\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$ f(x)=x^2+2x-3\qquad g(x)=\dfrac{1}{x-2}\qquad h(x)=\sqrt{5x-4}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les ensembles de définition des fonctions, $f$, $g$ et $h$ que l'on notera $\mathscr D_f$, $\mathscr D_g$ et $\mathscr D_h$
L'expression $f(x)$ ne comporte ni quotient, ni racine carrée, par conséquent :
$$ \mathscr D_f=\R$$
L'expression $g(x)$ comporte un quotient, le dénominateur ne doit pas s'annuler :
$$ x-2=0\Longleftrightarrow x=2$$
Il y a une valeur interdite, donc $$ \mathscr D_g=\R\textbackslash \{2\}$$
Et enfin l'expression $h(x)$ comporte une racine carrée, on doit donc avoir :
$$ 5x-4\geq 0\Longleftrightarrow 5x\geq 4\Longleftrightarrow x\geq \dfrac{4}{5}$$
Par conséquent :
$$ \mathscr D_h=\left[\dfrac{5}{4};+infty\right[$$
\item %Calculer l'image de $0$ ; $4$ par chacune des trois fonctions lorsque c'est possible.
$$f(0)=0^2+2\times 0-3=-3 \qquad f(4)=4^2+2\times 4-3=16+8-3=21$$
$$g(0)=\dfrac{1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}\qquad g(4)=\dfrac{1}{4-2}=\dfrac{1}{2} $$
$$ h(4)=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4$$
On ne peut pas calculer l'image de $0$ par $h$, car $h\notin \mathscr D_h$
\item %Déterminer les éventuels antécédents de $-3$ par $f$. 
On cherche les réels $x$ tels que $f(x)=-3$, c'est-à-dire :
\begin{eqnarray*}
&&x^2+2x-3=-3\\
&\Longleftrightarrow & x^2+2x=0\\
& \Longleftrightarrow & x(x+2)=0\\
&\Longleftrightarrow & x=0\qquad \text{ou} \qquad x+2=0\\
&\Longleftrightarrow &x=0\qquad \text{ou} \qquad x=-2\\
\end{eqnarray*}
$-3$ a deux antécédents par $f$, $0$ et $-2$.
\item %Déterminer les éventuels antécédents de $1$ par $h$. 
On cherche les réels $x$ tels que $h(x)=1$, c'est-à-dire :
\begin{eqnarray*}
&& \sqrt{5x-4}=1\\
& \Longleftrightarrow & \sqrt{5x-4}^2=1^2\\
& \Longleftrightarrow & 5x-4=1\\
&\Longleftrightarrow &5x=5\Longleftrightarrow x=1\\
\end{eqnarray*}
L'unique antécédent de $1$ par $h$ est $1$.
\item Compléter les tableaux de valeurs suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -4 & -3 & $-2$ & -1 & 0 & 1 & 2 \\\hline
 $f(x)$ & 5& 0&-3 &-4 &-3 &0 & 5 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & 0.8 & 1 & $4$ & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
 $h(x)$ & $0$ &$1$ &$4$ &  $\sqrt{21}$ &$\sqrt{26}$ &$\sqrt{31}$ & 6  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item \qquad %Tracer les représentations graphiques des fonctions $f$ et $h$ dans un repère.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.1,-4.32)(8.14,4.84)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.1,-4.32)(8.14,4.84)
\psplot[linecolor=qqqqww,plotpoints=200]{-4.1}{8.14}{x^2+2*x-3}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{0.8000000320000006}{8.14}{sqrt(5*x-4)}
\rput[tl](0.7,-1.4){$\qqqqww{\mathscr C_f : y=x^2+2x-3}$}
\rput[tl](4.04,3.94){$\zzqqqq{\mathscr C_h : y=\sqrt{5x-4}}$}
\rput[bl](-4.2,6){\qqqqww{$f$}}
\rput[bl](1,-0.3){\zzqqqq{$g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\Exoi{On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
$$ f(x)=x^3\qquad g(x)=\dfrac{1}{x+2}\qquad h(x)=\sqrt{2-x}$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les ensembles de définition des fonctions, $f$, $g$ et $h$ que l'on notera $\mathscr D_f$, $\mathscr D_g$ et $\mathscr D_h$
L'expression $f(x)$ ne comporte ni quotient, ni racine carrée, par conséquent :
$$ \mathscr D_f=\R$$
L'expression $g(x)$ comporte un quotient, le dénominateur ne doit pas s'annuler :
$$ x+2=0\Longleftrightarrow x=-2$$
Il y a une valeur interdite, donc $$ \mathscr D_g=\R\textbackslash \{-2\}$$
Et enfin l'expression $h(x)$ comporte une racine carrée, on doit donc avoir :
$$ 2-x\geq 0\Longleftrightarrow -x\geq -2\Longleftrightarrow x\leq 2$$
Par conséquent :
$$ \mathscr D_h=\left]-\infty;2\right[$$
\item %Calculer l'image de $0$ ; $4$ par chacune des trois fonctions lorsque c'est possible.
$$f(0)=0^3=0 \qquad f(4)=4^3=64$$
$$g(0)=\dfrac{1}{0+2}=\dfrac{1}{2}\qquad g(4)=\dfrac{1}{4+2}=\dfrac{1}{6} $$
$$ h(0)=\sqrt{2-0}=\sqrt{2}\simeq 1,41$$
$4$ n'a pas d'image par $h$ car $4\notin \mathscr D_h$.
\item %Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $g$. 
On cherche les réels $x$ tels que $g(x)=3$, c'est-à-dire :
\begin{eqnarray*}
&& \dfrac{1}{x+2}=3\\
&\Longleftrightarrow & 1=3(x+2)\\
& \Longleftrightarrow & 1=3x+6\\
&\Longleftrightarrow & 3x+5=0\\
&\Longleftrightarrow &x=-\dfrac{5}{3}\\
\end{eqnarray*}
$3$ a donc une unique antécédent par $g$ qui est $-\dfrac{5}{3}$.
\item %Déterminer les éventuels antécédents de $0$ par $h$. 
On cherche les réels $x$ tels que $h(x)=0$, c'est-à-dire :
\begin{eqnarray*}
&& \sqrt{2-x}=0\\
&\Longleftrightarrow & \sqrt{2-x}^2=0^2\\
& \Longleftrightarrow & 2-x=0\\
&\Longleftrightarrow & -x=-2\\
&\Longleftrightarrow &x=2\\
\end{eqnarray*}
$0$ a donc une unique antécédent par $h$ qui est $2$.
\item Compléter les tableaux de valeurs suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$  & -3 & $-2$ & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline
 $f(x)$ & -27& -8&-1 &0 &1 &8 &27  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -14 & -7 & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 \\\hline
 $h(x)$ & $4$& $3$ & $\simeq 2,82$ & $\sqrt{6}$& $2$ & $\simeq 1,41$& 0 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item \quad %Tracer les représentations graphiques des fonctions $f$ et $h$ dans un repère.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqww}{0 0 0.4}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.54,-4.14)(5.84,4.8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.54,-4.14)(5.84,4.8)
\psplot[linecolor=qqqqww,plotpoints=200]{-6.54}{5.84}{x^3}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-6.54}{1.9999999502000123}{sqrt(2-x)}
\rput[tl](1.74,3.56){$\qqqqww{\mathscr C_f : y=x^2+2x-3}$}
\rput[tl](-2.76,3){$\zzqqqq{\mathscr C_g : y=\sqrt{5x-4}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}}





\end{document}
