + \fbox{windowset} (jaune + F?) \textbf{ou} dans \fbox{fenêtre} \textbf{ou} dans \fbox{Menu} + \fbox{graphe} + \fbox{F5} :
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
 \textbf{CASIO}\\
Start=... \\
End=... \\
Pitch=... \\

\textbf{TI}\\
TblStart=... \\
$\Delta$Tbl=... \\
\end{multicols}
\end{center}
 \item On affiche le tableau de valeurs dans le menu \fbox{Table} (jaune + F5)
 \item On affiche la courbe repr\'esentative dans le menu \fbox{Graphe}.
\end{itemize}
}


\begin{multicols}{2}
\Rq{\\
Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. \\
On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. \\
En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.\\

Ci-contre, on constate que le nombre $4$ possède deux images : $-1$ et $4$.\\
La courbe ci-contre n'est donc pas représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.8,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){2.85}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
%\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
%\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
%\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](0.9,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\end{multicols}



\Expls{Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=3 \qquad g(x)=2x+1 \qquad \text{et} \qquad  h(x)=-2x+1$$
}



\pagebreak
\subsection{Lecture graphique}

\Act{Reprendre l'une des courbes tracées précédemment et répondre à des questions de lecture graphique, telles que ensemble de définition,
 image, antécédents, signes ...
}

\Cadre[Méthodes pour déterminer graphiquement ]{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Un ensemble de définition} : On détermine l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe représentative.\\
Puis on le décrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles, en faisant attention aux bornes (crochets ouverts ou fermés).
 \item \textbf{L'image $f(a)$ d'un réel $a$} : On place sur la courbe le point d'abscisse $a$ et on lit son ordonnée.
 \item \textbf{Les éventuels antécédents d'un réel $b$} : On place sur la courbe tous les points éventuels d'ordonnées
$b$ (on peut les mettre en 
évidence en traçant la droite parallèle à l'axe des abcisses passant par le point $(0;b)$ d'équation $y=b$) et on lit leur abscisses.
\end{itemize}
}


\subsubsection{Résolution graphique d'équations}
\Act{Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies par le graphe suivant :
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\G{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
\def\H{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
 \uput[r](3.7,5.5){$C_f$}
 \uput[r](5.3,5.5){$C_g$}
 \uput[r](-5.9,4){$C_h$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}



\end{center}
R\'esoudre :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=2$
 \item $f(x) = h(x)$ puis, $f(x) = g(x) $ et enfin $g(x)=h(x)$
\item  $ f(x) < 2$, puis $g(x) \geq 1$
\item $f(x) \geq h(x)$ puis $f(x) <h(x)$
\end{enumerate}
}


Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur un intervalle $I$, $k\in\R$

\textbf{Cas particulier : R\'esolution de $f(x)=k$ sur $I$.}\newline
D\'eterminer sur un intervalle $I$ les solutions de $f(x)=k$ revient \`a trouver tous les ant\'ec\'edents de $k$ appartenant \`a $I$. 
\Cadre{\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ } :\newline
Pour r\'esoudre cette \'equaiton graphiquement, on trace la courbe repr\'esentative $C_f$ de la fonction $f$, et la droite $d$ d'\'equation $y=k$ (horizontale). \newline
Les solutions de l'\'equation sont les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $C_f$ et $d$.
}

\Expl{\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $\R$ l'\'equation  $$\quad\quad(x-4)^2+1=3$$

Soit $f: x \rightarrow (x-4)^2+1 $  d\'efinie sur $\R$ et $k= 3$. \newline
\indent Donc $S=\left\{x_1;x_2\right\}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,3)
\psdot(5.4,3)
\psline[linestyle=dashed](5.4,0)(5.4,3)
 \uput[d](2.6,0){$x_1$}
 \uput[d](5.4,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Cadre{
\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$ } :\newline
On trace sur $I$ les courbes repr\'esentatives $C_f$ et $C_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.  \newline
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
}

