\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Dans un repère orthonormal on donne $A(-2;-1)$, $B(-1;1)$, $C(1;5)$ et $D(0;-1)$.
\\
\textbf{On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
\end{footnotesize}
\\
$\overrightarrow{AB}(-1-(-2);1-(-1))\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}(1;2)$.\\
$\overrightarrow{AC}(1+2;5+1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AC}(3;6)$.\\
$\overrightarrow{AD}(0+2;-1+1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AD}(2;0)$.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{footnotesize}\\
On a $\overrightarrow{AB}(1;2)$ et $\overrightarrow{AC}(3;6)$ donc $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que les points $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés.
\end{footnotesize}
\\
On sait que $\overrightarrow{AC}(3;6)$ et $\overrightarrow{AD}(2;0)$, de plus $3\times 0-6\times 2=-12\neq 0$, ainsi les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires, par conséquent les points $A$, $C$ et $D$ ne sont pas alignés.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer $AB$, $BD$ et $AD$. En déduire la nature du triangle $ABD$.
\end{footnotesize}\\
$$ AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$
$$ BD=\sqrt{(0+1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$
$$ AD=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}=2$$
Comme $AB=BD$, le triangle $ABD$ est isocèle. 
\item \begin{footnotesize}
Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AD}$
\end{footnotesize}\\
$3\overrightarrow{AD}(6;0)$ et $\overrightarrow{AM}(x_M+2;y_M+1)$, donc comme $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AD}$, on résout :
$$ x_M+2=6\Longrightarrow x_M=4\qquad \text{et}\qquad y_M+1=0\Longrightarrowy_M=-1$$
Donc $M(4;-1)$.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires. 
\end{footnotesize}\\
$\overrightarrow{BD}(0+1;-1-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BD}(1;-2)$ et $\overrightarrow{CM}(4-1;-1-5)\Longleftrightarrow \overrightarrow{CM}(3;-6)$, donc $\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{BD}$ , ce qui montre que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires.
\item \begin{footnotesize}
En déduire sur la nature du quadrilatère $BDMC$.
\end{footnotesize}\\
Puisque $\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{BD}$, le quadrilatère $CMDB$ est un trapèze.
\end{enumerate}
}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}14$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\Exoi{\hfill (10 points)\\
Dans un repère orthonormal on donne $A(-3;1)$, $B(1;1)$, $C(-3;-2)$ et $D(7;-3,5)$.
\\
\textbf{On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
\end{footnotesize}\\
$$ \overrightarrow{AB}(1+3;1-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}(4;0)$$
$$ \overrightarrow{AC}(-3+3;-2-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AC}(0;-3)$$
$$ \overrightarrow{BC}(-3-1;-2-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}(-4;-3)$$
\item \begin{footnotesize}
Déterminer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$. En déduire la nature du triangle $ABC$.
%\item 
\end{footnotesize}\\
$$ AB=\sqrt{4^2+0^2}=4$$
$$ AC=\sqrt{0+(-3)^2}=3$$
$$BC=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$$
Comme $BC^2=25$ et $AB^2+AC^2=4^2+3^2=25$ on en conclut que le triangle $ABC$ est rectangle.
\item \begin{footnotesize}
Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Déterminer les coordonnées de $I$.
\end{footnotesize}\\
$I\left(\dfrac{1-3}{2};\dfrac{1-2}{2}\right)\Longleftrightarrow I\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right)$.
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires. En déduire la nature du quadrilatère $AIDB$.
\end{footnotesize}\\
$\overrightarrow{BD}(7-1;-3,5-1)\Longleftrightarrow \overrightarrow{BD}(6;-4,5)$ et $\overrightarrow{AI}\left(-1+3;-\dfrac{1}{2}-1\right)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AI}\left(2;-1,5\right)$. On remarque que $\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{AI}$, ainsi les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires et donc les droites $(BD)$ et $(AI)$ sont parallèles. Ainsi le quadrilatère $AIDB$ est un trapèze.
\item \begin{footnotesize}
Soit $M(x;1)$. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{ID}$ et $\overrightarrow{DM}$, puis déduire la valeur de $x$ telle que les points $I$, $D$ et $M$ soient alignés.
\end{footnotesize}\\
$\overrightarrow{ID}(7+1;-3,5+0,5)\Longleftrightarrow \overrightarrow{ID}(8;-3)$ et $\overrightarrow{DM}(x-7;1+3,5)\Longleftrightarrow \overrightarrow{DM}(x-7;4,5)$, donc comme $ \overrightarrow{ID}$ et $\overrightarrow{DM}$ sont colinéaires alors $8\times 4,5=-3(x-7)\Longleftrightarrow 36=-3x+21\Longleftrightarrow x=\dfrac{36-21}{-3}=-5$
\end{enumerate}
}




\end{document}
