\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\textbf{Cours}\hfill (2 points)\\
Compléter les égalités suivantes :
\Ptec{ $A$ et $B$ désignent deux événements d'une expérience aléatoire :
\begin{enumerate}
\item $ P(\overline{A})=1-P(A)$
\item $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
\end{enumerate}}
}
\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère deux urnes $U$ et $V$. L'urne $U$ contient quatre boules, trois sont rouges et une est bleue. L'urne $V$ en revanche contient cinq boules, deux sont bleues et trois sont rouges.\\
Un individu choisit au hasard une urne, puis choisit au hasard une boule dans l'urne de son choix. Il observe la couleur obtenue.
\\
On note $U$ l'événement \og l'individu a choisit l'urne $U$.\fg\\
On note $V$ l'événement \og l'indididu a choisit l'urne $V$. \fg\\
On note $R$ l'événement \og l'individu a tiré une boule rouge. \fg\\
On note $B$ l'événement \og l'individu a tiré une boule bleue.\fg.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser un arbre de probabilité décrivant l'univers de cette expérience aléatoire.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U$}\taput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{1}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{3}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\tbput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{2}{5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{3}{5}$}
}
}
\end{center}
\item %Déterminer la probabilité que la boule tirée par l'individu soit bleue et provienne de l'urne $U$.
En utilisant l'arbre on trouve :
$$ P(U\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $V\cap B$, puis calculer sa probabilité.
$V\cap B$ : \og la boule tirée par l'individu est bleue et provient de l'urne $V$. \fg, de plus :
$$ P(V\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}$$
\item %Déduire des deux premières questions la probabilité que la boule tirée soit bleue.
$$P(B)=P(U\cap B)+P(V\cap B)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{40}+\dfrac{8}{40}=\dfrac{13}{40}$$
\item %En déduire la probabilité que la boule tirée soit rouge.
Comme la boule est soit rouge soit bleue, on a :
$$ P(R)=1-P(B)=1-\dfrac{13}{40}=\dfrac{40-13}{40}=\dfrac{27}{40}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $U\cup B$, puis calculer sa probabilité.
$U\cup B :$ \og la boule tirée provient de l'urne $U$ \textbf{ou} la boule tirée est bleue. \fg, de plus :
$$ P(U\cup B)=P(U)+P(B)-P(U\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{13}{40}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{20+13-5}{40}=\dfrac{28}{40}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
Lors du second tour des élections présidentielles, un candidat souhaite connaître les intentions de vote des français en sa faveur.\\
Un premier sondage sur $250$ personnes interrogées donne une intention de vote de $54\%$.\\
Un second sondage sur $1900$ personnes interrogées donne une intention de vote de $53\%$.\\
On note $p$ la probabilité qu'un français rencontré au hasard vote pour ce candidat et on admet (ou plutôt on rappelle) que dans plus de $95\%$ des cas $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
\\
Déterminer le sondage le plus favorable à ce candidat.
\\
\textbf{Pour le premier sondage} : $n=250$, $f=0,54$, on calcule les bornes de l'intervalle de fluctuation :
$$ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,54-\dfrac{1}{\sqrt{250}}\simeq 0,48 \qquad \text{et}\qquad f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,54+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\simeq 0,60$$ 
On peut déduire de ce calcul que dans $95\%$ des cas ce sondage assure au candidat d'obtenir entre $48\%$ et $60\%$ des votes.\\
\textbf{Pour le second sondage} : $n=1900$, $f=0,53$, on calcule les bornes de l'intervalle de fluctuation :
$$ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,53-\dfrac{1}{\sqrt{1900}}\simeq 0,51 \qquad \text{et}\qquad f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,53+\dfrac{1}{\sqrt{1900}}\simeq 0,55$$ 
On peut déduire de ce calcul que dans $95\%$ des cas ce sondage assure au candidat d'obtenir entre $51\%$ et $55\%$ des votes.\\
Le second sondage est donc plus favorable au candidat, puis dans $95\%$ des cas il serait élu.
