\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\hfill (3 points)}Le segment $[AG]$ est divis\'e en $6$ parties de m\^eme longueur.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-1.2)(6.2,1.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{6} \def\ymin{-1} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-1.2)(6.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](-2.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](-1.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,0.0000){F}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){G}
\psline(-3.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
%Compl\'eter les relations suivantes par : 
\begin{enumerate}
\item %La lettre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{EC}=-2 \overrightarrow{EF}$
\item $ \overrightarrow{CC}+ \overrightarrow{G G}= \overrightarrow{0}$
\item $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AE}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item %Le nombre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{AG}$
\item $ \overrightarrow{AC}=- \overrightarrow{GE}$
\item $ \overrightarrow{DE}= -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{GE}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
$ABC$ est un triangle quelconque. $I$ est le milieu de $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser une figure puis construire $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, à l'aide du compas.
\item %Construire le point $E$ défini par :
%$$ \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{AB}$$
\quad \begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.48,1.64)(12.28,7.67)
\psline(-2.44,2.98)(0.3,2.16)
\psline(0.3,2.16)(1.39,4.04)
\psline(1.39,4.04)(-2.44,2.98)
\pscircle(0.3,2.16){3.98}
\pscircle(1.39,4.04){2.86}
\psline(1.39,4.04)(4.14,3.22)
\psline(4.14,3.22)(0.3,2.16)
\psline{->}(-2.44,2.98)(4.14,3.22)
\psline{->}(-2.44,2.98)(1.39,4.04)
\psline{->}(4.14,3.22)(11.8,5.33)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2.44,2.98)
\rput[bl](-2.78,3.17){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.39,4.04)
\rput[bl](1.51,4.16){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.3,2.16)
\rput[bl](0.43,1.85){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.85,3.1)
\rput[bl](0.97,3.05){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.14,3.22)
\rput[bl](4.24,3.35){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11.8,5.34)
\rput[bl](11.92,5.45){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$, puis en déduire que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$ $(1)$.
$I$ est le milieu du segment $[BC]$, par conséquent comme $ABDC$ est un parallélogramme $I$ est aussi le milieu de la deuxième diagonale $[AD]$ et donc :
$$ \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$$
D'après l'énoncé on a  : $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$
\item %Montrer que $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}$.
On a : 
$$ \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}$$
\item %Déduire de $(1)$ et de la question précédente que :
%$$ \overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}$$
D'après $(1)$ on a : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{AB}$ i.e $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}$.\\
D'après la question précédente $ \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}$, on en déduit que :
$$ \overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}$$
Cette égalité démontre que $(DE)//(AB)$ et donc que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze.
%Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABED$. 
\end{enumerate}
\item %En utilisant l'égalité $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$, montrer que $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{AB}$, puis en déduire la nature du quadrilatère $ABEC$.
D'après la relation de Chasles on a : $ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{AB}$ puisque $ \overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{AB}$.\\
De plus, $ABDC$ est un parallélogramme, par conséquent $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ ce qui donne :
$$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AB}$$
Cette égalité démontre que $(CE)//(AB)$ et donc que $ABEC$ est un trapèze.
\end{enumerate}}
\newpage

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
%\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\Exoi{\hfill (3 points)}Le segment $[AG]$ est divis\'e en $6$ parties de m\^eme longueur.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-1.2)(6.2,1.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{6} \def\ymin{-1} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-1.2)(6.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-3.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](-2.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](-1.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,0.0000){F}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){G}
\psline(-3.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
%Compl\'eter les relations suivantes par : 
\begin{enumerate}
\item %La lettre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{EB}=-3 \overrightarrow{EF}$
\item $ \overrightarrow{DD}+ \overrightarrow{G G}= \overrightarrow{0}$
\item $ \overrightarrow{AD}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AC}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Le nombre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}$
\item $ \overrightarrow{AE}= -2\overrightarrow{GE}$
\item $ \overrightarrow{DE}= -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{FD}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\Exoi{\hfill (7 points)\\
$ABC$ est un triangle quelconque. $I$ est le milieu de $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser une figure puis construire $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, à l'aide du compas.
\item %Construire le point $E$ défini par :
%$$ \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AB}$$
\quad 
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.09,-0.42)(5.82,5.37)
\psline(-2.44,2.98)(0.3,2.16)
\psline(0.3,2.16)(1.39,4.04)
\psline(1.39,4.04)(-2.44,2.98)
\pscircle(0.3,2.16){3.98}
\pscircle(1.39,4.04){2.86}
\psline(1.39,4.04)(4.14,3.22)
\psline(4.14,3.22)(0.3,2.16)
\psline{->}(-2.44,2.98)(4.14,3.22)
\psline{->}(-2.44,2.98)(1.39,4.04)
\psline{->}(4.14,3.22)(-7.36,0.05)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2.44,2.98)
\rput[bl](-2.76,3.15){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.39,4.04)
\rput[bl](1.5,4.14){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.3,2.16)
\rput[bl](0.42,1.83){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.85,3.1)
\rput[bl](0.96,3.03){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.14,3.22)
\rput[bl](4.26,3.33){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-7.36,0.05)
\rput[bl](-7.71,0.21){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$, puis en déduire que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{AB}$ $(1)$.
$I$ est le milieu du segment $[BC]$, par conséquent comme $ABDC$ est un parallélogramme $I$ est aussi le milieu de la deuxième diagonale $[AD]$ et donc :
$$ \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$$
D'après l'énoncé on a  : $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{AB}$
\item %Montrer que $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}$.
On a : 
$$ \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DE}$$
\item %Déduire de $(1)$ et de la question précédente que :
%$$ \overrightarrow{DE}=-3\overrightarrow{AB}$$
D'après $(1)$ on a : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}-3\overrightarrow{AB}$ i.e $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=-3\overrightarrow{AB}$.\\
D'après la question précédente $ \overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DE}$, on en déduit que :
$$ \overrightarrow{DE}=-3\overrightarrow{AB}$$
Cette égalité démontre que $(DE)//(AB)$ et donc que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze.
%Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDE$. 
\end{enumerate}
\item %En utilisant l'égalité $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$, montrer que $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{BA}$, puis en déduire la nature du quadrilatère $ABCE$.
D'après la relation de Chasles on a : $ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}-3\overrightarrow{AB}$ puisque $ \overrightarrow{DE}=-3\overrightarrow{AB}$.\\
De plus, $ABDC$ est un parallélogramme, par conséquent $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ ce qui donne :
$$ \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BA}$$
Cette égalité démontre que $(CE)//(AB)$ et donc que $ABCE$ est un trapèze.
\end{enumerate}}




\end{document}