\Expl{\vspace{-4mm}
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $[-1; + \infty[$ l'\'equation  $$(x-4)^2+1=\sqrt{x+1}$$

Soient $f: x \rightarrow (x-4)^2+1 $ d\'efinie sur $\R$ et $g:x \rightarrow \sqrt{x+1}$ d\'efinie sur $[-1; + \infty[$. \newline
\indent Donc $S=\left\{x_1;x_2\right\}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(5,2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2)(0,2)
\psdot(3.3,1.55)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,1.55)(0,1.55)
 \uput[d](3.3,0){$x_1$}
 \uput[d](5,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\subsubsection{R\'esolution graphique d'in\'equations}
\Cadre{
\textbf{M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)<g(x)$ } :\newline
On trace sur $I$ les courbes repr\'esentatives $C_f$ et $C_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.  \newline
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points de $C_f$ se trouvant au dessous de $C_g$.
}

\Expl{
En prenant les deux exemples ci-dessus, on trouve $S=]x_1;x_2[$ dans les deux cas.
}



\Exo{\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
	\item D\'evelopper $\left(x-1\right)^2(x+2)$
	\item R\'esoudre alors l\'equation $x^3-3x+2=0$
	\end{enumerate}
\item On consid\`ere les fonctions $h$ et $k$ d\'efinies sur $\R$ par : $h(x)=x^3$ et $k(x)=3x-2$
\begin{enumerate}
 \item Tracer soigneusement les repr\'esentations graphiques $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$ de $h$ et $k$ sur l'intervalle $[-2;2]$.
\item D\'eterminer graphiquement les coordonn\'ees des points communs de $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_k$.
\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la question 1), retrouver ce r\'esultat par le calcul.
\item R\'esoudre graphiquement l'in\'equation $h(x)\leq 1$
\end{enumerate}
}



\subsection{Symétrie éventuelle}
Dans cette partie on considère uniquement des fonctions définies sur $\R$. Pour des fonctions non définies sur $\R$ il est aisé d'étendre la définition, en considérant des fonctions définies sur un intervalle centré autour de $0$.
\subsubsection{Fonction paire}
\Defc{Une fonction est paire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.}

\Expl{On considère la fonction qui a $x$ associe $x^2+1$. Voici sa représentation graphique, comme elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on conclut que cette fonction est paire.}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,10)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-1.1)(3.1,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{5}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-2}{2}{\G}
\psdot(2,5) \uput[ur](2,5){$A$}
\psdot(-2,5) \uput[ur](-2.6,5){$B$}


 \uput[ur](1.8,-0.5){$x$}
 \uput[ur](-2.4,-0.5){$-x$}
 \uput[ur](-1,5){$f(x)=f(-x)$}

\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2,0)(2,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-2,0)(-2,5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{\begin{itemize}
\item Si l'on connait le tracé de la représentation graphique d'une fonction $f$, paire, sur $[0;+\infty[$, on en déduira son tracé sur $]-\infty;0]$ par symétrie.
\item Observons sur la courbe précédente les points $A$ et $B$. Comme la fonction est paire, $A$ et $B$ ont la même ordonnée i.e si $f$ est une fonction paire alors :
$$ \forall x\in\R\qquad f(x)=f(-x)$$
La réciproque de ce résultat est vraie, si $f(x)=f(-x)$ pour tout $x\in\R$ alors $f$ est une fonction paire.\\
Par conséquent on peut prévoir, à l'aide de ce résultat et sans la courbe d'une fonction, si elle est paire ou non. 
\end{itemize}}

\Exop{Voici la courbe d'une fonction $f$ définie sur $\R$. Compléter le tracé ci-dessous :
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-14.1,-0.5)(12.6,1.6)
\def\xmin{-14} \def\xmax{12.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{1.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-14.1,-1.1)(12.6,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{14}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}}

