\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\hfill (10 points)\\
{\footnotesize On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(5x-1)(1-x)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la fonction $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.}\\
Pour tout $x\in\R$, on a $f(x)=5x-5x2-1+x=-5x2+6x-1$, et donc $f(x)$ est de la forme $ax2+bx+c$ ce qui prouve que $f$ est une fonction polynôme du second degré.
\item {\footnotesize Calculer $f(0)$.}
$$ f(0)=-5\times 0^2+6\times 0-1=-1$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.}\\
Utilisons la forme factorisée de $f$ pour répondre à cette question :
$$ f(x)=0\Longleftrightarrow (5x-1)(1-x)=0\Longleftrightarrow 5x-1=0\quad \text{ou}\quad 1-x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\quad \text{ou} \quad x=1$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $-1$ par $f$.}\\
Utilisons la forme développée de $f$ pour répondre à cette question :
$$ f(x)=-1\Longleftrightarrow -5x^2+6x-1=-1\Longleftrightarrow -5x^2+6x=0\Longleftrightarrow x(-5x+6)=0\Longleftrightarrow x=0 \quad \text{ou}\quad -5x+6=0 \Rightarrow x=\dfrac{6}{5}$$
\item {\footnotesize A l'aide des questions précédentes, déterminer la forme canonique de $f$, puis dresser son tableau de variation.}
\\
D'après la question précédente, $f\left(\dfrac{6}{5}\right)=f(0)$, par conséquent l'axe de symétrie de $\mathscr C_f$ a pour équation $x=\dfrac{3}{5}$ et la forme canonique de $f$ est du type : 
$$ f(x)=-5\left(x-\dfrac{3}{5}\right)^2+\beta \qquad \text{avec} \quad \beta=f\left(\dfrac{3}{5}\right)=-5\times \dfrac{9}{25}+6\times \dfrac{3}{5}-1=\dfrac{-9+18-5}{5}=\dfrac{4}{5}$$
$a=-5$ donc la parabole $\mathscr C_f$ admet un maximum  et admet pour tableau de variation :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{3}{5}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{4}{5}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Construire dans un repère la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$. Préciser son axe de symétrie.}\\
Comme on l'a déjà vu plus haut $\mathscr C_f$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\dfrac{3}{5}$, que nous nommerons $\mathscr D$.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.86,-2.56)(5.55,3.65)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.86,-2.56)(5.55,3.65)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-2.856097560975609}{5.5518847006651875}{-5*x^2+6*x-1}
\psline[linecolor=zzqqqq](0.6,-2.56)(0.6,3.65)
\rput[tl](0.96,3.46){$\zzqqqq{\mathscr D : x=\dfrac{3}{5}}$}
\rput[tl](1.7,-1.01){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=-5x^2+6x-1}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}15$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)(2-x)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.
\item Calculer $f(0)$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
\item Déterminer les antécédents éventuels de $-2$ par $f$.
\item A l'aide des questions précédentes, déterminer la forme canonique de $f$, puis dresser son tableau de variation.
\item Construire dans un repère la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$. Préciser son axe de symétrie.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
{\footnotesize On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)(2-x)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que la fonction $f$ est une fonction polynôme de degré $2$.}\\
Pour tout $x\in\R$, on a $f(x)=2x-x^2-2+x=-x^2+3x-2$, et donc $f(x)$ est de la forme $ax2+bx+c$ ce qui prouve que $f$ est une fonction polynôme du second degré.
\item {\footnotesize Calculer $f(0)$.}
$$ f(0)=- 0^2+3\times 0-2=-2$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.}\\
Utilisons la forme factorisée de $f$ pour répondre à cette question :
$$ f(x)=0\Longleftrightarrow (x-1)(2-x)=0\Longleftrightarrow x-1=0\quad \text{ou}\quad 2-x=0\Longleftrightarrow x=1\quad \text{ou} \quad x=2$$
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents éventuels de $-2$ par $f$.}\\
Utilisons la forme développée de $f$ pour répondre à cette question :
$$ f(x)=-2\Longleftrightarrow -x^2+3x-2=-2\Longleftrightarrow -x^2+3x=0\Longleftrightarrow x(-x+3)=0\Longleftrightarrow x=0 \quad \text{ou}\quad -x+3=0 \Rightarrow x=3$$
\item {\footnotesize A l'aide des questions précédentes, déterminer la forme canonique de $f$, puis dresser son tableau de variation.}
\\
D'après la question précédente, $f\left(3\right)=f(0)$, par conséquent l'axe de symétrie de $\mathscr C_f$ a pour équation $x=\dfrac{3}{}$ et la forme canonique de $f$ est du type : 
$$ f(x)=-5\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\beta \qquad \text{avec} \quad \beta=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=- \dfrac{9}{4}+3\times \dfrac{3}{2}-2=\dfrac{-9+18-8}{4}=\dfrac{1}{4}$$
$a=-1$ donc la parabole $\mathscr C_f$ admet un maximum  et admet pour tableau de variation :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{3}{2}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{1}{4}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Construire dans un repère la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$. Préciser son axe de symétrie.}\\
Comme on l'a déjà vu plus haut $\mathscr C_f$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\dfrac{3}{5}$, que nous nommerons $\mathscr D$.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.24,-3.32)(6.05,2.46)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.24,-3.32)(6.05,2.46)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-1.2419068736141903}{6.048558758314855}{-x^2+3*x-2}
\psline[linecolor=zzqqqq](1.5,-3.32)(1.5,2.46)
\rput[tl](1.74,2.09){$\zzqqqq{\mathscr D : x=\dfrac{3}{2}}$}
\rput[tl](3.07,-1.01){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=-x^2+3x-2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}


\end{document}