}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\Exoi{\textbf{Cours}\hfill (2 points)\\
Compléter les égalités suivantes :
\Ptec{ $A$ et $B$ désignent deux événements d'une expérience aléatoire :
\begin{enumerate}
\item $ P(\overline{A})=1-P(A)$
\item $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
\end{enumerate}}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère deux urnes $U$ et $V$. L'urne $U$ contient trois boules, deux sont rouges et une est bleue. L'urne $V$ en revanche contient cinq boules, quatre sont bleues et une est rouge.\\
Un individu choisit au hasard une urne, puis choisit au hasard une boule dans l'urne de son choix. Il observe la couleur obtenue.
\\
On note $U$ l'événement \og l'individu a choisit l'urne $U$.\fg\\
On note $V$ l'événement \og l'indididu a choisit l'urne $V$. \fg\\
On note $R$ l'événement \og l'individu a tiré une boule rouge. \fg\\
On note $B$ l'événement \og l'individu a tiré une boule bleue.\fg.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser un arbre de probabilité décrivant l'univers de cette expérience aléatoire.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U$}\taput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{1}{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{2}{3}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\tbput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{4}{5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{1}{5}$}
}
}
\end{center}
\item %Déterminer la probabilité que la boule tirée par l'individu soit bleue et provienne de l'urne $U$.
En utilisant l'arbre on trouve :
$$ P(U\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $V\cap B$, puis calculer sa probabilité.
$V\cap B$ : \og la boule tirée par l'individu est bleue et provient de l'urne $V$. \fg, de plus :
$$ P(V\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5}$$
\item %Déduire des deux premières questions la probabilité que la boule tirée soit bleue.
$$P(B)=P(U\cap B)+P(V\cap B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{30}+\dfrac{12}{30}=\dfrac{17}{30}$$
\item %En déduire la probabilité que la boule tirée soit rouge.
Comme la boule est soit rouge soit bleue, on a :
$$ P(R)=1-P(B)=1-\dfrac{17}{30}=\dfrac{30-17}{30}=\dfrac{13}{30}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $U\cup B$, puis calculer sa probabilité.
$U\cup B :$ \og la boule tirée provient de l'urne $U$ \textbf{ou} la boule tirée est bleue. \fg, de plus :
$$ P(U\cup B)=P(U)+P(B)-P(U\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{17}{30}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{15+17-5}{40}=\dfrac{27}{30}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
Lors du second tour des élections présidentielles, un candidat souhaite connaître les intentions de vote des français en sa faveur.\\
Un premier sondage sur $250$ personnes interrogées donne une intention de vote de $56\%$.\\
Un second sondage sur $1900$ personnes interrogées donne une intention de vote de $53\%$.\\
On note $p$ la probabilité qu'un français rencontré au hasard vote pour ce candidat et on admet (ou plutôt on rappelle) que dans plus de $95\%$ des cas $p\in\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
\\
Déterminer le sondage le plus favorable à ce candidat.\\
\textbf{Pour le premier sondage} : $n=250$, $f=0,56$, on calcule les bornes de l'intervalle de fluctuation :
$$ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,56-\dfrac{1}{\sqrt{250}}< 0,5 \qquad \text{et}\qquad f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,56+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\simeq 0,62$$ 
On peut déduire de ce calcul que dans $95\%$ des cas ce sondage assure au candidat d'obtenir entre $49\%$ et $62\%$ des votes.\\
\textbf{Pour le second sondage} : $n=1900$, $f=0,53$, on calcule les bornes de l'intervalle de fluctuation :
$$ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,53-\dfrac{1}{\sqrt{1900}}\simeq 0,51 \qquad \text{et}\qquad f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,53+\dfrac{1}{\sqrt{1900}}\simeq 0,55$$ 
On peut déduire de ce calcul que dans $95\%$ des cas ce sondage assure au candidat d'obtenir entre $51\%$ et $55\%$ des votes.\\
Le second sondage est donc plus favorable au candidat, puis dans $95\%$ des cas il serait élu.}




\end{document}