\Exop{On considère la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^4+5$$
Montrer que $f$ est paire.}
\newpage
\subsubsection{Fonction impaire}
\Defc{Une fonction est impaire si et seulement si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. }



\begin{multicols}{2}
\Expl{On considère la fonction qui a $x$ associe $x^3$. Voici sa représentation graphique, comme elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on conclut que cette fonction est impaire.}
\Rq{\begin{itemize}
\item Si l'on connait le tracé de la représentation graphique d'une fonction $f$, impaire, sur $[0;+\infty[$, on en déduira son tracé sur $]-\infty;0]$ par symétrie.
\item Les points $A$ et $B$ sont deux points de la représentation graphique de $f$ symétriques par rapport à l'origine du repère, par conséquent leurs ordonnées sont opposées et on a $f(x)=-f(-x)$ pour tout $x\in\R$. La réciproque de ce résultat est vraie. D'où la propriété suivante :
\end{itemize}}
\Ptec{Une fonction $f$ est impaire si et seulement si $$ f(x)=-f(-x)\qquad \forall x\in\R$$}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-9.1)(3.1,9.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-9} \def\ymax{9}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-9.1)(3.1,9.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{8}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{0}{2}{\G}
\def\H{0 8 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-2}{0}{\H}
\psdot(2,8) \uput[ur](2,8){A}
\psdot(-2,-8) \uput[ur](-2.6,-8.4){B}
 \uput[ur](1.8,-0.5){$x$}
 \uput[ur](-2.4,0){$-x$}
 \uput[ur](-1,7.7){$f(x)$}
 \uput[ur](0,-8.3){$f(-x)$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-2,-8)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2,8)(2,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\subsubsection{Fonction périodique}
On peut lire sur wikipédia, la définition suivante des fonctions périodiques :

\Defc{une fonction périodique est une fonction qui lorsqu'elle est appliquée à une variable, reprend la même valeur si on ajoute à cette variable une certaine quantité fixe appelée période}

\Expl{Des exemples de telles fonctions peuvent être obtenus à partir de phénomènes périodiques, comme l'heure indiquée par la petite aiguille d'une horloge, les phases de la lune, etc. On étudiera à la fin de l'année, les fonctions trigonométriques, qui sont de très bon exemples de fonctions périodiques. Observons la représentation graphique d'une fonction périodique, de période $2$ : }

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-2.1)(7.1,2.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-7.1,-2.1)(7.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 exp 2 x 3 exp mul sub x 2 exp add 2 x mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{2}{\F}
\def\G{x 2 sub 4 exp 2 x 2 sub 3 exp mul sub x 2 sub 2 exp add 2 x 2 sub mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{4}{\G}
\def\H{x 4 sub 4 exp 2 x 4 sub 3 exp mul sub x 4 sub 2 exp add 2 x 4 sub mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{4}{6}{\H}
\def\I{x 4 add 4 exp 2 x 4 add 3 exp mul sub x 4 add 2 exp add 2 x 4 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{-2}{\I}
\def\J{x 2 add 4 exp 2 x 2 add 3 exp mul sub x 2 add 2 exp add 2 x 2 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{0}{\J}
\def\K{x 6 add 4 exp 2 x 6 add 3 exp mul sub x 6 add 2 exp add 2 x 6 add mul sub 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=dashed,plotpoints=1000]{-6}{-4}{\K}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

Ici on a représenté une fonction $f$ sur $[-4;4]$, puis en pointillé on a reproduit par symétrie la courbe sur $[-6;6]$. Remarquons que cette fonction est aussi paire, puisque sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\Exop{Ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2\pi]$. Sachant que $f$ est périodique de période $3$, représenter graphiquement la fonction $f$ sur $[-2\pi;4\pi]$.}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-12.1,-2.1)(12.1,2.1)
\def\xmin{-12} \def\xmax{12} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-12.1,-2.1)(12.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{6.28}{\F}

\endpsclip
\end{pspicture*}


\end{center}
%\pagebreak


\end{document}